關于高師院校數學專業建設中學數學知識應用課程的研究設想

趙艷會

[摘 要]在中學數學課程改革中，應加強對數學應用意識和應用能力的重視，從培養高師院校的數學專業學生入手。建設中學數學知識應用課程可從以下幾個方面提出設想：明確數學應用的范圍；數學應用問題的解決結合數學解題的一般心理過程；盡力挖掘、精心設計與日常實際匹配之數學應用；數學應用案例的創設要突破日常現實生活；包含高中課標新增的應用內容；包含與現實、其他學科聯系的應用。

[關鍵詞]數學應用意識 中學數學 知識應用 高師院校

[中圖分類號] G642.3 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）16-0014-02

在中學數學課程改革的大潮之下，課程的理念、教學的理念都在發生著巨大的變革。培養數學應用意識、發展應用能力是數學學習的應有之意。筆者認為應該通過與中學數學知識直接對接的系統的數學知識應用架構，明確各知識點的應用價值、應用方向及意義，即建設中學數學知識應用。下面是筆者的簡單研究設想。

一、明確數學應用的范圍

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中將應用意識的主要表現表述為：“認識到現實生活中蘊含著大量的數學信息、數學在現實世界中有著廣泛的應用；面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略；面對新的數學知識時，能主動地尋找實際背景，并探索其應用價值”。[1]《普通高中數學課程標準（實驗）》中提到，“高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力”。[2]

從廣義上來說，只要是利用到數學的知識、技能、過程方法、思想、推理證明等層面的都歸于數學應用。從狹義上來說，數學應用局限于在實際生產、生活、社會發展、科技推進、文化繁榮以及其他學科的發展等層面。當然，對學生而言，此處的數學應用要盡量降低應用的層級和深度。然而，我們還必須明確，因為數學的抽象性，數學知識在實踐中的很多應用具有間接性的特點，這也加劇了學生對于體會數學在日常生活實際中應用的焦慮.

二、數學應用問題的解決結合數學解題的一般心理過程

對于中學數學知識應用課程的建設，目的不是為了解決一些數學應用的問題，其主要目的在于讓學生了解數學應用的廣泛性與實際生活的聯系。當然在學習了解其應用的過程中要體現、結合數學解題的一般心理過程，潛移默化地培養高師院校數學專業學生的數學應用意識。

杜威的五步模式是：“意識到難題存在、識別出問題、收集材料并整理，提出假設、接受和拒絕假設、形成和評價結論”。[3]如果從思維的進程階段層面加以推進，這對數學問題解決亦有借鑒。心理學家奧蘇貝爾和魯賓遜的四階段模式，把整個解題過程分為四個階段：“呈現問題情境命題、明確問題目標與已知條件、填補空隙（即已知條件和目標之間的差距）、解答之后的檢驗”。[3]這是明確原有的認知結構中的不同成分在問題解決中的不同作用，即認知結構中的不同成分對問題解決的影響機制，以此對數學問題的解決程序進行表述。這些理論有相通之處，即從心理學角度表明，“數學問題解題的思維活動是一個對問題識別、歸類和假設、驗證的過程”。[4]由此可見，我們在設計時，要注意體現數學解題的一般心理過程。

三、盡力挖掘、精心設計與日常實際匹配的數學應用

數學應用案例的創設要源于日常現實生活。數學應用意識的養成需要在情感上對學生形成沖擊。為此，要從兩個方面努力：一方面，投入生活實際中，多思、多想、多創新，發掘出與日常實際匹配的數學應用。這是一件創新性的工作，需要一定時間和不斷的實踐，依賴于數學教師辛勤的付出，其成果往往具有很強的吸引力和成效。另一方面，要利用既有的與日常實際匹配的數學應用。這是可利用的一條捷徑，不應該認為以往的應用太老、過時了，而將其放棄。當然有些可以結合時代、社會的發展對其進行改編，融入時代元素。

案例1 概率的等可能性理解設計

情境：某班有50人，現在要用抽簽的方法選一名同學觀看足球比賽，盒里有50個鬮，只有一張上是“有”，其余都是“無”。

設計步驟：

1.在抽簽之前，每位同學抽到“有”的概率都是1 / 50，請一位同學先抽，其抽中的概率是1 / 50。

2.若他沒有抽中，第二個同學抽中的概率是多少？

3.若他抽中了，第二個同學抽中的概率是多少？

4.若按照先后順序每人均抽一個，然后再一起打開看，每位同學抽中的概率是多少？

5.抽簽先后對每位同學是公平的，每個人抽一次只是一次試驗，它的結果并不能決定概率，只要先抽的結果后邊的同學不知道，每位同學的抽中概率是相等的，是等可能事件。

四、數學應用案例的創設要突破日常現實生活

對于中學數學知識應用課程內容與案例選編，我們的視域實際上應該比日常的現實應用更開闊。因為，數學的研究對象往往具有抽象性，數學在實踐中的應用多有間接性，難以做到讓所有數學知識與日常現實直接聯系。故在建立兩者的關系時，注意適度聯系是數學應用中無法回避的，比如可以聯系有關數學知識的數學史實、數學家的創造歷程等。下面以復數為例。

