職高數學“動中學”教學實踐

楊增華

職高數學教學借助課堂觀察與作業觀察了解學生的學習狀態，通過作業分層設計與指導實現讓不同層次的學生在動手參與的過程中學有所獲，在體驗式學習中落實“動中學”的教學理念。

一、教學構想

職高數學教學課堂正在從“有效吸引學生參與學習，收獲成功體驗”，向“吸引更多學生，讓各個層次學生學有所獲”轉變，讓學生動起來，在活動與互動中完成對知識的了解學習、對問題的思考，在作業練習中獲得切身體驗與收獲。從這一教學理念出發，《同角三角函數的基本關系式》的教學與作業環節，從課前到課上，再到課后，我始終堅持課堂與作業的有效觀察和作業分層設計相結合，注重學生在動中學。

（一）關注不同層次的學生，在動中學

1.課前學案導學，通過“填一填”“猜一猜”“推一推”的環節，讓學生及時完成對原有知識的復習，繼而對新的問題提出猜想，處于疑問狀態，為解決課堂上未知問題做準備。

2.課堂上教師與學生一起依據定義共同推導，解決猜想，明確問題的結論。

3.“動中學”專門培養環節：識、變、辨、練、改。通過對知識點的識別、內涵外延的辨別、公式的變形三個層次從淺入深的學習，完成對知識認識的深化，最后通過綜合運用及作業修改，完成自我能力的提高。

4.課后作業分層及時鞏固所學。三種層次作業要求：摘記（書本的概念與公式）、例題改寫（熟悉與體驗）、重點題型練習（模仿與運用）。對有特色與有進步的作業公開展示，及時鼓勵。

（二）知識落實，循環式上升

本課涉及的知識點分散，新知識的內涵外延比較豐富，層次分明。為落實知識點采用“螺旋上升式”的教學活動安排，讓學生在由淺入深的接觸中提高對知識的認識。

課前學生與本課知識進行第一次接觸（遠距離接觸），感受粗淺、零散，體系不完整。

第一步“挖金礦”，學生與本課知識進行第二次接觸（近距離接觸），師生共同推導結論。

第二步“火眼金睛”，學生與本課知識進行第三次接觸（零距離接觸），通過“識、變、辨”明確知識的內涵與外延。

第三步“精雕細琢”，學生運用所學知識，練一練、改一改，這是與本課知識的第四次接觸（負距離接觸）。

課后作業分層，通過摘記、例題改寫、練習三個環節實現對新學知識的及時復習與鞏固。（最近發展區接觸）

通過五次接觸，實現學生知識螺旋式上升。

二、學情分析

筆者任教的美術班，學生數學功底相對薄弱，水平相差極大，有各個層次的學生，他們有著較好的繪畫基礎，感性思維強，理性思維弱，學習自覺性高，學習氣氛濃厚，大部分學生已有做筆記的好習慣。教師組織教學的壓力減少，教學重點是設計活動與作業，引導更多的學生參與學習，提高學習效果。學生對于用視頻方式呈現的信息接收快，對文字語言多的信息反應偏遲緩；不刻意追求邏輯的嚴密與體系的完整，邏輯的跳躍性極強；更注重的是個性化的感受、體驗，喜歡與現實密切聯系的東西；好奇心重，愿意探究未知世界。

