兩道高考解析幾何題的解法?反思

司政君

一、試題再現

試題一（2005全國大綱Ⅱ卷文22理21）P，Q，M，N四點都在橢圓x2+y22=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF·MF=0.求四邊形PMQN面積的最大值和最小值.

試題二（2013全國課標Ⅱ卷理20）平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦點的直線x+y-3=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為12.

（Ⅰ）求M的方程；

（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形面積的最大值.

二、 試題解答

試題一解答由PF與FQ共線和MF與FN共線知，弦PQ，MN是焦點弦.因F（0，1），于是：

當直線PQ的斜率存在且不為零時，設PQ∶y=kx+1.將 y=kx+1代入x2+y22=1，得（2+k2）x2+2kx-1=0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則x1+x2=-2k2+k2，x1x2=-12+k2.

所以|PQ|[WB]=（1+k2）[（-2k2+k2）2-4·（-1）2+k2][DW]=22（1+k2）2+k2.

又PF·MF=0，所以|MN|=22（1+k2）1+2k2.

所以四邊形ACBD面積

S=12|PQ|·|MN|=12· 22（1+k2）2+2k2·22（1+k2）1+2k2=

4（1+2k2+k4）2+5k2+2k4=2（2k2+2k2+5）-22k2+2k2+5=2+-22k2+2k2+5≥169 （當且僅當k2=1時，等號成立）.即169≤S<2.

當直線PQ的斜率為零時，|PQ|=22，此時|MN|=2，

所以四邊形ABCD面積

S=12|PQ|·|MN|=12·22·2=2；

當直線PQ的斜率不存在時，|PQ|=2，|MN|=22，

所以四邊形ACBD面積

S=12|PQ|·|MN|=12·2·22=2.

綜上述四邊形ACBD面積的最小值是169，最大值是2.

試題二解答：（Ⅰ）設A（x1，y1），B（x2，y2），則：

x21a2+y21b2=1①，

x22a2+y22b2=2②.

由①-②得

1a2（x1+x2）（x1-x2）+1b2（y1+y2）（y1-y2）=0，

b2（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0，

所以a2·（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）+b2=0.

又由題知y1-y2x1-x2=-1，P（x1+x22，y1+y22）.

所以y1+y2x1+x2=12.所以a2-2b2=0.

又直線x+y-3=0過點F（c，0），所以c=3，

即a2-b2=3.

所以a2=6，b2=3.所以M：x26+y23=1.

（Ⅱ）由x+y-3=0得：y=-x+3.將y=-x+3代入M：x26+y23=1消去y，得：3x2-43x=0 .則：x1+x2=433，x1x2=0，

所以|AB|=[1+（-1）2][（433）2-4·0]=463.

設CD：y=x+m.將y=x+m代入M：x26+y23=1消去y，得：3x2+4mx+2m2-6=0.

設A（x3，y3），B（x4，y4），

則x3+x4=-4m3，x3x4=2m2-63.

[HJ1.3mm]所以|CD|[WB]=[（1+1）2][（-4m2

3）2-4（2m2-6）3]

[DW]=49-m23.

又因CD⊥AB，

所以四邊形ABCD面積

S[WB]=12|AB|·|CD|=12·463·49-m23

[DW]=869·9-m2.

由Δ=（4m）2-4·3（2m2-6）>0

得-3

所以當m=0時S有最大值863.

即四邊形ACBD的面積的最大值為863.

三、 試題反思

通過對二道試題的評析及解法探討，有以下幾點值得思考：首先，在教學過程要注重培養學生綜合運用知識解決問題的能力；要加強學生運算、轉化能力的強化訓練；要注意解析幾何問題的求解中，分類討論思想，數形結合思想，函數不等式思想，參數法等數學思想方法的滲透.其次，在備考過程中，要重視歷年高考試題的研究，特別是對一些優秀試題，要潛心研究，不但要探討其解法，而且要嘗試對其進行改編、整合，并及時將信息反饋給學生.

