高中數學教學中對學生計算錯誤原因的分析

任兆剛

數學作為自然學科中的基礎學科，它的計算功能是至關重要的，《普通高中數學課程標準》對運算求解能力的考查要求是：能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的計算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算.而從現在學生的學習狀況看，計算令人堪憂！很多學生在看了錯誤之后講得最多的是：又算錯了.但并沒有很好地分析原因，同時也沒有采取有效的措施來減少計算錯誤對解題的影響.在高中階段的學習中，學生的批判思維尚未形成，糾錯能力不強，需要老師更有針對性地對學生錯誤進行剖析，采取切實有效的辦法合理地引導，讓學生積極地比較和思考，以提高計算的準確性.下面就教學中具體的問題談談自己對學生計算錯誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對解題策略的比較和選擇

問題已知函數f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時，陷入了無法進行下去的困擾和煩惱.

解法2轉化成x2+（a-3）x+8≥0，根據二次函數的圖象分類討論.此時遇到了像解法1中的問題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關鏈接：

（1）若函數f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對值域的影響是什么？x∈N*對值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內容？引導學生多思考，多比較，多歸納，形成一種數學.

你能否進行編題反映上述變化對題目的影響？

建議加強對一個錯誤題目的認識的思維導圖，把它涉及到的知識，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認識問題，并比較每種解法的優劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會解解不對，會解來不及解的無奈.

二、缺少對概念的本原性的認識

問題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡單的一個題目，部分學生的主要錯誤表現為：結果忘記開方，或者在完全平方時中間項的符號出現錯誤.

反思為什么會少根號，僅僅是因為粗心嗎？為什么會算錯？要透過現象看清本質.先來看看向量的模的概念，向量的數量積與向量的模之間的關系的不同角度的理解，基底向量表示的依據等等，為何經常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長度.提到長度首先考慮到兩點間的距離公式，故而當a=（x，y）時，

|a|=x2+y2，建立相應直角坐標系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡單得到最后結果.另一方面，我們經常從向量的數量積的角度a2=|a|2來展開運算，運算的過程中涉及到乘法公式，向量的數量積的計算，再開方，多了步驟，多了出錯的機會.

再看平面向量基本定理中呈現的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡單的基底向量.課本實際上做了很好的引導作用.本題中實際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標時恰恰把它轉化成i和j作為基底向量，簡單、明了.

我們一味在抱怨學生粗心出錯，計算出錯，恰恰在最本質的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強調的扎實的基本功，下盤要穩，蹲馬步要練好長時間.而現在的教學有點急于求成，讓學生記憶的成分多，讓學生思考的時間太少，讓學生去領悟、感受、親歷知識的生成過程的機會太少.

反思學生對基本的問題出錯的根本原因在于對最基本概念的理解沒有抓住其本質，導致理解時出現偏差，計算當然就會走彎路，最后結果呈現錯誤.

建議老師在概念課的教學時，一定要舍得花時間去研究它，讓學生在第一次接受新的知識時從本質上去把握它，避免炒夾生飯的現象.

數學作為自然學科中的基礎學科，它的計算功能是至關重要的，《普通高中數學課程標準》對運算求解能力的考查要求是：能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的計算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算.而從現在學生的學習狀況看，計算令人堪憂！很多學生在看了錯誤之后講得最多的是：又算錯了.但并沒有很好地分析原因，同時也沒有采取有效的措施來減少計算錯誤對解題的影響.在高中階段的學習中，學生的批判思維尚未形成，糾錯能力不強，需要老師更有針對性地對學生錯誤進行剖析，采取切實有效的辦法合理地引導，讓學生積極地比較和思考，以提高計算的準確性.下面就教學中具體的問題談談自己對學生計算錯誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對解題策略的比較和選擇

問題已知函數f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時，陷入了無法進行下去的困擾和煩惱.

解法2轉化成x2+（a-3）x+8≥0，根據二次函數的圖象分類討論.此時遇到了像解法1中的問題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關鏈接：

（1）若函數f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對值域的影響是什么？x∈N*對值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內容？引導學生多思考，多比較，多歸納，形成一種數學.

你能否進行編題反映上述變化對題目的影響？

建議加強對一個錯誤題目的認識的思維導圖，把它涉及到的知識，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認識問題，并比較每種解法的優劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會解解不對，會解來不及解的無奈.

二、缺少對概念的本原性的認識

問題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡單的一個題目，部分學生的主要錯誤表現為：結果忘記開方，或者在完全平方時中間項的符號出現錯誤.

