考慮海底管線初始側向變形的低階模態水平向整體屈曲分析

郭林坪，劉 潤，閆澍旺

(天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072)

自20世紀70年代起海底管線逐步在全球范圍內成為海上油氣運輸的主要手段。在海底管線輸送石油和天然氣的過程中，需要施加一定的壓力并升高溫度，溫度應力與材料泊松效應的共同作用使鋼管中產生附加應力。由于受到地基土的約束作用，管線無法自由變形釋放應力，隨著管長增加附加應力在管線中不斷累積，當其值超過地基土體對管線的約束力時，管線就會發生類似于壓桿穩定問題的突然變形而使內部應力得到釋放，從而導致管線發生豎直向或水平向的整體屈曲，較大的整體屈曲一方面可能導致管線中的彎曲應力增長，接近或達到鋼材的屈服強度，對管線的安全運營造成威脅，另一方面，屈曲變形可能導致管線配重層、保溫層結構遭到破壞甚至進水，影響管線的正常使用。

對海底管線水平向整體屈曲的研究國外起步較早。Hobbs［1］基于Ker［2］關于連續鐵軌的橫向屈曲研究成果推導了理想管線豎直向與水平向屈曲的解析解;Taylor和Gan［3-4］考慮了土抗力在管線發生變形過程中的變化，完善了Hobbs［1］的研究成果，并在隨后的研究過程中推導了初始側向變形管線水平向屈曲的解析解;Taylor和Tran［5］考慮了管線在鋪設過程中產生初始側向變形的情況下，提出海底管線發生豎直向屈曲的解析解;Schotman［6］通過模型實驗和數值模擬研究提出了土抗力與管線位移的關系;1999年，Sriskandarajah［7］等人對管線水平向屈曲問題的解析解和有限元分析結果進行了比較，指出了海底管線初始側向變形的重要性。Preston等［8］通過數值分析提出了在管線上預設膨脹彎的方法以控制水平向屈曲。2004年，Hesar［9］利用Abaqus有限元軟件對軟粘土中海底管線水平向運動的管土相互作用進行了研究。Burio等［10］通過有限元方法對管土相互作用進行了研究;Peek和Yun［11］研究了浮力對鋪設于海床表面管線發生水平屈曲的影響。國內的研究相對較少，2005年，劉潤等［12］對溫度應力下海底管線屈曲分析方法進行了改進;2008年，劉志剛和孫國民［13］以Hobbs［1］的研究成果為基礎，結合工程實例初步探討了深水高溫高壓管道的側向屈曲控制措施。2011年，劉潤等［14-15］通過模型試驗對發生水平向運動時的管土相互作用進行了分析，揭示了當管線發生水平向運動和軸向運動時土抗力的發揮過程及規律性。王武剛、郭林坪等［16-18］通過對溫度應力下海底管線的解析解的研究，結合工程實踐對理想海底管線的屈曲規律及管線屈曲的影響因素進行了分析。由此可見關于海底管線水平向屈曲解析解研究已經積累了一定的成果，但如何準確計算管線中的溫度應力，揭示管線發生屈曲變形的影響因素及規律性還有待深入探討。

以具有初始側向變形的海底管線為研究對象，通過理論分析建立了溫壓聯合作用下海底管線水平向整體屈曲的彎矩平衡方程，得到了具有初始側向變形的管線發生低階模態整體屈曲的解析解，進而結合實際工程對影響具有初始側向變形管線水平向整體屈曲的因素進行分析。

1 管線水平向整體屈曲解析解

1.1 管線的初始側向變形

海底管線在制造和鋪設過程中會因為制造的缺陷或地基土體的原因而產生初始的變形，稱之為初始側向變形，為便于解析解的推導，將管線初始側向變形形狀假定為:單拱側向變形和反對稱雙拱側向變形兩種形式，如圖1所示。由于描述這種側向變形與管線屈曲的數學方程變量階數不大于2，因此統稱為低階側向變形或低階變形模式。