三、教學目標與教學重難點

【知識與技能】

1.了解同角三角函數基本關系式的推導過程，熟記基本關系式。

2.學會識別、辨析、篩選信息，能找出1～3個變形的新公式。

3.已知一個三角函數值，利用同角三角函數的基本關系式求其他的三角函數值。

【過程與方法】

1.課前學案導學。

2.課堂上實踐以“小故事、大智慧”為主線的互動教學法。

3.課堂上與課后及時完成三種作業，做好總結，為后面學習做準備。

【情感、態度與價值觀】

1.培養學生找問題、提問題、解決問題的興趣。

2.培養學生探究問題內涵、外延的意識。

3.通過對各類問題的解析、定義，培養學生注重實踐，勇于創新的意識。

【重點】

1.基本關系式的推導、變形、辨識。

2.已知一個三角函數值，利用基本關系式求其他的三角函數值。

【難點】

利用平方關系求正弦或余弦值時，正負號的確定。

四、教學過程

（一）教學環節一：課前學案導學

【學生活動】學生通過導學案填一填，猜一猜，完成課前準備。

1.列表寫了0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°的sinα、cosα、tanα值。

2.計算求值：

sin20°+cos20°=sin230°+cos230°=

sin290°+cos290°=sin2120°+cos2120°=

sin0°cos0°=sin30°cos30°=sin60°cos60°=

sin90°cos90°=sin120°cos120°=

3.猜想sin2α+cos2α=？sinαcosα=？

【教師活動】通過導學案引導學生提早了解本課內容，歸納猜想。

【設計意圖】通過學案導學，學生及時復習相關知識，為新課做好準備的同時有助于提高課堂教學效率。

（二）教學環節二：視覺體驗

【學生活動】觀看視頻，截取航母飛行甲板的仰角圖片，引出課題。

【教師活動】播放航母艦載機起飛視頻。

【設計意圖】通過播放視頻既吸引學生，又營造學習氛圍，增強愛國主義教育。截取短片中的圖片，引發學生思考。

（三）教學環節三：課上大智慧

1.挖金礦

（1）新問題老辦法

【學生活動】學生圍繞問題運用原有的三角函數知識，根據條件列式子解決問題。endprint

【教師活動】

①現場提問學生：結合所學談談如何求仰角處甲板高度。

②提取學生回答中的關鍵詞，師生一起探討解題思路。

③屏幕播放解題過程。

【設計意圖】學生在教師示范問題式結論后，產生表達這種結論的興趣，并產生新的疑問。

（2）新角度新思考

【學生活動】①明確思考的新方向——坐標法。

②推導同角三角函數兩個基本關系式。由三角函數定義sinα=yx，cosα=yx，tanα=yx，恒等變形推導基本關系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。③角的限制條件的明確。

【教師活動】①選學生上來板書推導過程。②明確兩個基本關系式及其使用條件。③熟悉明確公式內容。

【設計意圖】通過問題的推導，得出結論，趁熱打鐵讓學生及時熟悉明確公式，加深對公式的書寫與內容的了解記憶。

2.火眼金睛

（1）學生活動之“識”

①判斷下列等式正確與否，如果錯誤，進行訂正。

sin230°+cos230°=1sin290°=cos290°-1

sin230°+cos260°=1sin30°cos30°=tan30°

sin110°cos110°=tan110°

②編錯題，改正題。

③總結錯題中的錯誤類別。

【教師活動】①搶答互動環節。由學生判斷并說明理由，其余學生做裁判。②錯題編寫與改正相結合，提高理解。③引導歸納兩個基本公式中易錯、易混淆，需明辨的關鍵點。

【設計意圖】本環節重在使學生理解同角三角函數兩個基本關系式的內涵與外延，通過“識別—編題—改正—總結”，四個環節的活動加深學生對知識的理解。

（2）學生活動之“變”

①由同角三角函數兩個基本關系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα，寫出2個以上的變形式子。

②在黑板上寫出兩個特殊角的基本關系式與變化式子。

【教師活動】①安排公式變形任務。②鼓勵學生到黑板書寫自己的變形式子。③引導分析變形的類別，歸納。

【設計意圖】公式的變形訓練使學生進一步熟悉基本公式，在基本公式基礎上進行移動、同乘、平方、開方，是在識別基礎上的對同角三角函數的基本關系式認識第一次深化，為后面做練習打好基礎。

（3）學生活動之“辨”

①開方運算辨別正負符號。對于sinα=±1-cos2α，當α為第一、二、三、四象限角時，判別函數值的正負，確定開方式的正負。②試寫出別的開方式，判別角在各象限時函數值的正負。

【教師活動】①安排開方運算任務。②說明開方書寫要求。③由角所在象限確定函數值的正負。

【設計意圖】熟悉開方的書寫，明確利用角所在象限確定正負號。通過增加的配套練習，進一步熟悉開方過程中正負號的判定，為后面的難點突破做好鋪墊，減低難度。

3.精雕細琢

（1）學生活動之“練一練”

獨立完成例題分析。

例1：已知sinα=45，且α是第一象限的角，求cosα和tanα。

例2：已知cosα=12，且α是第四象限的角，求sinα和tanα。

（2）學生活動之“變一變”

