關于一道選擇題的探索與反思

汪道林

一、問題提出

《中學數學教學參考》2005年第1—2合刊第54頁有這樣一道選擇題：

已知a>1，則函數f（x）=logax的圖象與其反函數y=f-1（x）的圖象 （ ）

A.不可能有公共點

B.不可能只有一個公共點

C.最多只有一個公共點

D.最多只有兩個公共點

本人把這道題給某市示范學校高二年級的學生做，70%的學生不假思索地選擇了A答案，我也曾把這道題在數學教育碩士班與同行們交流，也有不少老師感到疑惑和棘手。

二、問題解決

1.建立模型

我們先利用幾何畫板4.05繪制可改變底數a大小的y=ax的圖象，同時作出關于直線y=x對稱的函數圖象，即y=logax圖象。建立步驟如下：

（1）建立平面直角坐標系并隱藏網格；

（2）利點工具構造菜單畫出與y軸垂直的任意長線段BD；

（3）分別選中點D和x軸上任一點E，利用度量橫坐標命令，分別度量出D、E點的橫坐標，并分別將標簽記為a和x；

（4）利用“圖表繪制點（x，y）”命令，繪制點F（x，ax）；

（5）同時選中點E和點F，利用“構造軌跡”命令，構造出函數y=ax的圖象；

（6）在同一坐標中，很容易再構造出關于y=x對稱的y=logax圖象。

2.觀察分析

三、解后反思

從以上分析可知，答案應該選D，這原本是一道常識性問題，但大多數學生卻很陌生，經過分析，可能有以下一些原因。

1.中學教材的編寫有時也有問題，現行教材上一提到指數函數與對數函數圖象時，總是把它們畫成不相交的情形，也沒有作出說明。

2.廣大的一線老師在教學過程中對教材缺乏深入研究，沒有對教材進行深加工和再創造，教學過程往往是照搬課本。

3.從某種程度上講，大多數學生不會學習，不能發現問題，做練習往往還是就題論題，不反思，不會舉一反三，沒有從題海中走出來。

4.多媒體教學還沒有真正走進課堂，教師和學生利用現代化教學手段比較薄弱，對于多媒體的強大功能、，特別是它的動態效果，在知識建構上的作用還缺乏足夠的認識。

參考文獻：

繆亮.幾何畫板輔助數學教學.清華大學出版社，2004.