基于皮亞杰理論下的數學概念教學

張玲玲??

2013年12月8日-11日，由江蘇省中小學教學研究室主辦，在南京中華中學舉辦了2013年江蘇省高中數學青年骨干教師研修活動.本次活動的主題是“數學概念教學”，活動對蘇教版《三角函數的周期性》進行“同題異構”教學，經過了“三次備課，兩次反思”.期間，本人有幸被抽到上課，課后經過了討論，反思，再備課，并且得到了省內幾位著名特級教師的指導，領悟了很多，是今后個人專業成長的一筆寶貴財富.

在這里，本人將這次活動中張乃達老師和陳光立老師給出的建議結合皮亞杰發生認識論的一些觀點談一談數學概念的教學.

數學概念是構建數學理論大廈的基石，高中數學課程標準指出： 教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解.

1.提供實例圖式積累數學概念準備

發生認識論觀點認為，圖式是形成概念的基礎，是同化與順應的工具.那么數學概念作為概念的一個分支，也必須具有豐富的數學圖式.強調在概念教學中要以實驗，提供實例為基礎，使學生獲得必要的感性認識.

在“三角函數的周期性”這一概念的教學時，可先設計以下方式引入課題：

情境1：從2013年12月份的日歷上可以看出，12月9日是周一，再過7天，16日還是周一，再過7天，23日還是周一……

情境2：單位圓上的點轉動一圈以后回到了原來的位置.

問題1：你能舉出數學中某些現象重復出現的例子嗎？

學生可以根據前階段學習的誘導公式的特點，回答出三角函數，三角函數線.

問題2：我們以正弦函數為例，怎樣解釋這種周而復始的現象呢？

學生1： sin30°=sin150°.這個回答是筆者沒有預想到的.

課堂上，學生的深思頓悟、靈機一動，節外生枝和思維的遇阻、疏忽大意等等，都可能催生出一個個鮮活的教學資源，為創設智慧、高效課堂帶來可能.為學生的學習創設了預知不得，欲罷不忍的學習情境，激發了學生的探究積極性，課堂氣氛又活躍了起來.

學生2：當角α的終邊轉動2π，就會重合，三角函數值也相等.

這是學生從形的角度刻畫了三角函數的“周而復始”的現象，筆者繼續追問：把你這句話用表達式寫出來是什么樣的呢？

學生2： sin（x+2π）=sinx.

這樣我們就很自然地聯想到之前學習的三角函數的誘導公式，讓學生很輕松愉悅地接受了正弦函數的周期現象，也為接下來推導余弦函數和正切函數的周期作鋪墊.

2.同化順應抽象概括數學概念引入

皮亞杰的發生認識觀認為，在活動基礎上建立起認知圖式.學生也總是用已有的圖式去認識事物，如果主體能把外界的刺激納入已有的圖式，這就是同化過程.

如： 在“三角函數的周期性”的定義的教學事例中，

問題3： 如果某函數f（x）每間隔2個單位， 函數值重復再現， 如何用符號語言表示？ 引導學生得出f（x+2）=f（x）.

追問1： 如果某函數f（x）每間隔7個單位， 函數值重復再現， 如何表示？

引導學生得出f（x+7）=f（x）.

教師通過前面特殊情況的分析，逐漸引導學生感受“周而復始”的特征，從而慢慢引入數學概念.

3. 提供變式抽象本質數學概念的形成

皮亞杰的發生認識觀認為，在圖式的不斷發展過程中，主體是不平衡的，總是試著向平衡方向發展.

陳光立老師指出教學的藝術就在于精心設問和巧妙地引導學生作答，作答的廣義就是引導學生思維，包括課題性問題和啟發性問題，問題一定要對學生的概念形成起深化鞏固的作用.教師不要為問問題而問，顯示出老師過于強勢，好的課堂在于展示學生、讓學生展示，要利于學生發揮他們的才智，通過老師的引導幫助他們，而不是展示教師，不是展示解題功能，反對復制教學，反對告訴教學，教師要讓認知降到學生層次，讓學生真正參與進來.