反思為什么會少根號，僅僅是因為粗心嗎？為什么會算錯？要透過現象看清本質.先來看看向量的模的概念，向量的數量積與向量的模之間的關系的不同角度的理解，基底向量表示的依據等等，為何經常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長度.提到長度首先考慮到兩點間的距離公式，故而當a=（x，y）時，

|a|=x2+y2，建立相應直角坐標系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡單得到最后結果.另一方面，我們經常從向量的數量積的角度a2=|a|2來展開運算，運算的過程中涉及到乘法公式，向量的數量積的計算，再開方，多了步驟，多了出錯的機會.

再看平面向量基本定理中呈現的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡單的基底向量.課本實際上做了很好的引導作用.本題中實際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標時恰恰把它轉化成i和j作為基底向量，簡單、明了.

我們一味在抱怨學生粗心出錯，計算出錯，恰恰在最本質的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強調的扎實的基本功，下盤要穩，蹲馬步要練好長時間.而現在的教學有點急于求成，讓學生記憶的成分多，讓學生思考的時間太少，讓學生去領悟、感受、親歷知識的生成過程的機會太少.

反思學生對基本的問題出錯的根本原因在于對最基本概念的理解沒有抓住其本質，導致理解時出現偏差，計算當然就會走彎路，最后結果呈現錯誤.

建議老師在概念課的教學時，一定要舍得花時間去研究它，讓學生在第一次接受新的知識時從本質上去把握它，避免炒夾生飯的現象.

數學作為自然學科中的基礎學科，它的計算功能是至關重要的，《普通高中數學課程標準》對運算求解能力的考查要求是：能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的計算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算.而從現在學生的學習狀況看，計算令人堪憂！很多學生在看了錯誤之后講得最多的是：又算錯了.但并沒有很好地分析原因，同時也沒有采取有效的措施來減少計算錯誤對解題的影響.在高中階段的學習中，學生的批判思維尚未形成，糾錯能力不強，需要老師更有針對性地對學生錯誤進行剖析，采取切實有效的辦法合理地引導，讓學生積極地比較和思考，以提高計算的準確性.下面就教學中具體的問題談談自己對學生計算錯誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對解題策略的比較和選擇

問題已知函數f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時，陷入了無法進行下去的困擾和煩惱.

解法2轉化成x2+（a-3）x+8≥0，根據二次函數的圖象分類討論.此時遇到了像解法1中的問題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關鏈接：

（1）若函數f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對值域的影響是什么？x∈N*對值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內容？引導學生多思考，多比較，多歸納，形成一種數學.

你能否進行編題反映上述變化對題目的影響？

建議加強對一個錯誤題目的認識的思維導圖，把它涉及到的知識，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認識問題，并比較每種解法的優劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會解解不對，會解來不及解的無奈.

二、缺少對概念的本原性的認識

問題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡單的一個題目，部分學生的主要錯誤表現為：結果忘記開方，或者在完全平方時中間項的符號出現錯誤.

反思為什么會少根號，僅僅是因為粗心嗎？為什么會算錯？要透過現象看清本質.先來看看向量的模的概念，向量的數量積與向量的模之間的關系的不同角度的理解，基底向量表示的依據等等，為何經常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長度.提到長度首先考慮到兩點間的距離公式，故而當a=（x，y）時，

|a|=x2+y2，建立相應直角坐標系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡單得到最后結果.另一方面，我們經常從向量的數量積的角度a2=|a|2來展開運算，運算的過程中涉及到乘法公式，向量的數量積的計算，再開方，多了步驟，多了出錯的機會.

再看平面向量基本定理中呈現的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡單的基底向量.課本實際上做了很好的引導作用.本題中實際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標時恰恰把它轉化成i和j作為基底向量，簡單、明了.

我們一味在抱怨學生粗心出錯，計算出錯，恰恰在最本質的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強調的扎實的基本功，下盤要穩，蹲馬步要練好長時間.而現在的教學有點急于求成，讓學生記憶的成分多，讓學生思考的時間太少，讓學生去領悟、感受、親歷知識的生成過程的機會太少.

反思學生對基本的問題出錯的根本原因在于對最基本概念的理解沒有抓住其本質，導致理解時出現偏差，計算當然就會走彎路，最后結果呈現錯誤.

建議老師在概念課的教學時，一定要舍得花時間去研究它，讓學生在第一次接受新的知識時從本質上去把握它，避免炒夾生飯的現象.