案例2 復數有用嗎？

數系擴展至復數，學生甚至中學教師多認為純粹是數學的發展使然，很難聯系上實際應用。最初在16世紀引進復數也確實因數學的需要——求二次代數方程的解，還真不是為了解決什么實際問題，純粹是為數學的發展提供便利。復數在數學圈中相當長的時間里得不到承認，因此笛卡爾將其稱為虛數也是心聲。世事弄人，沒有人料到三百年后，當黎曼將物理問題與復變函數聯系起來，產生了黎曼等的理論之后，純粹數學的復數理論旋即成為數學應用之奇葩，結出一個個應用之碩果：

1.儒可夫斯基用復變函數的共形映照方法設計飛機機翼的外形，描述機翼周圍流體流動的特點，從本質上改變了飛機的設計問題。之后復變函數當仁不讓地用在對流體流動、輪船和汽車設計過程中。endprint

2.貝爾實驗室的科學家在1920年，以復變函數理論著手設計濾波器和高增益放大器，這為人類能夠遠距離通話開啟了曙光。

3.借助于復變函數的輻角原理，尼奎斯特在關于反饋放大器穩定性上作出了貢獻，在直觀地學習上尼奎斯特圖幫助人們進行理解，并為掌握和克服反饋失穩現象扮演著重要角色。

復數的出現，只是沿著純粹數學的軌道延伸，起初人們因其而迷茫，它受到過詆毀、排斥。誰能夠想象它今日應用價值如此之高，若我們著眼于有沒有用的立場來對待復數的話，那么早就將其拋棄了，很難想象現在的數學會有怎樣的面目，我們的生活又是怎樣的景象。

五、包含高中課標新增的應用內容

已經在全國推開的按照高中數學課程標準實施的課程，其中設置了必修內容算法初步、選修系列3、系列4，其中的內容大多數是新增的內容。算法有著比較強的應用背景，選修系列3、系列4中可以直接歸入應用類的有選修3-2：信息安全與密碼、選修4-7：優選法與試驗設計初步、選修4-8：統籌法與圖論初步、選修4-9：風險與決策、選修4-10：開關電路與布爾代數，其他的也有相應的應用背景。這一方面體現了高中課標在培養學生應用意識和能力上的力度，另一方面體現了對高中數學教師在數學素養上提高的力度。在選修內容中有的與大學相應的課程內容有聯系，如數學史選講與大學的數學史課程對應等；有些在高師生的課程中是比較薄弱的，如視圖與投影、數據處理、數學文化和數學探究等；還有些是目前高師數學課程不能完全涵蓋的，如算法、信息安全與密碼、開關電路與布爾代數、優選法與試驗設計、風險與決策等內容。這些問題的解決，除了在高師相應課程中添加高中課標內容外，還需要在中學數學知識應用課程中體現出來，結合選修內容按模塊單獨呈現，也可以在這門課中作為選修。

六、包含與現實、其他學科聯系的應用

對于中學生數學的應用來說，課標強調與學生身邊的生活現實相聯系，但實際上可以適當突破。因為數學的應用已經極大地突破了生活的現實，如果離開了在更廣闊范圍的現實和其他學科上的應用的話，那么數學就將失去它最美妙的光環。所以很多情況下我們不能只囿于數學的小框框來談數學應用，那樣數學的光芒就被遮蔽了。俄羅斯高師數學專業開設了包括有物理、化學、計算機基礎、生物與生態常識等的課程，很重視橫向與其他學科的聯系。相對來說，我們的高師數學專業的課程被窄化。這樣，專門建設的中學數學知識應用就應將這一不足予以彌補。

[ 注 釋 ]

[1] 中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗）[M].北京：北京師范大學出版社，2001：5.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003：3.

[3] 莫雷.教育心理學[M].廣州：廣東高等教育出版社，2002：186-187.

[4] 鄭君文，張恩華.數學學習論[M].南寧：廣西教育出版社，2007：73.

[責任編輯：陳 明]endprint