一、試題再現

試題一（2005全國大綱Ⅱ卷文22理21）P，Q，M，N四點都在橢圓x2+y22=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF·MF=0.求四邊形PMQN面積的最大值和最小值.

試題二（2013全國課標Ⅱ卷理20）平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦點的直線x+y-3=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為12.

（Ⅰ）求M的方程；

（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形面積的最大值.

二、 試題解答

試題一解答由PF與FQ共線和MF與FN共線知，弦PQ，MN是焦點弦.因F（0，1），于是：

當直線PQ的斜率存在且不為零時，設PQ∶y=kx+1.將 y=kx+1代入x2+y22=1，得（2+k2）x2+2kx-1=0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則x1+x2=-2k2+k2，x1x2=-12+k2.

所以|PQ|[WB]=（1+k2）[（-2k2+k2）2-4·（-1）2+k2][DW]=22（1+k2）2+k2.

又PF·MF=0，所以|MN|=22（1+k2）1+2k2.

所以四邊形ACBD面積

S=12|PQ|·|MN|=12· 22（1+k2）2+2k2·22（1+k2）1+2k2=

4（1+2k2+k4）2+5k2+2k4=2（2k2+2k2+5）-22k2+2k2+5=2+-22k2+2k2+5≥169 （當且僅當k2=1時，等號成立）.即169≤S<2.

當直線PQ的斜率為零時，|PQ|=22，此時|MN|=2，

所以四邊形ABCD面積

S=12|PQ|·|MN|=12·22·2=2；

當直線PQ的斜率不存在時，|PQ|=2，|MN|=22，

所以四邊形ACBD面積

S=12|PQ|·|MN|=12·2·22=2.

綜上述四邊形ACBD面積的最小值是169，最大值是2.

試題二解答：（Ⅰ）設A（x1，y1），B（x2，y2），則：

x21a2+y21b2=1①，

x22a2+y22b2=2②.

由①-②得

1a2（x1+x2）（x1-x2）+1b2（y1+y2）（y1-y2）=0，

b2（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0，

所以a2·（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）+b2=0.

又由題知y1-y2x1-x2=-1，P（x1+x22，y1+y22）.

所以y1+y2x1+x2=12.所以a2-2b2=0.

又直線x+y-3=0過點F（c，0），所以c=3，

即a2-b2=3.

所以a2=6，b2=3.所以M：x26+y23=1.

（Ⅱ）由x+y-3=0得：y=-x+3.將y=-x+3代入M：x26+y23=1消去y，得：3x2-43x=0 .則：x1+x2=433，x1x2=0，

所以|AB|=[1+（-1）2][（433）2-4·0]=463.

設CD：y=x+m.將y=x+m代入M：x26+y23=1消去y，得：3x2+4mx+2m2-6=0.

設A（x3，y3），B（x4，y4），

則x3+x4=-4m3，x3x4=2m2-63.

[HJ1.3mm]所以|CD|[WB]=[（1+1）2][（-4m2

3）2-4（2m2-6）3]

[DW]=49-m23.

又因CD⊥AB，

所以四邊形ABCD面積

S[WB]=12|AB|·|CD|=12·463·49-m23

[DW]=869·9-m2.

由Δ=（4m）2-4·3（2m2-6）>0

得-3

所以當m=0時S有最大值863.

即四邊形ACBD的面積的最大值為863.

三、 試題反思

通過對二道試題的評析及解法探討，有以下幾點值得思考：首先，在教學過程要注重培養學生綜合運用知識解決問題的能力；要加強學生運算、轉化能力的強化訓練；要注意解析幾何問題的求解中，分類討論思想，數形結合思想，函數不等式思想，參數法等數學思想方法的滲透.其次，在備考過程中，要重視歷年高考試題的研究，特別是對一些優秀試題，要潛心研究，不但要探討其解法，而且要嘗試對其進行改編、整合，并及時將信息反饋給學生.

