“倒數的認識”教學設計

陸李華

教材簡析：

“倒數的認識”是分數乘法單元的最后一節，它既是分數乘法計算的后繼內容，又是學習分數除法的先決條件，具有承上啟下的作用。這部分內容主要包括兩部分知識：一是理解倒數的意義；二是掌握求一個數的倒數的方法。

教學過程：

一、憶“數”引新，揭題認標

師：同學們，我們每天都要和一個老朋友打交道，它就是“數”（板書：數）。大家回憶一下，我們都認識哪些數？

生：整數、小數和分數。

師：你們能分別舉些例子嗎？

（學生隨意地說數，教師有選擇地進行板書）

師：今天我們要學習一個新的知識——倒數。它和我們以前認識的這些數有什么不同？什么是倒數？怎么求一個數的倒數？

板書：不同？是什么？怎么求？

【設計意圖】以“數”為引子，引導學生回憶以前認識的數，作用有兩點：一是便于和倒數作比較；二是可作為求各種類型的倒數的素材。隨后一連拋出三個問題：倒數與這些數有什么不同？什么是倒數？怎么求一個數的倒數？清晰到位的學習目標的呈現，使學生產生積極的學習心向。

二、自主學習，建構新知

師：讓我們帶著這3個問題展開自學，看一下學習單。

學習單

認真閱讀教材，思考下列問題：

1.圈一圈。仔細讀一讀倒數的意義。你覺得哪個詞特別重要？把它圈出來。

2.說一說。和互為倒數，還可以怎么說？

3.想一想。觀察例題中互為倒數的兩個數，你有什么發現？

4.寫一寫。試著寫出和的倒數。

學生圍繞學習單自主學習。

師：下面老師檢查一下大家自學的情況。出示：

師：你同意他的說法嗎？

生：他說的不對，必須乘積是1的兩個數才互為倒數。

教師相機在“乘積”下面加著重號，同時板書：（ ）×（ ）=1

師：聽了大家的建議，他改了一下，出示：

因為×=1，所以和互為倒數。

師：現在對嗎？

生：對了！

師：和互為倒數，這句話怎么理解？

生：的倒數是，的倒數是。

師：哦！這就像我和你互為朋友，還可以怎么說？

生：我是你的朋友，你是我的朋友。

師：對！都表示一種相互之間的關系。（板書：關系）

師：下面我們來探討“怎么求一個分數的倒數？”看一個具體的例子：的倒數是多少？

生：。

師：我們一起來驗證一下。和的乘積是不是1？

老師發現有同學中間用“=”連接，你們覺得對嗎？

生：不可以，是個真分數，是個假分數，怎么可能相等呢？

師：對！為了方便起見，我們可以用“→”表示的倒數是。

師：的倒數是多少？

生（齊）：。

師：好！現在老師給大家一組數，你能很快說出它們的倒數嗎？

（學生開火車口答）

師：說得這么快，有竅門嗎？

生：太簡單了，只要把分子、分母調換一下位置。

【設計意圖】學習單主要圍繞兩個方面進行設計：一是倒數意義的理解；二是通過觀察，發現求一個分數的倒數的方法。自學后的交流引導學生更進一步、更深層次地探討，明確兩個數互為倒數的先決條件必須是“乘積是1”，再者理解“互為”倒數的兩個數是相互依存的關系，使學生對倒數意義的理解更為清晰、明朗。

