立體幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題反思能力的研究

彭春梅

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。從2007年至2012年全國高考數(shù)學(xué)試卷來看，每年高考試卷都會(huì)至少出現(xiàn)三道立體幾何題（選擇、填空、解答各一題）共22分，但根據(jù)統(tǒng)計(jì)，以2012年高考為例，立體幾何大題滿分12分，理科的平均分是3.33分，文科是2.98分，得分率在整個(gè)廣西都比較低，說明立體幾何的解題能力特別是解答題存在很大問題。如何解決立體幾何解題的困難呢？筆者在平時(shí)立體幾何教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都是在盲目地機(jī)械做題，老師反復(fù)講的題型拿在手上還是不懂如何入手，究其原因是學(xué)生沒有把立體幾何相關(guān)的公理定理理解好，題型的方法沒有真正吃透，只是生搬硬套。解決這些問題需要在立體幾何解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題反思能力。荷蘭數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心與動(dòng)力”，反思是數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維發(fā)生的必要條件。那么，怎樣才能培養(yǎng)學(xué)生立體幾何解題反思能力呢？ 本人結(jié)合立體幾何教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了如下幾方面的探討。

一、立體幾何定理公理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思能力

立體幾何里面的重要的公理定理很多，能不能理解好它是能不能用于解立體幾何題的關(guān)鍵，很多學(xué)生對(duì)于公理定理多半都是停留在機(jī)械記憶和想當(dāng)然的層面上，很少學(xué)生會(huì)反思公理定理的本質(zhì)反應(yīng)的是什么，是用于解決什么問題才用的，所以導(dǎo)致很多學(xué)生公理定理記住了但是不懂怎么用。以面面垂直的判定定理為例，一個(gè)面如果過另外一個(gè)面的垂線，那么這兩個(gè)面相互垂直。學(xué)生都知道這個(gè)定理是用于證明面面垂直的，但是怎么用？定理的實(shí)質(zhì)是什么？這需要教師在教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生挖掘定理的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生用自己的語言來理解，即要證明兩個(gè)平面垂直就要證明在這兩個(gè)平面中的一個(gè)面內(nèi)有一條直線和另一個(gè)平面垂直，或者先找出一個(gè)平面的垂直再使得另外一個(gè)平面經(jīng)過這條線。由此培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念公理定理的反思能力，以便更好的運(yùn)用它來解題。

二、通過立體幾何題專題課總結(jié)概括反思數(shù)學(xué)思想方法，舉一反三

在實(shí)際解題過程中，學(xué)生總是根據(jù)問題的具體情景來決定解題方法，這種方法就要受具體情景的制約。如果不對(duì)它進(jìn)行提煉、概括，它的適用范圍就有局限，不易產(chǎn)生遷移。因此應(yīng)在解題后讓學(xué)生反思解題過程，分析具體方法中包含的數(shù)學(xué)思想方法。在反思問題設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該考慮讓學(xué)生對(duì)具體方法進(jìn)行再加工，提出提煉數(shù)學(xué)思想方法的任務(wù)。這樣可以把解決問題的數(shù)學(xué)思想方法及對(duì)問題的再認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)學(xué)習(xí)過程，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，達(dá)到融會(huì)貫通的境界。

教學(xué)片斷：

（1）開門見山，展示例題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求點(diǎn)B1到截面BDC1的距離。

（2）協(xié)作交流，探究問題的基本解法

師：求點(diǎn)面距離的實(shí)質(zhì)是什么呢？

生：過該點(diǎn)向所求平面作垂線，垂足與該點(diǎn)的線段長(zhǎng)度就是點(diǎn)到面。

師：過點(diǎn)向所求平面作垂線，可以從哪里著手？

生：垂足位置。

師：垂足的具體位置在哪里？請(qǐng)同學(xué)們思考。

（學(xué)生紛紛拿出紙筆畫出了立體圖形）

師：（幾分鐘后）同學(xué)們找到了垂足的具體位置沒有？

生：在平面BDC1與平面BCC1B1的交線上。

師：為什么？

生：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可以知道。

（3）窮追不舍，反思問題的其他解法

師：解決一個(gè)問題的關(guān)鍵是要找到問題的突破口，上面的解法是從垂足位置著手，那么能否避開垂足位置從別的地方著手呢？

（學(xué)生思考，沉默。）

師：（趁熱打鐵提示學(xué)生）我們所學(xué)知識(shí)里面還有哪個(gè)只是含有點(diǎn)到面距離的？

生：體積。

師：可是求體積沒有方程怎么解出高？

生：三棱錐不管用那個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)體積不變即VB1-BDC1=VC1BDB1即可找到答案。

