例談“以退為進”策略在數學學習中的運用

+陸同新

美國心理學家弗里德曼做的“登門檻”心理實驗表明：“先得寸再進尺，往往能實現目標。”華羅庚也說過：“復雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。”這就是“以退為進”的策略，在數學學習中常常用到。

一、退到思維起點，變繁為簡，構建數學模型

數學教學是思維活動的教學。要使學生的思維得到有效發展，教師就要在學生學習新知時為他們尋找合適的思維起點，使他們在學習中建構數學模型，逐漸逼近數學的本質。

例如，特級教師劉松教學“數學廣角——找次品”一課時，將教材中的數據變大，使原題變成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特別輕（次品），用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它？”教學時，學生有的說２１８５次，有的說一千多次，還有的說７２９次……劉老師引領學生從３瓶想起，分成（１、１、１），需要稱１次；９瓶分成（３、３、３），需要稱２次；２７瓶分成（９、９、９），需要稱３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要稱４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要稱５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要稱６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要稱７次。學生面對龐大的數據２１８７時，顯得束手無策，不得其門而入。這時劉老師引導學生退到適合的思維起點，從最簡單處想起：“用天平稱時，將數據三等分，保證以最少的次數找到次品。”……經過這樣變繁為簡的過程，逐步推進，不僅引導學生解決了問題，而且幫助學生積累了數學活動經驗，順利地構建了新知的數學模型。

二、退到舊知原點，變快為慢，感悟數學思想

奧蘇貝爾曾經說過：“影響學生的最重要因素是學生已經知道了什么。”教學時退回到舊知原點，能再現學生認知結構中的相關知識經驗，激活新舊知識之間的聯結點，達到溫故知新的目的。

例如，教學“乘法分配律”時，很多教師基本上是先從解決“買５件夾克（單價為６５元）和５條褲子（單價為４５元），一共要付出多少元”的問題入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再讓學生寫出幾組這樣的算式，然后歸納出規律。一些學生在實際計算時，將７４×（２０＋１）的算式寫成７４×２０＋１的形式，原因之一就是學生觀察、分析不夠，體驗不到位。教師在教學時不妨將等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５從左往右進行轉化，即５個（６５＋４５）的和可以寫成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引領學生從后往前回看，用類似的方法還原到（６５＋４５）×５。最后讓學生舉例、觀察、分析、發現，抽象概括出簡明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速則不達。”教師引領學生退到原始的乘法意義產生的地方，讓學生去發現知識之間的內在聯系來建立概念，變快為慢，使學生有充足的時間經歷、體驗、探索，從而掌握規律，感悟數學的符號思想。

三、退到生活經驗，變遠為近，把握數學本質

數學源于生活。新課程倡導“數學教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎”。因此，教師教學時要充分利用生活現象，激活學生的生活經驗；利用圖形直觀，使抽象的道理能看得見、摸得著，引導學生在解決問題過程中漸漸逼近乃至把握數學的本質。

例如，有這樣一道習題：“圖１，一只螞蟻從正方體紙盒的頂點Ａ爬到頂點Ｂ，請你在圖中標出最短的爬行路徑。”

■

由于學生的空間觀念不強，學生在解決這樣的問題時，往往認為從頂點Ａ到頂點Ｃ，再從頂點Ｃ畫對角線到頂點Ｂ（如圖２）為最短的路徑。而實際上，這并不是一條最短的路徑。可以準備一只正方體的紙盒，把正方體的紙盒蓋子掀開，正方體的上面和前面正好構成了一個長方形，通過變體為面，使學生豁然開朗，能很快找到從頂點Ａ到頂點Ｂ的最短路徑，即長方形的對角線（如圖３所示）。

經驗是學生展開幾何學習活動的前提條件。學生有如下的生活經驗：如圖４，從頂點Ａ到達頂點Ｂ，走ＡＢ的路徑要比走ＡＣ＋ＣＢ的路徑近得多。教學時，教師應充分利用這樣的寶貴資源，變遠為近，使學生在動手操作、仔細觀察、認真思考中獲得空間知覺，建立空間觀念，發展空間思維，進而把握數學的本質——兩點之間線段最短。

“以退為進”的實質是轉移或轉換，是一種智慧的體現。“退”是“進”的基礎和準備，“進”是“退”的發展和提升。當學生“山重水復疑無路”時，運用好“以退為進”的策略，往往會收到“柳暗花明又一村”的效果。

（責編杜華）

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美國心理學家弗里德曼做的“登門檻”心理實驗表明：“先得寸再進尺，往往能實現目標。”華羅庚也說過：“復雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。”這就是“以退為進”的策略，在數學學習中常常用到。