一、試題再現

試題一（2005全國大綱Ⅱ卷文22理21）P，Q，M，N四點都在橢圓x2+y22=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF·MF=0.求四邊形PMQN面積的最大值和最小值.

試題二（2013全國課標Ⅱ卷理20）平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦點的直線x+y-3=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為12.

（Ⅰ）求M的方程；

（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形面積的最大值.

二、 試題解答

試題一解答由PF與FQ共線和MF與FN共線知，弦PQ，MN是焦點弦.因F（0，1），于是：

當直線PQ的斜率存在且不為零時，設PQ∶y=kx+1.將 y=kx+1代入x2+y22=1，得（2+k2）x2+2kx-1=0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則x1+x2=-2k2+k2，x1x2=-12+k2.

所以|PQ|[WB]=（1+k2）[（-2k2+k2）2-4·（-1）2+k2][DW]=22（1+k2）2+k2.

又PF·MF=0，所以|MN|=22（1+k2）1+2k2.

所以四邊形ACBD面積

S=12|PQ|·|MN|=12· 22（1+k2）2+2k2·22（1+k2）1+2k2=

4（1+2k2+k4）2+5k2+2k4=2（2k2+2k2+5）-22k2+2k2+5=2+-22k2+2k2+5≥169 （當且僅當k2=1時，等號成立）.即169≤S<2.

當直線PQ的斜率為零時，|PQ|=22，此時|MN|=2，

所以四邊形ABCD面積

S=12|PQ|·|MN|=12·22·2=2；

當直線PQ的斜率不存在時，|PQ|=2，|MN|=22，

所以四邊形ACBD面積

S=12|PQ|·|MN|=12·2·22=2.

綜上述四邊形ACBD面積的最小值是169，最大值是2.

試題二解答：（Ⅰ）設A（x1，y1），B（x2，y2），則：

x21a2+y21b2=1①，

x22a2+y22b2=2②.

由①-②得

1a2（x1+x2）（x1-x2）+1b2（y1+y2）（y1-y2）=0，

b2（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0，

所以a2·（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）+b2=0.

又由題知y1-y2x1-x2=-1，P（x1+x22，y1+y22）.

所以y1+y2x1+x2=12.所以a2-2b2=0.

又直線x+y-3=0過點F（c，0），所以c=3，

即a2-b2=3.

所以a2=6，b2=3.所以M：x26+y23=1.

（Ⅱ）由x+y-3=0得：y=-x+3.將y=-x+3代入M：x26+y23=1消去y，得：3x2-43x=0 .則：x1+x2=433，x1x2=0，

所以|AB|=[1+（-1）2][（433）2-4·0]=463.

設CD：y=x+m.將y=x+m代入M：x26+y23=1消去y，得：3x2+4mx+2m2-6=0.

設A（x3，y3），B（x4，y4），

則x3+x4=-4m3，x3x4=2m2-63.

[HJ1.3mm]所以|CD|[WB]=[（1+1）2][（-4m2

3）2-4（2m2-6）3]

[DW]=49-m23.

又因CD⊥AB，

所以四邊形ABCD面積

S[WB]=12|AB|·|CD|=12·463·49-m23

[DW]=869·9-m2.

由Δ=（4m）2-4·3（2m2-6）>0

得-3

所以當m=0時S有最大值863.

即四邊形ACBD的面積的最大值為863.

三、 試題反思

通過對二道試題的評析及解法探討，有以下幾點值得思考：首先，在教學過程要注重培養學生綜合運用知識解決問題的能力；要加強學生運算、轉化能力的強化訓練；要注意解析幾何問題的求解中，分類討論思想，數形結合思想，函數不等式思想，參數法等數學思想方法的滲透.其次，在備考過程中，要重視歷年高考試題的研究，特別是對一些優秀試題，要潛心研究，不但要探討其解法，而且要嘗試對其進行改編、整合，并及時將信息反饋給學生.