基于頻率約束的拓撲優化中局部模態現象的數值模擬分析*

趙志軍

（長沙大學土木建筑工程系，湖南長沙 410022）

基于頻率約束的拓撲優化中局部模態現象的數值模擬分析*

趙志軍

（長沙大學土木建筑工程系，湖南長沙 410022）

針對頻率約束下重量最輕的結構拓撲優化問題，通過數值模擬分析，找到能有效避免局部模態的有理分式材料模型，建立了一種合理的結構剛度與質量的關系，所給出算例表明，該模型能有效避免局部模態的發生.

拓撲優化；頻率約束；局部模態

隨著工程結構日益輕量化和復雜化，對結構設計理論提出了新的挑戰.結構拓撲優化方法為結構概念設計提供了更為有效的設計手段.自結構拓撲優化設計概念被提出以來［1］，相繼出現了變厚度法、均勻化方法、變密度方法［2］和結構漸進優化法（簡稱ESO法）［3］等方法.

為滿足工程中結構對動力特性的要求，結構動力優化設計是一項更具有意義的課題.使用拓撲優化技術進行結構自然頻率最大化設計時，低拓撲變量區域結構密度與剛度的差異較大可能導致局部模態現象出現［4，5］.由于局部模態頻率比結構的整體模態頻率小得多，對于頻率約束下重量最輕的結構拓撲優化問題，拓撲變量比較低的區域內出現局部模態會導致所追蹤的頻率為局部模態頻率，而非真實的結構頻率，從而導致拓撲優化求解失敗［6］.本文針對于僅頻率約束下重量最小的連續體結構拓撲優化問題，基于分式有理式材料插值模型［7］，通過分析及數值試驗，找到能有效避免局部模態出現的有理分式材料模型，建立了一種合理的結構剛度與質量的關系.所給出算例表明，該模型能有效避免局部模態的發生.

1 單元性質參數的識別

用過濾函數fw（ti）、fk（ti）、fm（ti）識別重量和剛度等性質參數［6］，采用如下公式

其中wi，［ki］，［mi］分別表示拓撲變量為ti的狀態對應的單元重量，單元剛度矩陣和單元質量矩陣；w0i，［ki0］，［mi0］分別表示單元固有重量，單元固有剛度矩陣和單元固有質量矩陣.類似于文獻［7］，這里取

2 變頻率區間約束限的結構優化等效模型和求解方法

2.1 變頻率區間約束限的結構優化等效模型

為了保證一階近似式的成立，類似與文獻［7］，對頻率約束采用變區間漸進約束的方式將模型（3）轉化為模型（4）進行求解.

2.2 頻率顯式表示式

2.3 變頻率區間約束優化模型處理和求解方法

采用類似于文獻［7］的方法處理棋盤格問題，再利用對偶理論將模型（8）的規劃問題轉化為如下的對偶規劃問題求解

解此二次規劃，求出λ，再由K－T條件求出x*，進而求出t*.這里，為了更好的分析局部模態現象，類似于文獻［7］，將優化過程分成兩個階段，第一階段不對結構進行更新，第二階段采用設計空間調整的策略對結構進行更新.

3 單元剛度與質量比與局部模態的關系

3.1 單元剛度與質量比與各參數的關系

圖1 密度函數與剛度函數之比與t的關系

圖2 密度函數與剛度函數之比與α的關系

3.2 數值試驗與機理分析

如圖3所示，梁的尺寸為5m×1m，兩端固定約束.材料彈性模量為200GPa，泊松比取為0.3，厚度為0.1m，密度為7800kg／m3.設計區域劃分為100×25的有限元網格.設置結構第一階頻率約束為255Hz.這里β1取值為0.02.

圖3 梁結構初始設計區域

采用變頻率區間約束限的方法求解，首先取v＝12.8，α＝1．2試算，第一階段第11個循環迭代步出現局部模態，導致求解失敗.該局部模態下的拓撲變量分布和振型如圖4所示，其中顏色較深部分拓撲變量接近1，顏色較淺部分拓撲變量值均小于0.1.采用該局部模態下的拓撲變量分布，改變α值進行模態求解計算.在區間α∈（1．0，2．0）中取80個數值進行計算，圖5顯示不同的α取值下局部模態情況統計，從圖中可以看出，α∈（1．0，1．10）時為結構振動沒有出現局部模態，在α∈（1．10，1．11）處于過渡階段，α∈（1．11，2．0）時為結構振動為局部模態.圖6顯示幾種不同的α取值下的振型.上述結果說明α取值在1附近是比較合理的.