三、共同探究，深化認知

1.研究整數、小數的倒數。

師：好！真分數和假分數已經研究了，那整數、小數，它們的倒數怎么求呢？

（教師在黑板上從學生舉的例題中分別挑一個數：10、0.2）

師：先獨立思考，怎么求這兩個數的倒數？

（學生獨立研究）

師：下面小組里再商量一下，還可以再舉一些例子，驗證你們的想法。

（小組內交流想法）

師：哪個小組來匯報？

生1：我們組研究了整數，想到了兩種方法。我來說第一種：10=，的倒數是。

師：能把新知轉化成我們剛剛研究過的分數的形式，再去思考，很會學習！

生2：我們還想到了1÷10=。

師：大家能看明白嗎？

生3：我知道，因為要求10的倒數，就想10×（ ）=1，即用1÷10=。

師：學習數學，就要善于從不同的角度去思考，你們小組很棒！

師：接下去哪組來匯報小數？

生1：我們組認為小數可以轉化成分數，0.2=，的倒數是5。

生2：太麻煩了，可以直接用1÷0.2=5。

師：大家同意嗎？

生：同意。

師：那我再給大家一個數：0.3，試著求它的倒數。

（生一致都用轉化成分數的方法）

師：咦？怎么都不用第二種方法啦？

生：因為1除以0.3，除不盡。

師：看來這種方法有局限性，所以我們要學會靈活運用各種方法。

【設計意圖】考慮到本課內容相對簡單，同時為了滿足不同層次學生的需要，把求倒數的范圍從“分數”延伸至“整數、小數”，以獨立思考與合作交流相結合，不斷擴展認知，深化認識。

2.及時練習中探討1和0的倒數。

師：好！掌握了方法，咱們來看一組數：25 0.9 1 0

（部分學生開始埋頭寫）

師：別急著動筆，咱們先來說。說說你最喜歡求哪個數的倒數，最不喜歡求哪個數的倒數。

生1：我最喜歡求的倒數，它的倒數就是。

生2：我最喜歡求1的倒數，它的倒數是1。

師：哦？你是怎么想的？

生2：因為1×1=1，所以1的倒數就是1。

（教師相機板書）

生3：我不喜歡求0的倒數，感覺好像沒有。

生4：我覺得0的倒數還是0。

師：0到底有沒有倒數呢？你有辦法證明你的結論嗎？

（思考片刻后……）

生1：因為0和任何數相乘都得0，不可能等于1。所以0沒有倒數。

師：從倒數的意義去思考，很有說服力。

生2：我認為0是整數，所以0=，的倒數是，分母為0的時候，沒有意義。

師：用求倒數的方法也證明了0沒有倒數。

（教師相機板書）

【設計意圖】求1和0的倒數，沒有刻意安排，而是巧妙地穿插在輕松的練習中，學生在自主選擇時，發現1的倒數就是1，而對0是否有倒數產生疑惑，在此基礎上組織學生探討，順應了學生的學習需要，可謂水到渠成。

3.回顧反思，交流總結。

師：學到這兒，咱們回頭看看學習和研究的過程，一開始的三個問題，心中都有答案了嗎？同桌互相說說。

師：找到答案了嗎？還有疑問嗎？

（學生交流分享）

【設計意圖】此環節很好地呼應了一開始提出的三個問題，通過回顧，不僅梳理了知識，完善了認知，同時培養了學生的元認知意識，也使學生體驗到數學學習的成功感。

四、鞏固練習，拓展延伸

1.將互為倒數的兩個數用線連起來。

100

8 4

0.25

2.我來當小法官。

（1）a和b互為倒數，所以a×b=1。（ ）

（2）因為×=1，所以是倒數，也是倒數。

（ ）

（3）一個數的倒數總比這個數小。（ ）

（4）9的倒數是。（ ）

（5）0.49的倒數是0.94。（ ）

3.先觀察下面每組數有什么共同特點，再看看它們的倒數有什么共同點。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引導學生發現規律：