圖1 初始側向變形形狀Fig.1 Topologies of the pipeline initial lateral deformation

假定單拱初始側向變形和反對稱雙拱初始側向變形的形狀與理想管線低階水平向屈曲變形后的形狀相同，且反對稱雙拱側向變形的對稱點不發生移動。則基于理想管線水平向整體屈曲的解析解［17］，可得單拱側向變形的表達式如式(1)［4］:

式中:vo為任意位置x處的側向變形值;vom側向變形的幅值，vom=2.407×10-3φLqLo4/EI，由理想狀態管線屈曲可知vom位于x=0處;K1=15.698 5;Lo為側向變形的長度;=P/EI，EI為管線的抗彎剛度;P為管線屈曲段內的軸向力。

反對稱雙拱側向變形的表達式:

式中:K2=8.621 1;vom=5.531 5×10-3φLq/EI，由理想狀態管線屈曲可知vom位于x=0.346 4Lo處;其它符號意義同前。

1.2 具有單拱側向變形管線的水平向整體屈曲

具有初始側向變形的管線在溫度應力下將在側向變形處繼續發生變形，圖2給出了具有單拱初始側向變形海底管線在溫差和壓差作用下發生水平向整體屈曲的變形形態和受力分析。

圖2 單拱初始側向變形下管線整體屈曲變形形態及受力分析Fig.2 Deformation and force analysis of the pipeline with one-arch initial lateral deformation

由圖可知，發生整體屈曲變形的管線，可根據其變形特點分為如下三個部分:其一為管線的嵌固段，即圖中的La段，這部分管線受到地基土體的約束，不發生對地基土體的相對位移，管線內軸力為Po;其二為管線的滑移段，即圖中的Ls段，這部分管線沒有被地基土全部約束，產生軸向變形釋放應力，發生了與地基土體的相對滑動，受到地基土體的摩阻力，摩阻力最大值為φAqLs，其軸力減小，小于Po;其三為拱起段，圖中的L段，這段管線在溫度和內壓作用下，在原有初始側向變形基礎上繼續變形，內部壓力得到釋放減小到Po。

外力對管線所做的功導致管線發生整體屈曲，根據材料力學的基本原理，外力做功可通過應變能V求得。由材料力學中應變能計算方法可知，對于長度為l的桿件，直梁純彎曲時的應變能為:

式中:I為桿件的慣性矩;E為楊氏模量;M(x)為桿件所受彎矩。

桿件承受外力F拉伸時，桿件的軸向拉伸應變能為:

式中:F為桿件所受軸力;A為桿件的截面積。

圖2中管線產生的應變分別來自管線受到的彎矩、軸向的地基土摩阻力和管線內部的軸力，因此管線的應變能為［4］:

式中:v為任意位置x處的屈曲幅值;vo為任意位置x處的側向變形幅值;L為屈曲段長度;Lo為側向變形長度;v’x為管線屈曲變形值對x的一階導數，vo’x為側向變形值對x的一階導數;v’xx為管線屈曲變形值對x的二階導數，vo’xx為側向變形值對x的二階導數;P為屈曲段管線內的軸向力;φA為管線與地基土體的軸向摩擦數;q為管線單位長度重量。

為了確定管線發生整體屈曲的最小溫度，需要確定管線發生屈曲的最小應變能。求解dV/dvm=0，可得到屈曲段軸力與屈曲段長度的關系式:

對滑移段進行受力分析，可得到P與Po的關系如下:

式中:Po為溫差和壓差在管線內產生的軸向力，Ls為管線滑移段長度。

為了進一步建立溫度與管線拱起段長度的關系，可將管線內部的壓差等效為溫差考慮，從而得到:

由式(7)、(8)可建立管線所受溫差ΔT與屈曲段長度L之間的關系式為:

由于管線屈曲長度與幅值是一一對應的，所以由溫差ΔT與屈曲長度L的關系可以得到管線的屈曲段幅值vm與溫差ΔT之間的關系。

1.3 具有反對稱雙拱側向變形的水平向整體屈曲

圖3給出了具有反對稱雙拱初始側向變形管線在溫差和壓差作用下發生水平向整體屈曲的變形形態和受力分析。

圖3 反對稱雙拱側向變形下管線整體屈曲變形形態及受力分析Fig.3 Deformation and force analysis of the pipeline with antisymmetry two-arch initial lateral deformation

