二次函數與絕對值函數聯姻

楊光

中數參2012年第3期《一道不等式題的求解歷程》一文中，提出了一道以二次不等式為背景的題目：已知關于x的不[JP3]等式（2x-1）2

數a的取值范圍.[JP]

原文作者從數與形兩方面對上題進行了分析求解，綜合得出“形”在解決此題中的優勢，隨后又就數a的幾何意義做了進一步的挖掘：|a|的大小影響了二次函數g（x）=ax2圖象的開口大小.

研讀全文，結合實際數學情況，如果用原文“形”的辦法，需要繪制兩幅二次函數圖象，且還需要比較兩條曲線相對開口大小，學生繪圖時難免會出錯，直接影響后續的用圖求解.能否實現數與形更充實地融合，以期進一步提高解題效率呢？我們不妨做一番探索.

首先，容易發現a值肯定大于0；其次，等價轉化為絕對值不等式：|2x-1|

解后反思：上述解法較原文“數”上多做了一步等價轉化，而“形”中巧妙地以直代曲，可操作性更強.不妨進一步做一般化的歸納——形如y=a|x-h|+k的絕對值函數，與形如y=a（x-h）2+k的二次函數在“形”上有許多相似點，他們都有相同的頂點（h，k），都有相同的對稱軸方程

為x=h，參量a決定了圖象的開口方向及大小等，所以根據解題的不同需要完全可以進行相互模擬.

以下給出一變題，讀者不妨再次體驗一下這種以直代曲的好處.

變式：已知關于x的不等式（2x-a）2

當然，由于學生對二次函數圖象性質較熟悉，所以在解決[HJ1.5mm]絕對值函數問題時，我們又可以套用二次函數典型問題的處理辦法.

例已知函數f（x）=|x+13-a|+2a，且0≤a≤34，當x∈[0，12]時，試求函數f（x）的最大值M（a）.

分析解決此問題的常規辦法，對絕對值內代數式x+13-a的符號進行討論，進而去絕對值符號，但由于代數式x+13-a內含參，討論起來十分麻煩.換個思維方向，如果能把絕對值函數y=f（x）與二次函數g（x）=[x-（a-13）]2+2a的圖象聯系起來，不覺茅塞頓開.y=f（x）的圖象有一條類似二次函數的“動”對稱軸，即直線x=a-13，而x的取值為“定”區間[0，12]，且x=a-13為函數f（x）的極小值點，函數的最大值點只能出現在區間的兩個端點處，故可以類比于二次函數中典型的“定區間，動對稱軸”問題進行討論.

解1.當a-13<14時，即0≤a<712時，f（x）max=f（12）=|56-a|+2a=a+56.

2.當a-13≥14時，即712≤a≤34時，f（x）max=f（0）=|13-a|+2a=3a-13.

綜上M（a）=a+56 （0≤a<712），3a-56 （712≤a≤34）.

通過以上的探索，我們體會到了二次函數與一類絕對值函數在“形”上有較理想的契合，可以借此進行兩種函數圖象的相互類比，從而實現對問題的靈活求解.

中數參2012年第3期《一道不等式題的求解歷程》一文中，提出了一道以二次不等式為背景的題目：已知關于x的不[JP3]等式（2x-1）2

數a的取值范圍.[JP]

原文作者從數與形兩方面對上題進行了分析求解，綜合得出“形”在解決此題中的優勢，隨后又就數a的幾何意義做了進一步的挖掘：|a|的大小影響了二次函數g（x）=ax2圖象的開口大小.

研讀全文，結合實際數學情況，如果用原文“形”的辦法，需要繪制兩幅二次函數圖象，且還需要比較兩條曲線相對開口大小，學生繪圖時難免會出錯，直接影響后續的用圖求解.能否實現數與形更充實地融合，以期進一步提高解題效率呢？我們不妨做一番探索.

首先，容易發現a值肯定大于0；其次，等價轉化為絕對值不等式：|2x-1|

解后反思：上述解法較原文“數”上多做了一步等價轉化，而“形”中巧妙地以直代曲，可操作性更強.不妨進一步做一般化的歸納——形如y=a|x-h|+k的絕對值函數，與形如y=a（x-h）2+k的二次函數在“形”上有許多相似點，他們都有相同的頂點（h，k），都有相同的對稱軸方程

為x=h，參量a決定了圖象的開口方向及大小等，所以根據解題的不同需要完全可以進行相互模擬.

以下給出一變題，讀者不妨再次體驗一下這種以直代曲的好處.