問題4：是不是只有三角函數才有周期性？我們是否可以給一般的周期性函數下一個定義呢？

該問題的設置意圖，要求學生能從現有的材料中概括出本質特征，并把本質特征用精當的數學語言加以描述.概括是數學概念形成的重要過程，所以教學設計中必須為學生的概括做好鋪墊.這個環節是本節課的重點也是難點.教師不能急于求成，要傾聽學生的心聲，要營造民主、平等、寬容的課堂教學氣氛，把握學生的解惑需求，對于學生的回答，要及時加以辨別，作出正確的判斷，并因勢利導，給學生探究的時間和空間，這樣會使后面的教學更深入，更有價值.

定義中關鍵詞有哪些？這些關鍵詞你感覺熟悉嗎？之前的學習中哪里遇見過？

設計意圖是為了讓學生更深入理解定義的內涵，把握判斷函數周期性的關鍵，并聯系之前的學過的函數的奇偶性和單調性，更好地理解周期性的定義.

思考：y=3是周期函數嗎？

學生的反映并沒有預想的好，問題出在了哪里？是概念理解不清，還是符號不能準確轉換？筆者課后作了學生調查，結果顯示，學生不能把y=3和f（x）=3聯系起來，更找不出f（x+T）=f（x）中的T的值，感覺不存在.該問題的設計意圖是想說明不是所有函數都有最小正周期，但是反映出來的是學生對函數概念的不理解.

張乃達老師給出的建議是：不要在枝節上“惹是生非”，按照課標要求教學.本節主要研究三角函數的周期性，不要在一般函數周期性上糾纏太多.

4. 概念再同化數學概念的深化、 運用

發生認識觀認為，新圖式的形成，可以同化更多的客體.同樣，新的數學概念也同化了更多的數學現象以后才能被檢驗，因此數學概念只有在應用中才能得到鞏固、深化與發展.

這節概念課配備了如下的例題：

例1若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數關系如圖1所示.（1）求該函數的周期；（2）求t=10 s時鐘擺的[HJ1.45mm]高度.

師組織學生圍繞以下問題展開討論：

問題1：周期函數的圖象具有什么特征？

問題2：能否根據周期性找到t=10 s時鐘擺的高度？

例2求函數y=cos2x的周期.

思考：自編一道三角函數題，請同座位思考是否為周期函[JP3]數？若是周期函數，周期是多少？ 若不是周期函數，請說明理由. [JP]

該問題的設計意圖是想讓學生能夠感受到自己是課堂的主人，是學習活動中自由的“生命體”.但是由于學生的層次比較低，這個環節在具體實施過程中很難推進，不能體現有效性，給的3分鐘的時間不能完成布置的任務，筆者表示很遺憾.這個環節的不成功，使得接下來的y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常數，A≠0，ω>0）的周期的概括和推導就不能順利的進行.當然，課堂教學過程本身就是一個“精心預設”與“動態生成”和諧統一的過程.備課首先應該先備學生，教師應熟悉學生的認知水平和學習的薄弱之處，要換位思考，真正從學生的角度審視問題.針對這個問題，筆者認為，概念的教學是一個值得繼續探究的過程，是要貫穿在平時的教學過程中，潛移默化的去[LL][HJ1.3mm]發展學生的思維的過程，是一個長遠的過程.如果再上一次，我想把這個問題改成例題，直接改為：求下列函數的周期：

（1）y=cos2x；

（2）y=2cos（x+π3）；

（3） y=2sin12x；

（4）y=Asin（ωx+φ） （A，ω，φ都是常數，A≠0，ω>0）.

張乃達老師給出的建議是：本節可以拓展的有（1）證明2π是y=sinx的最小正周期；（2）對于例2要好好處理，實際是形式化的證明.求y=cos2x的最小正周期，回顧定義，T是x的增量，等式cos（2x+2π）=cos2x，2x增加了2π，那x增加了多少？得到cos2（x+π）=cos2x.先講直觀的認識猜想，再回到定義，用形式化的方法證明.

有一位哲人說過：“教師最容易犯的錯誤，是把結論簡單地告訴學生.高明的教師總是將自己想說的東西掩藏起來，放到最后.”從皮亞杰對認知發生、 發展的生動分析中， 我們看到， 皮亞杰認知發展理論用建構的觀點探討認知的發展， 尤其強調活動在認知發展和知識建構中的作用.為此，在概念教學中多花一些時間是值得的，只有理解、掌握了概念，才能更好地幫助學生認識數學的思想和本質，進一步發展學生的思維，提高學生的解題能力.

最后引用陳光立老師說的一句話作為結束語：“教之道在于度，學之道在于悟.”