為了確定管線發生整體屈曲的最小溫度，需要確定管線發生屈曲的最小能量。令dV/dvm=0，可得到屈曲段軸力與屈曲段長度的關系式:

對滑移段進行受力分析，可得到P與Po的關系如下:

通過滑移段的性質可以確定管線屈曲段軸力P與溫差ΔT間的關系。結合式(8)、(12)則有溫差ΔT與屈曲段長度L之間的關系:

由于管線屈曲長度與幅值是一一對應的，所以由ΔT與L的關系即可建立管線屈曲段幅值vm與溫差ΔT之間的關系。

2 工程實例分析

2.1 工程概況

某海底管線外徑323.9 mm，壁厚12.7 mm，設計內壓為4.60 MPa，設計溫度為45°C。表1給出了該管線及地基土體的設計參數。

由于海水的環境溫度為20°C，因此設計溫差為25°C，由式(8)可知內壓的等效溫差為5.18℃，因此可以按總溫差30.18℃進行計算。采用前述解析方法編程，分析管線在設計溫差和壓差作用下的水平向整體屈曲規律性。

表1 管線及地基土參數Tab.1 Parameters of pipeline and subsoil

2.2 初始側向變形對水平向整體屈曲的影響

由表1可估算地基土與管線之間的摩擦系數為0.4。為了分析初始側向變形對管線水平向整體屈曲的影響，分別假定管線沒有初始側向變形，以及存在初始側向變形且幅值為100 mm的情況進行對比分析，圖4給出了計算得到的溫差和管線整體屈曲幅值vm的關系。

圖4 溫差與水平向整體屈曲幅值的關系曲線Fig.4 Relationship of ΔT vs.vm

由圖4可以看出，是否考慮初始側向變形對管線整體屈曲的特性有較大影響，當不考慮側向變形存在時管線發生屈曲后幅值與溫差的關系曲線成“v”型，而考慮初始側向變形后曲線呈“r”型;對比圖4可知，在考慮初始側向變形的情況下，初始側向變形的形狀對管線屈曲后的變形亦有一定的影響。各種情況下管線發生整體的初始溫差存在差異，計算結果見表2。

表2 管線屈曲溫差Tab.2 Initial buckling temperature of the pipeline

可知，不考慮側向變形情況得到的管線屈曲對應的起始溫差均高于考慮側向變形的情況，而反對稱雙拱整體屈曲模式對應的管線初始屈曲溫差略低于單拱整體屈曲模式的管線。說明了溫差和壓差相同的條件下，具有初始側向變形的海底管線較理想狀態下的海底管線更容易發生整體屈曲，且具有反對稱雙拱初始側向變形的海底管線比具有單拱初始側向變形的海底管線更易發生整體屈曲。

2.3 初始側向變形形式對水平向整體屈曲的影響

為了進一步分析初始側向變形形式對管線水平向整體屈曲變形的影響，假定管線具有相同的初始側向變形幅值，vom=300 mm，對具有兩種初始側向變形形式的管線分別進行計算，圖5分別給出了計算得到的管線屈曲幅值(vm)和屈曲段長度(L)與溫差的關系。

圖5表明，初始側向變形形式對管線整體屈曲變形形態有較大的影響，相同的溫差下單拱整體屈曲模式的屈曲幅值大于反對稱雙拱整體屈曲模式的幅值，但屈曲長度小于后者;在相同的初始側向變形幅值情況下，單拱整體屈曲模式的起始溫差為21.72°C，高于反對稱雙拱整體屈曲模式的起始溫差17.87°C，說明在相同的溫差下具有反對稱雙拱初始側向變形的管線更容易發生整體屈曲。

圖5 vom=300 mm時管線的水平向整體屈曲規律Fig.5 Relationships of vm～ΔT and L～ΔT with vom=300 mm

2.4 初始側向變形幅值對水平向整體屈曲的影響

假定管線具有不同的初始側向變形幅值進行對比分析，圖6給出了兩種屈曲變形模式下設計溫差與管線屈曲變形幅值的關系。

圖6 初始側向變形幅值對管線整體屈曲的影響Fig.6 vm～ΔT loci with the different amplitudes of initial lateral deformation