圖4 α＝1．2發生局部模態時拓撲變量分布和振型圖

再通過數值試驗分析，取α＝1，v∈（3．0，19．0）中取80個數值進行模態分析，局部模態情況統計如圖7所示.統計數據表明，當v∈（6．0，14．0）區間時，模態分析均為整體振動.

圖5 不同的α取值下局部模態情況統計

圖6 不同的α取值下的振型圖

圖7 不同的v取值下局部模態情況統計

圖8 不同的v取值下的振型圖

從上述理論分析和數值試驗可以看出，剛度與質量的關系的選取與局部模態的產生是有直接關系的.若能找到一種合理的剛度質量關系，是可以有效避免局部模態的，從而實現結構優化求解.

4 算例

如圖3所示梁結構，采用本文方法進行求解.

優化求解第一階段取v＝12．8，α＝1．0，計算求解過程中未出現局部模態現象.圖9（a～f）顯示采用本章方法獲得的梁結構拓撲優化歷程（圖9（f）為最佳結構），共用了29個大循環迭代步.一階頻率從175.2Hz增加到253.7Hz.相應的結構質量的進化歷程、頻率值變化歷程分別見圖10和圖11.

圖9 本文方法得到的梁結構拓撲優化歷程

（a）第2輪迭代步，結構重量為3499.82kg，一階頻率為195.5Hz

（b）第7輪迭代步，結構重量為3118.21kg，一階頻率為214.0Hz

（c）第17輪迭代步，結構重量為2725.92kg，一階頻率為236.6Hz

（d）第20輪迭代步，結構重量為2749.28kg，一階頻率為232.7Hz

（e）第24輪迭代步，結構重量為2474.16kg，一階頻率為251.4Hz

（f）第29輪迭代步，結構重量為2424.24kg，一階頻率為253.7Hz

圖10 結構質量演化歷程

圖11 前四階固有頻率演化歷程

5 結論

本文針對于頻率約束的拓撲優化中局部模態現象，通過數值試驗分析，找到能有效避免局部模態的有理分式材料模型.給出的算例結果利用所得到關系能獲得有較好0－1分布特征的優化拓撲，具有一定的理論和工程應用價值.

［1］Bends?e M P，KikuchiN.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method［J］.Comput Method，1988，（71）：197－224.

［2］石連栓.離散變量結構優化設計算法研究綜述［J］.天津職業技術師范學院學報，2001，（1）：5－9.

［3］Me YM，Steven G P.A simple evolutionary procedure for structural optimization［J］.Computers and Structures，1993，（49）：885－896.

［4］朱繼宏，張衛紅，邱克鵬.結構動力學拓撲優化局部模態現象分析［J］.航空學報，2005，（4）：619－623.

［5］Pedersen N L.Maximization of eigenvalues using topology optimization［J］.StructMultidisc Optim，2000，（1）：2－11.

［6］隋允康，彭細榮.結構拓撲優化ICM方法的改善［J］.力學學報，2005，（2）：190－198.

［7］榮見華，張強，葛森，等.基于設計空間調整的結構拓撲優化方法［J］.力學學報，2010，（2）：256－267.

（作者本人校對）

Numerical Simulation Analysis of Localized M odes
in Structures Topology Optim ization w ith Frequency Constraints

ZHAO Zhijun
（Department of Civil Engineering，Changsha University，Changsha Hunan 410022，China）

One of themain problems in the structural topology optimization with frequency constraints is the appearance of localized modes.In order to avoid localizedmodes，this paper presents a reasonable relationship between the stiffnessmatrix andmassmatrix by introducing the rational approximation material model and using numerical simulation analysis method.One example is provided to demonstrate that the proposed method is feasible and effective for avoiding localized modes.

topology optimization；frequency constraints；localized mode

TU311.3；TB123

A

1008－4681（2014）05－0023－04

2014－09－10

長沙大學科研基金項目（批準號：CDJJ－10010110）.

趙志軍（1982－），男，遼寧葫蘆島人，長沙大學土木建筑工程系講師，碩士.研究方向：結構拓撲優化設計.