探究點的運動路徑問題的教學與思考

丁衛東

在近幾年各地中考中，出現了一些關于點的運動路徑的問題，而在現在的初中教材中，沒有明確軌跡的知識，所以學生往往只從操作等直觀的方面去思考，或者畫出幾個特殊位置時的圖形，來判斷點運動可能形成的路徑，但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問題，而不能說明道理.本文從如何運用現有數學知識來判斷、說明和計算點的運動路徑的角度提出自己在教學過程中的一些方法.

一、用幾何知識探索點的運動路徑

1.用平行線的性質“平行線間的距離處處相等”探索點的運動路徑

【例1】

如圖1，△ABC的邊長分別6、8、10，一個以P為圓心且半徑為1的圓在其內部滾動，且總是與△ABC的邊相切，當P第一次回到它原來的位置時，P走過的路程是多少？

分析：圓在運動過程中圓心到三角形各邊的距離不變，所以點P的運動路徑就是在三角形內部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形，三角形的周長就是P走過的路程.

2.用圓的定義“到定點的距離等于定長的點組成的圖形叫做圓”探索點的運動路徑

【例2】

如圖2，一根木棒AB長為2，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾角為60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中點P也隨之運動，已知A端下滑到A′時，AA′=-3-2，則中點P隨之運動的路線有多長？

分析：抓住點P在運動過程中的特點，發現由于運動中木棒長度不變，所以P到O的距離也不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.所以點P的運動路徑是以點O為圓心，以1為半徑的圓.

3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點的運動路徑

【例3】

如圖3，已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊△PFB，連結EF，設EF的中點為G；當點P從點C運動到點D時，求點G移動路徑的長.

分析：在運動過程中的CD長度不變，G為EF中點和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變，發現△ABQ是一個不變的等邊三角形，而G始終是PQ中點，從而想到用三角形中位線定理找到G的運動路徑.

4.用圓周角性質“直徑所對的圓周角是直角”探索點的運動路徑

【例4】如圖4，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P（0，m）是線段OC上一個動點（點C除外）.設過點P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點E，過點E作直線ME的垂線，垂足為H.當點P從原點O向點C運動時，點H也隨之運動.求點H所經過的路徑長.

分析：在點H隨點P的運動過程中，∠OHM始終等于90°，與定點OM構成直角三角形.所以根據“直徑所對的圓周角是直角”反過來，可以看出點H在以OM為直徑的圓弧上運動.

二、用函數知識探索點的運動路徑

【例5】

如圖5，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=8，OC=4.點P從點O出發，沿x軸以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒.將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA.

（1）用含t的代數式表示出點D的坐標；

（2）直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長.

分析：1.由（1）可知D的坐標為（2+2t，t），其中縱坐標與橫坐標都含有變量t，且縱坐標與橫坐標的關系為y=12x-1，是一次函數，可知頂點在直線y=12x-1上運動；2.由0≤t≤4，得出頂點的運動路徑是以（2，0）和（10，4）為端點的一條線段，應用勾股定理，就可以求出這條線段的長度.

（責任編輯黃桂堅）endprint

在近幾年各地中考中，出現了一些關于點的運動路徑的問題，而在現在的初中教材中，沒有明確軌跡的知識，所以學生往往只從操作等直觀的方面去思考，或者畫出幾個特殊位置時的圖形，來判斷點運動可能形成的路徑，但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問題，而不能說明道理.本文從如何運用現有數學知識來判斷、說明和計算點的運動路徑的角度提出自己在教學過程中的一些方法.

一、用幾何知識探索點的運動路徑

1.用平行線的性質“平行線間的距離處處相等”探索點的運動路徑

【例1】

如圖1，△ABC的邊長分別6、8、10，一個以P為圓心且半徑為1的圓在其內部滾動，且總是與△ABC的邊相切，當P第一次回到它原來的位置時，P走過的路程是多少？

分析：圓在運動過程中圓心到三角形各邊的距離不變，所以點P的運動路徑就是在三角形內部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形，三角形的周長就是P走過的路程.

2.用圓的定義“到定點的距離等于定長的點組成的圖形叫做圓”探索點的運動路徑

【例2】

如圖2，一根木棒AB長為2，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾角為60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中點P也隨之運動，已知A端下滑到A′時，AA′=-3-2，則中點P隨之運動的路線有多長？

分析：抓住點P在運動過程中的特點，發現由于運動中木棒長度不變，所以P到O的距離也不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.所以點P的運動路徑是以點O為圓心，以1為半徑的圓.