由圖6可知，初始側向變形幅值越大，管線發生屈曲對應的起始溫差越低，說明相同設計條件下側向變形幅值越大的管線越容易發生整體屈曲。無論管線具有哪種形式的初始側向變形，隨著側向變形幅值的增大，vm～ΔT關系曲線的形態發生變化，即在較小初始側向變形情況下，例如vom＜200 mm，曲線上出現極值點，管線屈曲段幅值呈現隨溫差增加先下降后上升的情況，表明管線的變形存在不穩定階段，可由曲線的左半支跳躍達到右半支，出現突然性的大變形;而當初始側向變形的幅值增加到達200 mm以上后，vm～ΔT關系曲線上的極值點消失，即管線的屈曲變形幅值隨著作用溫差的增加而持續增長，跳躍段消失。

2.5 地基土約束力對水平向整體屈曲的影響

當溫度和壓力一定時，土體對管線的約束力大小決定了管線是否發生整體屈曲［15-16］。對于不進行挖溝埋設的海底管線，管土間的摩擦力是土體對管線的唯一約束力，因此摩擦力對管線屈曲特性有著重要的影響。假定管線具有的初始側向變形幅值不變(vom=50 mm)，只改變管土之間的摩擦系數進行分析。圖7為摩擦系數取φ=0.01，0.10，0.20，0.30，0.40情況下，計算得到的管線屈曲幅值與設計溫差和管線軸向壓力的關系。

由圖7中的vm～ΔT關系曲線可知，無論是哪種形式的初始側向變形，管線發生水平向整體屈曲的幅值隨著設計溫差的增大而增大，管線發生整體屈曲對應的起始溫度隨著管土間摩擦系數的增加而升高，即地基土對管線的約束力越大，管線越不易發生屈曲;圖7中的Po～ΔT曲線表明，隨著管土間摩擦系數的增大，對于發生相同幅值屈曲的管線，引發屈曲的軸向壓力亦增大。這都表明摩擦系數的增大會使得管線更加安全。

由以上計算分析可知，無論是否考慮初始側向變形，該工程中的管線在溫差為31.8°C的設計條件下都存在發生整體水平向屈曲的可能;由于第二種管線屈曲比第一種更易發生，因此計算了管線發生第二種屈曲時管線中的最大軸向壓應力，為167 MPa，而對于工程中使用的管線，其屈服應力為448 MPa，因此，管線雖然會屈曲，但并不會屈服破壞。

圖7 不同摩擦系數下管線水平向整體屈曲的特征曲線Fig.7 vm～ΔT loci with different pipe-soil friction coefficients

3 結語

建立了溫壓聯合作用下，具有初始側向變形的海底管線發生單拱或反對稱雙拱模式水平向整體屈曲的解析解，結合工程實例分析了初始側向變形的存在、變形形態和幅值以及地基土體約束對管線水平向整體屈曲的影響，可得到以下結論:

1)初始側向變形對管線的水平向整體屈曲有較大的影響。無初始側向變形的管線屈曲后vm～ΔT關系曲線呈“v”型，而考慮初始側向變形存在時，得到的管線整體屈曲vm～ΔT關系曲線呈“r”型，相同設計條件下具有初始側向變形的管線更容易發生整體屈曲。

2)管線所具有的初始側向變形形式影響管線的整體屈曲形態，當初始缺陷幅值相同時，反對稱雙拱屈曲模式較單拱屈曲模式更容易發生。

3)管線所具有的初始側向變形幅值的大小對其整體屈曲的vm～ΔT關系曲線形狀有較大影響。當初始側向變形較小時(例如算例中初始側向變形值小于200 mm時)，vm～ΔT關系曲線上出現極值點，說明管線會發生不穩定變形，出現變形的跳躍階段，但隨著初始側向變形幅值的增加，這種不穩定變形現象消失;相同設計條件下初始側向變形幅值越大的管線越易發生整體屈曲。

4)管線受到的地基土摩擦力對其整體屈曲的vm～ΔT關系曲線形狀影響較小，但顯著影響管線發生整體屈曲的起始溫度和屈曲后管線內的軸力大小。隨管土間摩擦系數的增大，管線發生整體屈曲的起始溫差提高，對于發生相同幅值整體屈曲的管線，引發屈曲的軸向壓力亦增大，表明增大土體對管線的約束力可以提高管線抵抗整體屈曲的能力。

［1］ Hobbs R E.In service buckling of heated pipelines［J］.Journal of Transportation Engineering，1984，110(2):175-189.

