“三法”證明線面平行

辛軍元 韓秀梅

平行關系是幾何中一種常見的位置關系，其包括線線平行、線面平行及面面平行三種類型.其中線面平行是三種平行關系中最為常見的一種，是高中數學的必修內容，它既與線線平行相關，又與面面平行有一定的聯系，是三種平行關系中極為重要的一種.在2013年的高考中，有一半的試卷涉及線面平行的證明，下面以題為例研究線面平行的證明方法，尋找此類題的解題規律.

一、由線線平行證明線面平行

證明線面平行最基本的方法是根據線面平行的判定定理，即證平面外的直線與平面內的一條直線平行.此種方法的關鍵是找到平面內的一條直線與此直線平行，即證線線平行，經常應用到的結論有：（1）三角形的中位線平行于第三邊；（2）同旁內角互補、同位角相等、內錯角相等的兩直線平行；（3）垂直于同一直線的兩條直線平行；（4）平行四邊形的對邊相等且平行；（5）如果一條直線截三角形的兩邊或兩邊的延長線，所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

點評：本題中要證BE∥面PAD，可考慮在平面PAD中尋找一條直線與BE平行，根據條件中的線段關系考慮構造平行四邊形解決.

二、由面面平行證明線面平行

在證明線面平行時，若根據判斷定理不容易證明，可考慮通過證明面面平行，達到證明線面平行的目的.

點評：要證明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一條直線與BM平行，但根據條件易證明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.從而得到面面平行，根據面面平行的性質，易得線面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直線與平面的法向量垂直，且直線在平面外，則直線與平面平行，當題目中的條件有利于建立直角坐標系，且用以上兩種方法不易證明時，可考慮建立直角坐標系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

點評：本題具備了建立直角坐標系的條件，且點的坐標易求，故考慮利用法向量證明線面平行，應注意最后必須寫明PQ平面BMN.

（責任編輯鐘偉芳）endprint

平行關系是幾何中一種常見的位置關系，其包括線線平行、線面平行及面面平行三種類型.其中線面平行是三種平行關系中最為常見的一種，是高中數學的必修內容，它既與線線平行相關，又與面面平行有一定的聯系，是三種平行關系中極為重要的一種.在2013年的高考中，有一半的試卷涉及線面平行的證明，下面以題為例研究線面平行的證明方法，尋找此類題的解題規律.

一、由線線平行證明線面平行

證明線面平行最基本的方法是根據線面平行的判定定理，即證平面外的直線與平面內的一條直線平行.此種方法的關鍵是找到平面內的一條直線與此直線平行，即證線線平行，經常應用到的結論有：（1）三角形的中位線平行于第三邊；（2）同旁內角互補、同位角相等、內錯角相等的兩直線平行；（3）垂直于同一直線的兩條直線平行；（4）平行四邊形的對邊相等且平行；（5）如果一條直線截三角形的兩邊或兩邊的延長線，所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

點評：本題中要證BE∥面PAD，可考慮在平面PAD中尋找一條直線與BE平行，根據條件中的線段關系考慮構造平行四邊形解決.

二、由面面平行證明線面平行

在證明線面平行時，若根據判斷定理不容易證明，可考慮通過證明面面平行，達到證明線面平行的目的.

點評：要證明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一條直線與BM平行，但根據條件易證明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.從而得到面面平行，根據面面平行的性質，易得線面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直線與平面的法向量垂直，且直線在平面外，則直線與平面平行，當題目中的條件有利于建立直角坐標系，且用以上兩種方法不易證明時，可考慮建立直角坐標系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

點評：本題具備了建立直角坐標系的條件，且點的坐標易求，故考慮利用法向量證明線面平行，應注意最后必須寫明PQ平面BMN.

（責任編輯鐘偉芳）endprint

平行關系是幾何中一種常見的位置關系，其包括線線平行、線面平行及面面平行三種類型.其中線面平行是三種平行關系中最為常見的一種，是高中數學的必修內容，它既與線線平行相關，又與面面平行有一定的聯系，是三種平行關系中極為重要的一種.在2013年的高考中，有一半的試卷涉及線面平行的證明，下面以題為例研究線面平行的證明方法，尋找此類題的解題規律.

一、由線線平行證明線面平行

證明線面平行最基本的方法是根據線面平行的判定定理，即證平面外的直線與平面內的一條直線平行.此種方法的關鍵是找到平面內的一條直線與此直線平行，即證線線平行，經常應用到的結論有：（1）三角形的中位線平行于第三邊；（2）同旁內角互補、同位角相等、內錯角相等的兩直線平行；（3）垂直于同一直線的兩條直線平行；（4）平行四邊形的對邊相等且平行；（5）如果一條直線截三角形的兩邊或兩邊的延長線，所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

點評：本題中要證BE∥面PAD，可考慮在平面PAD中尋找一條直線與BE平行，根據條件中的線段關系考慮構造平行四邊形解決.

二、由面面平行證明線面平行

在證明線面平行時，若根據判斷定理不容易證明，可考慮通過證明面面平行，達到證明線面平行的目的.

點評：要證明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一條直線與BM平行，但根據條件易證明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.從而得到面面平行，根據面面平行的性質，易得線面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直線與平面的法向量垂直，且直線在平面外，則直線與平面平行，當題目中的條件有利于建立直角坐標系，且用以上兩種方法不易證明時，可考慮建立直角坐標系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

點評：本題具備了建立直角坐標系的條件，且點的坐標易求，故考慮利用法向量證明線面平行，應注意最后必須寫明PQ平面BMN.

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