變式訓練1：已知sinα=45，且α是第二象限的角，

求cosα和tanα。

變式訓練2：已知sinα=45，求cosα和tanα。

師生共同探討角所在象限，確定正負號；再由學生獨立完善解題思路，撰寫解題過程。

【教師活動】①例題分析歸納講解。②變式訓練題目的選配（分兩個層次：明確角所在象限；根據條件分類討論角所在象限）。③規范書寫解題過程，熟悉、完善解題思路。

【設計意圖】本環節是本課難點所在，通過對例題及配套的變式訓練，實現對知識點的分層訓練，降低學習難度。在“辨”環節的鋪墊為學生的綜合運用降低了難度。要求學生做好完整的記錄，回去通過復習加強理解。

（3）學生活動之“改一改”

①重溫本課基本內容sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。②簡化解題步驟，凸顯思路，重糾錯，規范書寫。

【教師活動】①引導復習兩個基本關系式及其變形。②各個象限里三角函數值符號的確定。③安排自由時間進行總結。

【設計意圖】在加強對知識點的概念理解的基礎上，通過對解題步驟的修繕、重整，有助于實現對學生邏輯條理性的培養。

（四）教學環節四：課后作業分層，溫故知新

【學生活動】課后作業分層次要求，有摘記、例題改寫、練習三個環節，對新學知識及時復習與鞏固，在動中學。

【教師活動】分層布置課后作業，及時批改指導。

【設計意圖】學生能力的提升源自“習得”，通過動手寫、思考，才能將教學的要求轉化為學生自身的能力，教師有針對性地布置作業，及時對作業進行評價與指導，能提升學生學習關注度，增強學生學習成就感。

五、教學反思

職高數學課堂加強分層次教學與互動教學，有助于調動學生的積極性，發揮學生的主體作用。教師通過活動引領，任務分層設計，引導學生參與到學習中來，學生在耳動、眼動、手動、口動、思動與心動中完成了知識的學習。“動中學”有效地緩解了學生對數學學習的畏難情緒，創設出一個更有利于學習的寬松環境，在活動中激發學生學習興趣，適度發展，綜合提高，學生課堂參與程度提高，學習主動性增強，教學效果得到改善。

參考文獻

[1]夏雪梅.以學習為中心的課堂觀察[M].北京：教育新華出版社，2012.

[2]羅增儒.中學數學顆粒分析[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

（責任編輯陳劍平）endprint

【教師活動】

①現場提問學生：結合所學談談如何求仰角處甲板高度。

②提取學生回答中的關鍵詞，師生一起探討解題思路。

③屏幕播放解題過程。

【設計意圖】學生在教師示范問題式結論后，產生表達這種結論的興趣，并產生新的疑問。

（2）新角度新思考

【學生活動】①明確思考的新方向——坐標法。

②推導同角三角函數兩個基本關系式。由三角函數定義sinα=yx，cosα=yx，tanα=yx，恒等變形推導基本關系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。③角的限制條件的明確。

【教師活動】①選學生上來板書推導過程。②明確兩個基本關系式及其使用條件。③熟悉明確公式內容。

【設計意圖】通過問題的推導，得出結論，趁熱打鐵讓學生及時熟悉明確公式，加深對公式的書寫與內容的了解記憶。

2.火眼金睛

（1）學生活動之“識”

①判斷下列等式正確與否，如果錯誤，進行訂正。

sin230°+cos230°=1sin290°=cos290°-1

sin230°+cos260°=1sin30°cos30°=tan30°

sin110°cos110°=tan110°

②編錯題，改正題。

③總結錯題中的錯誤類別。

【教師活動】①搶答互動環節。由學生判斷并說明理由，其余學生做裁判。②錯題編寫與改正相結合，提高理解。③引導歸納兩個基本公式中易錯、易混淆，需明辨的關鍵點。

【設計意圖】本環節重在使學生理解同角三角函數兩個基本關系式的內涵與外延，通過“識別—編題—改正—總結”，四個環節的活動加深學生對知識的理解。

（2）學生活動之“變”

①由同角三角函數兩個基本關系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα，寫出2個以上的變形式子。

②在黑板上寫出兩個特殊角的基本關系式與變化式子。

【教師活動】①安排公式變形任務。②鼓勵學生到黑板書寫自己的變形式子。③引導分析變形的類別，歸納。

【設計意圖】公式的變形訓練使學生進一步熟悉基本公式，在基本公式基礎上進行移動、同乘、平方、開方，是在識別基礎上的對同角三角函數的基本關系式認識第一次深化，為后面做練習打好基礎。