變式：已知關于x的不等式（2x-a）2

當然，由于學生對二次函數圖象性質較熟悉，所以在解決[HJ1.5mm]絕對值函數問題時，我們又可以套用二次函數典型問題的處理辦法.

例已知函數f（x）=|x+13-a|+2a，且0≤a≤34，當x∈[0，12]時，試求函數f（x）的最大值M（a）.

分析解決此問題的常規辦法，對絕對值內代數式x+13-a的符號進行討論，進而去絕對值符號，但由于代數式x+13-a內含參，討論起來十分麻煩.換個思維方向，如果能把絕對值函數y=f（x）與二次函數g（x）=[x-（a-13）]2+2a的圖象聯系起來，不覺茅塞頓開.y=f（x）的圖象有一條類似二次函數的“動”對稱軸，即直線x=a-13，而x的取值為“定”區間[0，12]，且x=a-13為函數f（x）的極小值點，函數的最大值點只能出現在區間的兩個端點處，故可以類比于二次函數中典型的“定區間，動對稱軸”問題進行討論.

解1.當a-13<14時，即0≤a<712時，f（x）max=f（12）=|56-a|+2a=a+56.

2.當a-13≥14時，即712≤a≤34時，f（x）max=f（0）=|13-a|+2a=3a-13.

綜上M（a）=a+56 （0≤a<712），3a-56 （712≤a≤34）.

通過以上的探索，我們體會到了二次函數與一類絕對值函數在“形”上有較理想的契合，可以借此進行兩種函數圖象的相互類比，從而實現對問題的靈活求解.

中數參2012年第3期《一道不等式題的求解歷程》一文中，提出了一道以二次不等式為背景的題目：已知關于x的不[JP3]等式（2x-1）2

數a的取值范圍.[JP]

原文作者從數與形兩方面對上題進行了分析求解，綜合得出“形”在解決此題中的優勢，隨后又就數a的幾何意義做了進一步的挖掘：|a|的大小影響了二次函數g（x）=ax2圖象的開口大小.

研讀全文，結合實際數學情況，如果用原文“形”的辦法，需要繪制兩幅二次函數圖象，且還需要比較兩條曲線相對開口大小，學生繪圖時難免會出錯，直接影響后續的用圖求解.能否實現數與形更充實地融合，以期進一步提高解題效率呢？我們不妨做一番探索.

首先，容易發現a值肯定大于0；其次，等價轉化為絕對值不等式：|2x-1|

解后反思：上述解法較原文“數”上多做了一步等價轉化，而“形”中巧妙地以直代曲，可操作性更強.不妨進一步做一般化的歸納——形如y=a|x-h|+k的絕對值函數，與形如y=a（x-h）2+k的二次函數在“形”上有許多相似點，他們都有相同的頂點（h，k），都有相同的對稱軸方程

為x=h，參量a決定了圖象的開口方向及大小等，所以根據解題的不同需要完全可以進行相互模擬.

以下給出一變題，讀者不妨再次體驗一下這種以直代曲的好處.

變式：已知關于x的不等式（2x-a）2

當然，由于學生對二次函數圖象性質較熟悉，所以在解決[HJ1.5mm]絕對值函數問題時，我們又可以套用二次函數典型問題的處理辦法.

例已知函數f（x）=|x+13-a|+2a，且0≤a≤34，當x∈[0，12]時，試求函數f（x）的最大值M（a）.

分析解決此問題的常規辦法，對絕對值內代數式x+13-a的符號進行討論，進而去絕對值符號，但由于代數式x+13-a內含參，討論起來十分麻煩.換個思維方向，如果能把絕對值函數y=f（x）與二次函數g（x）=[x-（a-13）]2+2a的圖象聯系起來，不覺茅塞頓開.y=f（x）的圖象有一條類似二次函數的“動”對稱軸，即直線x=a-13，而x的取值為“定”區間[0，12]，且x=a-13為函數f（x）的極小值點，函數的最大值點只能出現在區間的兩個端點處，故可以類比于二次函數中典型的“定區間，動對稱軸”問題進行討論.

解1.當a-13<14時，即0≤a<712時，f（x）max=f（12）=|56-a|+2a=a+56.

2.當a-13≥14時，即712≤a≤34時，f（x）max=f（0）=|13-a|+2a=3a-13.

綜上M（a）=a+56 （0≤a<712），3a-56 （712≤a≤34）.

通過以上的探索，我們體會到了二次函數與一類絕對值函數在“形”上有較理想的契合，可以借此進行兩種函數圖象的相互類比，從而實現對問題的靈活求解.