（1）真分數的倒數都是大于1的假分數。

（2）大于1的假分數的倒數都是真分數。

（3）幾分之一的倒數都是整數。

（4）非0自然數的倒數都是幾分之一。

4.拓展延伸。

師：其實倒數的一些特點，還可以通過圖像清楚地表示出來。

如果用列所在的位置表示原來的數，行所在的位置表示它的倒數。我們取一些特殊的點。把這些點連成一條線，就形成了這樣一個倒數的圖像。

師：仔細看看，從圖中你能什么發現？

生：我發現當一個數越來越大，它的倒數就越來越小。

師：那反過來說呢？

生：當一個數越來越小，它的倒數就越來越大。

師：想象一下，這時候會形成怎樣的圖像？

（學生用手勢表示圖像的大致走勢）

（出示另外半段圖像）

師：和你想的一樣嗎？

生：一樣。

師：繼續看，你能從圖像上讀出“0沒有倒數”嗎？

生1：倒數的圖像沒有經過0這個點。

生2：我看到圍成的每個小長方形的面積都是1，如果有一條邊是0的話，就不可能組成長方形了。

師：真會觀察，相信大家現在對倒數又有了更深的理解。

【設計意圖】通過觀察，引導學生發現：一個數越大，它的倒數就越小，一個數越小，它的倒數就越大。同時，從圖像中再次感受到0沒有倒數，使學生對倒數獲得更為豐富的理解。

◇責任編輯：張 瑩◇

生1：我最喜歡求的倒數，它的倒數就是。

生2：我最喜歡求1的倒數，它的倒數是1。

師：哦？你是怎么想的？

生2：因為1×1=1，所以1的倒數就是1。

（教師相機板書）

生3：我不喜歡求0的倒數，感覺好像沒有。

生4：我覺得0的倒數還是0。

師：0到底有沒有倒數呢？你有辦法證明你的結論嗎？

（思考片刻后……）

生1：因為0和任何數相乘都得0，不可能等于1。所以0沒有倒數。

師：從倒數的意義去思考，很有說服力。

生2：我認為0是整數，所以0=，的倒數是，分母為0的時候，沒有意義。

師：用求倒數的方法也證明了0沒有倒數。

（教師相機板書）

【設計意圖】求1和0的倒數，沒有刻意安排，而是巧妙地穿插在輕松的練習中，學生在自主選擇時，發現1的倒數就是1，而對0是否有倒數產生疑惑，在此基礎上組織學生探討，順應了學生的學習需要，可謂水到渠成。

3.回顧反思，交流總結。

師：學到這兒，咱們回頭看看學習和研究的過程，一開始的三個問題，心中都有答案了嗎？同桌互相說說。

師：找到答案了嗎？還有疑問嗎？

（學生交流分享）

【設計意圖】此環節很好地呼應了一開始提出的三個問題，通過回顧，不僅梳理了知識，完善了認知，同時培養了學生的元認知意識，也使學生體驗到數學學習的成功感。

四、鞏固練習，拓展延伸

1.將互為倒數的兩個數用線連起來。

100

8 4

0.25

2.我來當小法官。

（1）a和b互為倒數，所以a×b=1。（ ）

（2）因為×=1，所以是倒數，也是倒數。

（ ）

（3）一個數的倒數總比這個數小。（ ）

（4）9的倒數是。（ ）

（5）0.49的倒數是0.94。（ ）

3.先觀察下面每組數有什么共同特點，再看看它們的倒數有什么共同點。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引導學生發現規律：