（3）學生活動之“辨”

①開方運算辨別正負符號。對于sinα=±1-cos2α，當α為第一、二、三、四象限角時，判別函數值的正負，確定開方式的正負。②試寫出別的開方式，判別角在各象限時函數值的正負。

【教師活動】①安排開方運算任務。②說明開方書寫要求。③由角所在象限確定函數值的正負。

【設計意圖】熟悉開方的書寫，明確利用角所在象限確定正負號。通過增加的配套練習，進一步熟悉開方過程中正負號的判定，為后面的難點突破做好鋪墊，減低難度。

3.精雕細琢

（1）學生活動之“練一練”

獨立完成例題分析。

例1：已知sinα=45，且α是第一象限的角，求cosα和tanα。

例2：已知cosα=12，且α是第四象限的角，求sinα和tanα。

（2）學生活動之“變一變”

變式訓練1：已知sinα=45，且α是第二象限的角，

求cosα和tanα。

變式訓練2：已知sinα=45，求cosα和tanα。

師生共同探討角所在象限，確定正負號；再由學生獨立完善解題思路，撰寫解題過程。

【教師活動】①例題分析歸納講解。②變式訓練題目的選配（分兩個層次：明確角所在象限；根據條件分類討論角所在象限）。③規范書寫解題過程，熟悉、完善解題思路。

【設計意圖】本環節是本課難點所在，通過對例題及配套的變式訓練，實現對知識點的分層訓練，降低學習難度。在“辨”環節的鋪墊為學生的綜合運用降低了難度。要求學生做好完整的記錄，回去通過復習加強理解。

（3）學生活動之“改一改”

①重溫本課基本內容sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。②簡化解題步驟，凸顯思路，重糾錯，規范書寫。

【教師活動】①引導復習兩個基本關系式及其變形。②各個象限里三角函數值符號的確定。③安排自由時間進行總結。

【設計意圖】在加強對知識點的概念理解的基礎上，通過對解題步驟的修繕、重整，有助于實現對學生邏輯條理性的培養。

（四）教學環節四：課后作業分層，溫故知新

【學生活動】課后作業分層次要求，有摘記、例題改寫、練習三個環節，對新學知識及時復習與鞏固，在動中學。

【教師活動】分層布置課后作業，及時批改指導。

【設計意圖】學生能力的提升源自“習得”，通過動手寫、思考，才能將教學的要求轉化為學生自身的能力，教師有針對性地布置作業，及時對作業進行評價與指導，能提升學生學習關注度，增強學生學習成就感。

五、教學反思

職高數學課堂加強分層次教學與互動教學，有助于調動學生的積極性，發揮學生的主體作用。教師通過活動引領，任務分層設計，引導學生參與到學習中來，學生在耳動、眼動、手動、口動、思動與心動中完成了知識的學習。“動中學”有效地緩解了學生對數學學習的畏難情緒，創設出一個更有利于學習的寬松環境，在活動中激發學生學習興趣，適度發展，綜合提高，學生課堂參與程度提高，學習主動性增強，教學效果得到改善。

參考文獻

[1]夏雪梅.以學習為中心的課堂觀察[M].北京：教育新華出版社，2012.

[2]羅增儒.中學數學顆粒分析[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

（責任編輯陳劍平）endprint

【教師活動】

①現場提問學生：結合所學談談如何求仰角處甲板高度。

②提取學生回答中的關鍵詞，師生一起探討解題思路。

③屏幕播放解題過程。

【設計意圖】學生在教師示范問題式結論后，產生表達這種結論的興趣，并產生新的疑問。

（2）新角度新思考

【學生活動】①明確思考的新方向——坐標法。

②推導同角三角函數兩個基本關系式。由三角函數定義sinα=yx，cosα=yx，tanα=yx，恒等變形推導基本關系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。③角的限制條件的明確。

【教師活動】①選學生上來板書推導過程。②明確兩個基本關系式及其使用條件。③熟悉明確公式內容。

【設計意圖】通過問題的推導，得出結論，趁熱打鐵讓學生及時熟悉明確公式，加深對公式的書寫與內容的了解記憶。

2.火眼金睛

（1）學生活動之“識”

