微分求積法在軸向流中圓柱體穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用

張碩

摘 要：微分求積法（DQM）在求解過(guò)程中，微分求積法計(jì)算量小、求解精度高，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展得到了廣泛的推廣。本文就是應(yīng)用微分求積法分析軸向流中圓柱體的穩(wěn)定性和失穩(wěn)臨界速度，并與其他方法得出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

關(guān)鍵詞：微分求積法；軸向流；圓柱體；臨界流速

1 微分求積法求解失穩(wěn)臨界流速

圓柱體運(yùn)動(dòng)的無(wú)量綱化微分方程式為：

（1）

軸向流中兩端鉸支圓柱體的無(wú)量綱邊界條件為：

（2）

得到方程（1）和邊界條件（2）的微分求積法的模擬方程和相應(yīng)的邊界條件為：

（3）

（4）

并將（3）式與（4）式合寫(xiě)為以下的形式：

（5）

其中下標(biāo)b表示邊界上的量，d表示非邊界上的量。

軸向流中圓柱體的自激振動(dòng)導(dǎo)致了不穩(wěn)定現(xiàn)象，所以將式（5）改寫(xiě)為：

（6）

在上式中，Ω在多數(shù)情況下是一個(gè)復(fù)數(shù)，其虛部Im（Ω）表示圓柱體的振動(dòng)頻率。繼續(xù)將方程進(jìn)行整理，得到：

（7）

式中，[G]和[K]兩個(gè)矩陣包含流速u等參數(shù)在內(nèi)，將這些參數(shù)賦值，只留下流速u作為變量。方程（7）的特征值也在隨之變化。當(dāng)特征值的實(shí)部Re（Ω）>0時(shí)，圓柱體就處于失穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)的流速u就是圓柱體的失穩(wěn)臨界速度。

給定參數(shù)，，，，，，，，，，，，并根據(jù)兩端鉸支的邊界條件，有。經(jīng)計(jì)算，流速u=3.3828時(shí)，特征值的實(shí)部第一次出現(xiàn)正值，故圓柱體在此時(shí)失穩(wěn)（如圖1所示）。

2 伽遼金法求解臨界失穩(wěn)流速

通過(guò)伽遼金法[1]計(jì)算式（1）得到特征值與流速之間的關(guān)系如圖2所示：當(dāng)u=3.14時(shí)，第一階特征值出現(xiàn)了一個(gè)正值，表明系統(tǒng)發(fā)生一階屈曲失穩(wěn)。

3 結(jié)論

結(jié)合微分求積法和伽遼金法所得到的系統(tǒng)的臨界流速值可以判斷：軸向流中兩端鉸支圓柱體隨著流體速度逐漸加快，會(huì)發(fā)生一階屈曲失穩(wěn)現(xiàn)象；微分求積法求解臨界失穩(wěn)流速u=3.3828，伽遼金法求解臨界失穩(wěn)流速u=3.14，二者結(jié)論相接近。

參考文獻(xiàn)：

[1]秦朝紅.軸向流中圓柱體的動(dòng)力分析（碩士學(xué)位論文）[D].碩士學(xué)位論文，沈陽(yáng)：沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院，2007.

[2] M.P. Paidoussis.Dynamics of cylindrical structures subjected to axial flow [J]. Journal of Sound and Vibration， 1973（29）： 365-385.