非線性時滯微分方程組周期解存在的一個充分條件*

翁愛治

（上海政法學(xué)院經(jīng)濟管理學(xué)院，上海 201701）

非線性時滯微分方程組周期解存在的一個充分條件*

翁愛治

（上海政法學(xué)院經(jīng)濟管理學(xué)院，上海 201701）

考慮非線性時滯微分方程組周期解的存在性問題，應(yīng)用Leray－Schauder不動點定理，證明了非線性微分方程組周期解新的存在性結(jié)果.

周期解；Leray－Schauder度；非線性

記R為實數(shù)集，R＋為非負實數(shù)集.本文研究非線性時滯微分方程組

的周期解存在性問題，其中x∈Rn，A∈Rn×Rn，τ∈C（R，R＋），對任意的t∈R＋有τ（t＋T）＝τ（t），f∈C（R×Rn，Rn）且對任意的t∈R，x∈Rn有f（t，x）＝f（t＋T，x）．

近幾年，有不少文獻（例如參考文獻［1－7］）研究時滯微分方程的周期解問題，例如參考文獻［1］應(yīng)用錐不動點定理研究標(biāo)量方程

正周期解的存在性.h∈C（R×R，R）．參考文獻［6］研究如下方程組

正周期解的存在性問題，其中x∈Rn，A（t）是對角矩陣，即

A（t）＝diag｛a1（t），a2（t），…，an（t）｝，對任意的t∈R，要求ai（t）＞0，i＝1，2，…．

這里我們以一個形式簡單的方程為例，敘述文獻［1－7］中共同的研究方法和條件.考慮方程

其中x是標(biāo)量，a∈C（R，R＋）是T－周期解，w∈C（R×R，R）關(guān)于第一變元是T－周期的.方程（2）是參考文獻［1－7］所考慮方程的特殊情況，從而就方程（2）而言，參考文獻［1－7］的研究方法和假設(shè)條件存在共同點，即定義Banach空間

定義錐定義映射Φ：K→Y：

方程（2）的周期解存在性問題轉(zhuǎn)化為Φ的不動點存在性問題.從（3）和（4）式看出條件

是必不可少的，而且以下的兩個條件

足以保證Φx＞0，從而保證方程（2）的周期解是正的.假設(shè)n階矩陣A的所有特征根均不為零（這個假設(shè)條件與（5）式對應(yīng)），在Banach空間（具體定義見基本引理部分）中定義映射Γ：

把方程（1）的周期解轉(zhuǎn)化映射Γ的不動點.以方程（1）為研究對象，與（6），（7）式對應(yīng)的假設(shè)條件應(yīng)為

（i）A的所有特征根都是正的，

（ii）對任意的t∈R，x∈Rn都有f（t，x）＞0．

但是這兩個條件無法保證Γx＞0．本文僅獲得方程（1）周期解的存在性，而沒能保證周期解的正性.所用的方法為Leray－Schauder不動點定理.關(guān)于方程（1）的正周期解，需要進一步的條件，我們將在今后的文章中研究.

1 基本引理

本文將利用下面的Leray－Schauder不動點定理.

以AH表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣.若AHA＝AAH，則稱A為正規(guī)矩陣.根據(jù)線性代數(shù)的知識，A∈Rn×n是正規(guī)矩陣的充分必要條件是存在酋矩陣Q使得

本文假設(shè)如下的條件成立

（H1）矩陣A是正規(guī)矩陣，且所有特征根λi，i＝1，2，…，n全不為零，

（H2）存在單調(diào)不減函數(shù)g：［0，∞）→［0，∞）及正實數(shù)r，使得對任意的x∈Rn，只要‖x‖≤r，t∈［0，T］，則如下的不等式成立

這里要求r滿足不等式

引理2 對任意的x∈X，Γx∈X.

證明 因為f（t，x）是連續(xù)函數(shù)，所以對任意的x∈X，

從而Γx∈X．證畢

另外，易證Γ：X→X是全連續(xù)的.比較（10）和（11）式得Γ的不動點即為方程（1）的周期解.

2 主要結(jié)果

（13）式和（15）式矛盾，從而（14）式不成立.根據(jù)引理1，Γ在ˉU中存在不動點x0，從而x0是方程（1）的一個周期解.證畢.

［1］Wang H.Positive periodic solutions of functional differential equations［J］.Journal of Differential Equations，2004，（2）：354－366.

［2］Zeng Z，Bi L，F(xiàn)an M.Existence ofmultiple positive periodic solutions for functional differential equations［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，（2）：1378－1389.

［3］Yan J.Existence of positive periodic solutionsof impulsive functional differential equationswith two parameters［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，（2）：854－868.

［4］Zhang X，Yan J，Zhao A.Existence of positive periodic solutions for an impulsive differential equations［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods and Applications，2008，（10）：3209－3216.

［5］Zhang N，Dai B，Chen Y.Positive periodic solutions of nonautonomous functional differential systems［J］.Journal of Mathematical A-nalysis and Applications，2007，（2）：667－678.

［6］Bai D，Xu Y.Periodic solutions of first order functional differential equations with periodic deviations［J］.Computers and Mathematics with Applications，2007，（9）：1361－1366.

［7］Zhang N，Dai B，Qian X.Periodic solutions for a class of higherdimension functional differential equations with impulses［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods and Applications，2008，（3）：629－638.

［8］Granas A，Dugundji J.Fixed Point Theory［M］.New York：Springer－Verlag，2003.

（責(zé)任編校：晴川）

A Sufficient Condition for the Existence of Periodic Solutions of Nonlinear Differential Systems

WENG Aizhi
（Department of Economics and Management，Shanghai University of Political Science and Law，Shanghai201701，China）

This paper deals with the existence of periodic solutions for nonlinear delay differential systems.Some new existence results of periodic solutions for this system are obtained via the Leray－Schauder Nonlinear Alternative.

periodic solution；Leray－Schauder Nonlinear Alternative；nonlinear

O175.14

A

1008－4681（2014）05－0003－03

2014－06－19

上海政法學(xué)院院級課題（批準(zhǔn)號：sz12015）.

翁愛治（1975－），女，福建莆田人，上海政法學(xué)院經(jīng)濟管理學(xué)院副教授，博士.研究方向：微分方程穩(wěn)定性理論及應(yīng)用.