［2］ A D Kerr.Analysis of thermal track buckling in the lateral plane［J］.Acta Mechanica，1978，30:17-50.

［3］ Talor N，Gan A B.Refined modeling for the lateral buckling of submarine pipeline［J］.Journal of Constructional Steel Research，1986，6(2):143-162.

［4］ Talor N，Gan A B.Submarine pipeline buckling-imperfection studies［J］.Thin-Walled Structures 4，1986:295-323.

［5］ Neil Taylor，Vinh Tran.Prop-imperfection subsea pipeline buckling［J］.Marine Structures 6，1993:325-358.

［6］ Schotman G J M.Pile-soil interaction:A model for laterally loaded pipelines in clay［C］//Offshore Technology Conference.1987:317-324.

［7］ Sriskandarajah T，Dong S，Sribalachandran S，et al.Effect of initial imperfections on the lateral buckling of subsea pipe［C］//Proceedings of the International Offshore and Polar Engineering Conference.1999，2:168-175.

［8］ Preston R，Drennan F，Cameron C，et al.Controlled lateral buckling of large diameter pipeline by snaked lay［C］//Proceedings of the Ninth International Offshore and Polar Engineering Conference.1999:58-63.

［9］ Hesar M.Pipeline-seabed interaction in soft clay［C］//Proceedings of the International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering.2004，3:225-233.

［10］ Nelly Piedad Burio，Deane Roehl and Celso Romanel.A three dimensional contact model for soil-pipe interaction［J］.Journal of Mechanics of Materials and Structures，2007，2(8):1501-1513.

［11］ Peek R，Yun H.Flotation to trigger lateral buckles in pipelines on aflat seabed［J］.Journal of Engineering Mechanics，2007，133(4):442-451.

［12］劉 潤，閆澍旺，孫國民.溫度應力下海底管線屈曲分析方法的改進［J］.天津大學學報，2005，38(2)，124-128.(Liu Run，Yan Shuwang，Sun Guomin.Improvement of the method for marine pipeline upheaval analysis under thermal stress［J］.Journal of Tianjin University，2005，38(2)，124-128.(in Chinese))

［13］劉志剛，孫國民.海底管道側向屈曲分析［J］.中國造船，2008，49:516-522.(LIU Zhigang，SUN Guomin.Analysis on the lateral buckling of submarine pipelines［J］.Shipbuilding of China，2008，49:516-522.(in Chinese))

［14］ Run LIU，Linping Guo，Shuwang Yan ，et al.Studies on soil resistance to pipelines buried in sand［C］//Advanced Materials Research.Switzerland:Trans Tech Publications，2011:243-249.

［15］劉 潤，閆澍旺，王洪播，等.砂土對埋設管線約束作用的模型試驗研究［J］.巖土工程學報，2011，33(4):559-565.(Liu Run，Yan Shuwang，Wang Hongbo，et al.Model tests on soil restraint to pipelines buried in sand［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2011，33(4):559-565.(in Chinese))

［16］ Wang Wugang，Liu Run，Yan Shuwang，et al.Vertical upheaval buckling of submarine buried heated pipelines with initial imperfection［J］.Transactions of Tianjin University，2011，17(2):138-145.

［17］ Linping Guo，Run Liu.High-order lateral buckling analysis of submarine pipeline under thermal stress［J］.Transactions of Tianjin University，2012，18(6):411-418.

［18］ Guo Linping，Liu Run，Yan Shuwang.Global buckling behavior of submarine unburied pipelines under thermal stress［J］.Journal of Central South University，2013，20(7):2054-2065.