（1）真分數的倒數都是大于1的假分數。

（2）大于1的假分數的倒數都是真分數。

（3）幾分之一的倒數都是整數。

（4）非0自然數的倒數都是幾分之一。

4.拓展延伸。

師：其實倒數的一些特點，還可以通過圖像清楚地表示出來。

如果用列所在的位置表示原來的數，行所在的位置表示它的倒數。我們取一些特殊的點。把這些點連成一條線，就形成了這樣一個倒數的圖像。

師：仔細看看，從圖中你能什么發現？

生：我發現當一個數越來越大，它的倒數就越來越小。

師：那反過來說呢？

生：當一個數越來越小，它的倒數就越來越大。

師：想象一下，這時候會形成怎樣的圖像？

（學生用手勢表示圖像的大致走勢）

（出示另外半段圖像）

師：和你想的一樣嗎？

生：一樣。

師：繼續看，你能從圖像上讀出“0沒有倒數”嗎？

生1：倒數的圖像沒有經過0這個點。

生2：我看到圍成的每個小長方形的面積都是1，如果有一條邊是0的話，就不可能組成長方形了。

師：真會觀察，相信大家現在對倒數又有了更深的理解。

【設計意圖】通過觀察，引導學生發現：一個數越大，它的倒數就越小，一個數越小，它的倒數就越大。同時，從圖像中再次感受到0沒有倒數，使學生對倒數獲得更為豐富的理解。

◇責任編輯：張 瑩◇

生1：我最喜歡求的倒數，它的倒數就是。

生2：我最喜歡求1的倒數，它的倒數是1。

師：哦？你是怎么想的？

生2：因為1×1=1，所以1的倒數就是1。

（教師相機板書）

生3：我不喜歡求0的倒數，感覺好像沒有。

生4：我覺得0的倒數還是0。

師：0到底有沒有倒數呢？你有辦法證明你的結論嗎？

（思考片刻后……）

生1：因為0和任何數相乘都得0，不可能等于1。所以0沒有倒數。

師：從倒數的意義去思考，很有說服力。

生2：我認為0是整數，所以0=，的倒數是，分母為0的時候，沒有意義。

師：用求倒數的方法也證明了0沒有倒數。

（教師相機板書）

【設計意圖】求1和0的倒數，沒有刻意安排，而是巧妙地穿插在輕松的練習中，學生在自主選擇時，發現1的倒數就是1，而對0是否有倒數產生疑惑，在此基礎上組織學生探討，順應了學生的學習需要，可謂水到渠成。

3.回顧反思，交流總結。

師：學到這兒，咱們回頭看看學習和研究的過程，一開始的三個問題，心中都有答案了嗎？同桌互相說說。

師：找到答案了嗎？還有疑問嗎？

（學生交流分享）

【設計意圖】此環節很好地呼應了一開始提出的三個問題，通過回顧，不僅梳理了知識，完善了認知，同時培養了學生的元認知意識，也使學生體驗到數學學習的成功感。

四、鞏固練習，拓展延伸

1.將互為倒數的兩個數用線連起來。

100

8 4

0.25

2.我來當小法官。

（1）a和b互為倒數，所以a×b=1。（ ）

（2）因為×=1，所以是倒數，也是倒數。

（ ）

（3）一個數的倒數總比這個數小。（ ）

（4）9的倒數是。（ ）

（5）0.49的倒數是0.94。（ ）

3.先觀察下面每組數有什么共同特點，再看看它們的倒數有什么共同點。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引導學生發現規律：

（1）真分數的倒數都是大于1的假分數。

（2）大于1的假分數的倒數都是真分數。

（3）幾分之一的倒數都是整數。

（4）非0自然數的倒數都是幾分之一。

4.拓展延伸。

師：其實倒數的一些特點，還可以通過圖像清楚地表示出來。

如果用列所在的位置表示原來的數，行所在的位置表示它的倒數。我們取一些特殊的點。把這些點連成一條線，就形成了這樣一個倒數的圖像。

師：仔細看看，從圖中你能什么發現？

生：我發現當一個數越來越大，它的倒數就越來越小。

師：那反過來說呢？

生：當一個數越來越小，它的倒數就越來越大。

師：想象一下，這時候會形成怎樣的圖像？

（學生用手勢表示圖像的大致走勢）

（出示另外半段圖像）

師：和你想的一樣嗎？

生：一樣。

師：繼續看，你能從圖像上讀出“0沒有倒數”嗎？

生1：倒數的圖像沒有經過0這個點。

生2：我看到圍成的每個小長方形的面積都是1，如果有一條邊是0的話，就不可能組成長方形了。

師：真會觀察，相信大家現在對倒數又有了更深的理解。

【設計意圖】通過觀察，引導學生發現：一個數越大，它的倒數就越小，一個數越小，它的倒數就越大。同時，從圖像中再次感受到0沒有倒數，使學生對倒數獲得更為豐富的理解。

◇責任編輯：張 瑩◇