概率論解題方法的一點思考

朱少平 王珍

摘 要：概率論習題對于很多同學尤其是初學者來說感覺太難，結合教學實踐，通過具體的例子對若干解題方法和技巧予以闡述。

關鍵詞：概率論；解題

概率論是一門研究隨機現象數量規律的課程，和其它數學類課程相比較，諸多概念都要抽象得多。而對概率論習題，歷來形成一種片面的看法--太難，盡管有趣，可不容易掌握規律。甚至于剛開始這門課程的學習尚未入門便有此見，在一定程度上影響了我們的教學。從根本上說，概率論的習題同其它任何一門數學課程一樣并不困難，只是由于這門學科的獨特性--處理隨機現象，在處理的方法上和其它數學學科很不一樣，更著重從概念與思路去解決問題，學生一下子掌握不了便很自然了。在教學實踐中，總結了一些解概率習題的方法，歸納如下。

1 巧用對稱性

在考慮古典概型時，我們著眼于要使樣本的處于對稱的地位，對稱性的應用在古典概型中是很廣泛的，下面舉一些運用對稱性的例子。

例1：n對夫婦任意排成一列，求每一位妻子都排在她的丈夫前面的概率。

解：以Ai記事件"第i對夫婦丈夫排在妻子的后面"，這時即要求P（A1A2…An）。首先根據對稱性，P（Ai）=，因為對每一對夫婦來說，要么妻子在前要么丈夫在前，這兩者等可能發生。此外，還可以進一步得到A1，A2，…，An是相互獨立的，這是因為我們沒有任何理由可以斷定其中某對夫婦丈夫與妻子的先后位置可以影響到其他的夫婦丈夫與妻子的先后位置。于是有P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）=。或許有人對A1，A2，…，An是相互獨立的這一事實不放心，可以用排列組合直接計算。排列的總數是（2n）！，為了計算有利樣本點數，可以首先考慮n個丈夫的排列，一共有n！種可能，然后將排在第一位的那位丈夫的妻子放入隊伍，很顯然她只有一種可能的位置--排在最前面。接著把排在第二位的丈夫的妻子放進隊伍，由于她丈夫前面已有兩人，因此她有3種可選擇的位置。對排在第三位的丈夫的妻子來說進入隊伍有5種可選擇的位置。依次下去，考慮最后那一位丈夫的妻子，進入隊伍有2n-1個可供選擇的位置，這樣有利樣本點總數是n！（2n-1）！！=n！×（1·3·5…（2n-1）），于是所要求的概率是=。這個結果與前面的一致，但是這種做法不容易想到，并且計算復雜。前一種做法充分考慮了概率論的概念，使得計算簡單，顯然優越得多。

例2：某數學家有兩盒火柴，每盒都有n根，每次使用時，他任取一盒并從中抽出一根。問當他發現一盒空而另一盒還有r（0≤r≤n）根的概率是多少？

解：由對稱性，只要計算事件A="發現甲盒空而乙盒還有 根"的概率，所求概率是這個概率的2倍。首先計算樣本空間樣本點的個數，因為每次都是等可能地取甲盒或乙盒，共取了2n-r+1次，故樣本空間中共有22n-r+1個樣本點。事件A的發生可分兩段考察，前2n-r次中甲盒恰好取到n次，且次序不論，最后一次必定取到甲盒，這樣才發現甲盒已空，這種樣本點共有2n-r

n個，因此P（A）=2n-r

n/22n-r+1。故所求概率為p=2P（A）=2n-r

n/22n-r。

例3：一個質點從平面上某點開始，等可能地向上下左右四個方向隨機游動，每次游動的距離為1，求經過2n次游動后，質點回到出發點的概率。

解：由于每次都是等可能地向四個方向隨機游動，所以經過2n次游動后，樣本空間總的樣本點數為42n。假設所求事件為An，則若要質點過2n次游動后回到出發點，An要滿足上下游動次數相等、左右游動的次數也相等，若左、右移動各k次，則上、下移動各n-k次，共2n次，這類樣本點共有（2n）！/k！k！n-k！n-k！個，將k自0至n累加即得事件An所含樣本點數NA，其中N==2n

n，則所求概率為P

A=2n

n/4。

2 運用逆事件公式

在計算概率時要充分利用概率的性質，牢牢掌握求逆事件的概率公式P

=1-PA 。

例4：擲n次均勻硬幣，求出現正面次數多于出現反面次數的概率是多少。

解：設A表示事件"出現正面次數多于出現反面次數"，顯然當n為奇數時，正面次數與反面次數不可能相等，因此A的逆事件就是"反面次數多于正面次數"。根據對稱性，也就是說正、反面可以互換，P

=1-PA=。當n為偶數時，正、反面次數可能相等可能不等，且相等的概率為n

/2，仍用前面的辦法可算得PA=1-n

/2。

在解決上述問題時，如果沒有充分考慮逆事件的概率公式這樣一個有力的工具，若要得到上述解法恐怕很困難。

3 整值隨機變量的數學期望

整值隨機變量 的數學期望

EX=n·PX=n

=PX=1+PX=2+…+PX=n+…

+PX=2+…+PX=n+…

+…

+PX=n+…

+…

=PX≥1+X≥2+…+PX≥n+…

即有EX=PX≥n

例5：甲、乙兩人進行比賽，每局甲勝的概率為p，乙勝的概率為1-p=q，比賽進行到有一人連勝兩局為止，以X表示比賽的局數，求平均比賽多少局。

解：題設即求E（X）。若直接求X的分布列并不困難：PX=2k+1=pq+pq=pq，k≥0；PX=2k=

P

+qpqk-1，k≥1。后面求期望時涉及到的級數求和會比較麻煩。改用P（X≥n）就可避免這種麻煩。由于X≥n表示到n-1局為止，沒有一人連勝兩局，總是兩人輪流勝，于是PX≥1=1，PX≥2k+1=2pq，k≥1，

PX≥2k=pq+pq=pq，k≥1

故EX=1+2pq+pq=3pq=-1=。

4 結束語

在概率論課程教學中，鉆研解題方法有利于教師的教和學生的學，有助于教學質量的提高和學生數學素養的培養。

參考文獻：

[1]茆詩松等，概率論與數理統計教程[M]，高等教育出版社，北京，2004.

[2]李賢平，概率論基礎（第三版）[M]，高等教育出版社，北京，2010.

[3]孫榮恒，應用概率論（第二版）[M]，科學出版社，北京，2001.

基金項目：江西省教改項目（JXJG-13-9-9）