3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點的運動路徑

【例3】

如圖3，已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊△PFB，連結EF，設EF的中點為G；當點P從點C運動到點D時，求點G移動路徑的長.

分析：在運動過程中的CD長度不變，G為EF中點和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變，發現△ABQ是一個不變的等邊三角形，而G始終是PQ中點，從而想到用三角形中位線定理找到G的運動路徑.

4.用圓周角性質“直徑所對的圓周角是直角”探索點的運動路徑

【例4】如圖4，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P（0，m）是線段OC上一個動點（點C除外）.設過點P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點E，過點E作直線ME的垂線，垂足為H.當點P從原點O向點C運動時，點H也隨之運動.求點H所經過的路徑長.

分析：在點H隨點P的運動過程中，∠OHM始終等于90°，與定點OM構成直角三角形.所以根據“直徑所對的圓周角是直角”反過來，可以看出點H在以OM為直徑的圓弧上運動.

二、用函數知識探索點的運動路徑

【例5】

如圖5，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=8，OC=4.點P從點O出發，沿x軸以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒.將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA.

（1）用含t的代數式表示出點D的坐標；

（2）直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長.

分析：1.由（1）可知D的坐標為（2+2t，t），其中縱坐標與橫坐標都含有變量t，且縱坐標與橫坐標的關系為y=12x-1，是一次函數，可知頂點在直線y=12x-1上運動；2.由0≤t≤4，得出頂點的運動路徑是以（2，0）和（10，4）為端點的一條線段，應用勾股定理，就可以求出這條線段的長度.

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在近幾年各地中考中，出現了一些關于點的運動路徑的問題，而在現在的初中教材中，沒有明確軌跡的知識，所以學生往往只從操作等直觀的方面去思考，或者畫出幾個特殊位置時的圖形，來判斷點運動可能形成的路徑，但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問題，而不能說明道理.本文從如何運用現有數學知識來判斷、說明和計算點的運動路徑的角度提出自己在教學過程中的一些方法.

一、用幾何知識探索點的運動路徑

1.用平行線的性質“平行線間的距離處處相等”探索點的運動路徑

【例1】

如圖1，△ABC的邊長分別6、8、10，一個以P為圓心且半徑為1的圓在其內部滾動，且總是與△ABC的邊相切，當P第一次回到它原來的位置時，P走過的路程是多少？

分析：圓在運動過程中圓心到三角形各邊的距離不變，所以點P的運動路徑就是在三角形內部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形，三角形的周長就是P走過的路程.

2.用圓的定義“到定點的距離等于定長的點組成的圖形叫做圓”探索點的運動路徑

【例2】

如圖2，一根木棒AB長為2，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾角為60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中點P也隨之運動，已知A端下滑到A′時，AA′=-3-2，則中點P隨之運動的路線有多長？

分析：抓住點P在運動過程中的特點，發現由于運動中木棒長度不變，所以P到O的距離也不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.所以點P的運動路徑是以點O為圓心，以1為半徑的圓.

3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點的運動路徑

【例3】

如圖3，已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊△PFB，連結EF，設EF的中點為G；當點P從點C運動到點D時，求點G移動路徑的長.

分析：在運動過程中的CD長度不變，G為EF中點和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變，發現△ABQ是一個不變的等邊三角形，而G始終是PQ中點，從而想到用三角形中位線定理找到G的運動路徑.

4.用圓周角性質“直徑所對的圓周角是直角”探索點的運動路徑

【例4】如圖4，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P（0，m）是線段OC上一個動點（點C除外）.設過點P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點E，過點E作直線ME的垂線，垂足為H.當點P從原點O向點C運動時，點H也隨之運動.求點H所經過的路徑長.

分析：在點H隨點P的運動過程中，∠OHM始終等于90°，與定點OM構成直角三角形.所以根據“直徑所對的圓周角是直角”反過來，可以看出點H在以OM為直徑的圓弧上運動.

二、用函數知識探索點的運動路徑

【例5】

如圖5，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=8，OC=4.點P從點O出發，沿x軸以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒.將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA.

（1）用含t的代數式表示出點D的坐標；

（2）直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長.

分析：1.由（1）可知D的坐標為（2+2t，t），其中縱坐標與橫坐標都含有變量t，且縱坐標與橫坐標的關系為y=12x-1，是一次函數，可知頂點在直線y=12x-1上運動；2.由0≤t≤4，得出頂點的運動路徑是以（2，0）和（10，4）為端點的一條線段，應用勾股定理，就可以求出這條線段的長度.

（責任編輯黃桂堅）endprint