①判斷下列等式正確與否，如果錯誤，進行訂正。

sin230°+cos230°=1sin290°=cos290°-1

sin230°+cos260°=1sin30°cos30°=tan30°

sin110°cos110°=tan110°

②編錯題，改正題。

③總結錯題中的錯誤類別。

【教師活動】①搶答互動環節。由學生判斷并說明理由，其余學生做裁判。②錯題編寫與改正相結合，提高理解。③引導歸納兩個基本公式中易錯、易混淆，需明辨的關鍵點。

【設計意圖】本環節重在使學生理解同角三角函數兩個基本關系式的內涵與外延，通過“識別—編題—改正—總結”，四個環節的活動加深學生對知識的理解。

（2）學生活動之“變”

①由同角三角函數兩個基本關系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα，寫出2個以上的變形式子。

②在黑板上寫出兩個特殊角的基本關系式與變化式子。

【教師活動】①安排公式變形任務。②鼓勵學生到黑板書寫自己的變形式子。③引導分析變形的類別，歸納。

【設計意圖】公式的變形訓練使學生進一步熟悉基本公式，在基本公式基礎上進行移動、同乘、平方、開方，是在識別基礎上的對同角三角函數的基本關系式認識第一次深化，為后面做練習打好基礎。

（3）學生活動之“辨”

①開方運算辨別正負符號。對于sinα=±1-cos2α，當α為第一、二、三、四象限角時，判別函數值的正負，確定開方式的正負。②試寫出別的開方式，判別角在各象限時函數值的正負。

【教師活動】①安排開方運算任務。②說明開方書寫要求。③由角所在象限確定函數值的正負。

【設計意圖】熟悉開方的書寫，明確利用角所在象限確定正負號。通過增加的配套練習，進一步熟悉開方過程中正負號的判定，為后面的難點突破做好鋪墊，減低難度。

3.精雕細琢

（1）學生活動之“練一練”

獨立完成例題分析。

例1：已知sinα=45，且α是第一象限的角，求cosα和tanα。

例2：已知cosα=12，且α是第四象限的角，求sinα和tanα。

（2）學生活動之“變一變”

變式訓練1：已知sinα=45，且α是第二象限的角，

求cosα和tanα。

變式訓練2：已知sinα=45，求cosα和tanα。

師生共同探討角所在象限，確定正負號；再由學生獨立完善解題思路，撰寫解題過程。

【教師活動】①例題分析歸納講解。②變式訓練題目的選配（分兩個層次：明確角所在象限；根據條件分類討論角所在象限）。③規范書寫解題過程，熟悉、完善解題思路。

【設計意圖】本環節是本課難點所在，通過對例題及配套的變式訓練，實現對知識點的分層訓練，降低學習難度。在“辨”環節的鋪墊為學生的綜合運用降低了難度。要求學生做好完整的記錄，回去通過復習加強理解。

（3）學生活動之“改一改”

①重溫本課基本內容sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。②簡化解題步驟，凸顯思路，重糾錯，規范書寫。

【教師活動】①引導復習兩個基本關系式及其變形。②各個象限里三角函數值符號的確定。③安排自由時間進行總結。

【設計意圖】在加強對知識點的概念理解的基礎上，通過對解題步驟的修繕、重整，有助于實現對學生邏輯條理性的培養。

（四）教學環節四：課后作業分層，溫故知新

【學生活動】課后作業分層次要求，有摘記、例題改寫、練習三個環節，對新學知識及時復習與鞏固，在動中學。

【教師活動】分層布置課后作業，及時批改指導。

【設計意圖】學生能力的提升源自“習得”，通過動手寫、思考，才能將教學的要求轉化為學生自身的能力，教師有針對性地布置作業，及時對作業進行評價與指導，能提升學生學習關注度，增強學生學習成就感。

五、教學反思

職高數學課堂加強分層次教學與互動教學，有助于調動學生的積極性，發揮學生的主體作用。教師通過活動引領，任務分層設計，引導學生參與到學習中來，學生在耳動、眼動、手動、口動、思動與心動中完成了知識的學習。“動中學”有效地緩解了學生對數學學習的畏難情緒，創設出一個更有利于學習的寬松環境，在活動中激發學生學習興趣，適度發展，綜合提高，學生課堂參與程度提高，學習主動性增強，教學效果得到改善。

參考文獻

[1]夏雪梅.以學習為中心的課堂觀察[M].北京：教育新華出版社，2012.

[2]羅增儒.中學數學顆粒分析[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

（責任編輯陳劍平）endprint