（眾生頓悟：原來點(diǎn)面距離未必要找出垂足位置。）

（5）回顧反思，總結(jié)解題方法

師：讓我們來總結(jié)一下，求點(diǎn)面距離有哪幾種方法？

生：等積變換法。

師：等積變換法的好處是什么？

生：可以避免尋找垂足位置。

師：如果要尋找垂足位置，有什么方法可幫助我們尋找。

生：尋找已知平面的垂直平面。

師：能給這個(gè)方法起個(gè)名字嗎？

生：叫垂面法吧！

師：如果我的問題不是問點(diǎn)B1到面BDC1的距離，而是問B1B與面BDC1的角，怎么求？線面角的實(shí)質(zhì)是什么？

生：根據(jù)線面角的定義只要求出斜線段長(zhǎng)和斜線段上一點(diǎn)到面的距離即可。

師：那和我們上面求點(diǎn)到面的距離有什么聯(lián)系？

生：實(shí)質(zhì)是一樣的，關(guān)鍵都是點(diǎn)面距離。

師：很好，著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞說過：“如果沒有反思，他們就錯(cuò)過了解題的一次重要而有效益的方面。”因此，我們?cè)诮鉀Q一個(gè)問題時(shí)，要從多角度分析，多方面反思，這樣就可以舉一反三提高解立體幾何題的能力了。

3.還課堂給學(xué)生，讓他們有反思的時(shí)間和空間。

上立體幾何課，教師往往感覺到?jīng)]有講多少個(gè)題就下課了，時(shí)間很緊，既要畫圖又要分析，手忙腳亂。學(xué)生也是聽得一頭霧水，收獲甚小，還沒有領(lǐng)會(huì)這個(gè)題目的思想方法是什么，就已經(jīng)結(jié)束了。從上面的教學(xué)片斷看，筆者留給了學(xué)生思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生理解了方法的本質(zhì)，歸納了解此類題的方法，發(fā)散了另外的一類題型，最后又回到此題的本質(zhì)上來，這便使得學(xué)生真正掌握了點(diǎn)面距離線面角這兩類題型，把課堂真正還給學(xué)生，從而讓他們有反思的時(shí)間與空間。

4.加強(qiáng)對(duì)學(xué)生反思活動(dòng)的監(jiān)督。

在培養(yǎng)學(xué)生解題反思的過程中，教師還要對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋O(jiān)督，這也是培養(yǎng)學(xué)生解題反思能力過程中不可或缺的一環(huán)。例如在筆者的實(shí)際教學(xué)過程中，精心挑選課后作業(yè)進(jìn)行批改，在講評(píng)的時(shí)候把學(xué)生不同的做法進(jìn)行展示，歸納總結(jié)，完成后要求學(xué)生必須定期就自己的解題反思過程用日記、錯(cuò)題本或者其他形式記錄下來并定期檢查。后來的實(shí)踐結(jié)果證明這種方式收到了非常好的效果，學(xué)生再遇到類似問題時(shí)的出錯(cuò)率大大降低，學(xué)生的立體幾何解題能力也得到了較大的提高。

總之，數(shù)學(xué)的習(xí)題千變?nèi)f化，在教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生作題后反思，讓學(xué)生在解題反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)精神，優(yōu)化解題方法，提高能力。

參考文獻(xiàn)

[1]吳開朗等.論漢斯·弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育觀[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1995（8）.

[2]周海川.反思性學(xué)習(xí)能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)途徑[J].基礎(chǔ)教育研究，2005（8）.

[3]陶興模.注重培養(yǎng)學(xué)生解題后反思的習(xí)慣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2002（2）.

[4]俞成剛.對(duì)高中數(shù)學(xué)解題反思的幾點(diǎn)看法[J].考試周刊，2009（41）.

（責(zé)任編輯韋淑紅）endprint