一、退到思維起點，變繁為簡，構建數學模型

數學教學是思維活動的教學。要使學生的思維得到有效發展，教師就要在學生學習新知時為他們尋找合適的思維起點，使他們在學習中建構數學模型，逐漸逼近數學的本質。

例如，特級教師劉松教學“數學廣角——找次品”一課時，將教材中的數據變大，使原題變成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特別輕（次品），用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它？”教學時，學生有的說２１８５次，有的說一千多次，還有的說７２９次……劉老師引領學生從３瓶想起，分成（１、１、１），需要稱１次；９瓶分成（３、３、３），需要稱２次；２７瓶分成（９、９、９），需要稱３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要稱４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要稱５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要稱６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要稱７次。學生面對龐大的數據２１８７時，顯得束手無策，不得其門而入。這時劉老師引導學生退到適合的思維起點，從最簡單處想起：“用天平稱時，將數據三等分，保證以最少的次數找到次品。”……經過這樣變繁為簡的過程，逐步推進，不僅引導學生解決了問題，而且幫助學生積累了數學活動經驗，順利地構建了新知的數學模型。

二、退到舊知原點，變快為慢，感悟數學思想

奧蘇貝爾曾經說過：“影響學生的最重要因素是學生已經知道了什么。”教學時退回到舊知原點，能再現學生認知結構中的相關知識經驗，激活新舊知識之間的聯結點，達到溫故知新的目的。

例如，教學“乘法分配律”時，很多教師基本上是先從解決“買５件夾克（單價為６５元）和５條褲子（單價為４５元），一共要付出多少元”的問題入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再讓學生寫出幾組這樣的算式，然后歸納出規律。一些學生在實際計算時，將７４×（２０＋１）的算式寫成７４×２０＋１的形式，原因之一就是學生觀察、分析不夠，體驗不到位。教師在教學時不妨將等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５從左往右進行轉化，即５個（６５＋４５）的和可以寫成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引領學生從后往前回看，用類似的方法還原到（６５＋４５）×５。最后讓學生舉例、觀察、分析、發現，抽象概括出簡明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速則不達。”教師引領學生退到原始的乘法意義產生的地方，讓學生去發現知識之間的內在聯系來建立概念，變快為慢，使學生有充足的時間經歷、體驗、探索，從而掌握規律，感悟數學的符號思想。

三、退到生活經驗，變遠為近，把握數學本質

數學源于生活。新課程倡導“數學教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎”。因此，教師教學時要充分利用生活現象，激活學生的生活經驗；利用圖形直觀，使抽象的道理能看得見、摸得著，引導學生在解決問題過程中漸漸逼近乃至把握數學的本質。

例如，有這樣一道習題：“圖１，一只螞蟻從正方體紙盒的頂點Ａ爬到頂點Ｂ，請你在圖中標出最短的爬行路徑。”

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由于學生的空間觀念不強，學生在解決這樣的問題時，往往認為從頂點Ａ到頂點Ｃ，再從頂點Ｃ畫對角線到頂點Ｂ（如圖２）為最短的路徑。而實際上，這并不是一條最短的路徑。可以準備一只正方體的紙盒，把正方體的紙盒蓋子掀開，正方體的上面和前面正好構成了一個長方形，通過變體為面，使學生豁然開朗，能很快找到從頂點Ａ到頂點Ｂ的最短路徑，即長方形的對角線（如圖３所示）。

經驗是學生展開幾何學習活動的前提條件。學生有如下的生活經驗：如圖４，從頂點Ａ到達頂點Ｂ，走ＡＢ的路徑要比走ＡＣ＋ＣＢ的路徑近得多。教學時，教師應充分利用這樣的寶貴資源，變遠為近，使學生在動手操作、仔細觀察、認真思考中獲得空間知覺，建立空間觀念，發展空間思維，進而把握數學的本質——兩點之間線段最短。

“以退為進”的實質是轉移或轉換，是一種智慧的體現。“退”是“進”的基礎和準備，“進”是“退”的發展和提升。當學生“山重水復疑無路”時，運用好“以退為進”的策略，往往會收到“柳暗花明又一村”的效果。

（責編杜華）

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美國心理學家弗里德曼做的“登門檻”心理實驗表明：“先得寸再進尺，往往能實現目標。”華羅庚也說過：“復雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。”這就是“以退為進”的策略，在數學學習中常常用到。

一、退到思維起點，變繁為簡，構建數學模型

數學教學是思維活動的教學。要使學生的思維得到有效發展，教師就要在學生學習新知時為他們尋找合適的思維起點，使他們在學習中建構數學模型，逐漸逼近數學的本質。

例如，特級教師劉松教學“數學廣角——找次品”一課時，將教材中的數據變大，使原題變成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特別輕（次品），用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它？”教學時，學生有的說２１８５次，有的說一千多次，還有的說７２９次……劉老師引領學生從３瓶想起，分成（１、１、１），需要稱１次；９瓶分成（３、３、３），需要稱２次；２７瓶分成（９、９、９），需要稱３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要稱４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要稱５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要稱６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要稱７次。學生面對龐大的數據２１８７時，顯得束手無策，不得其門而入。這時劉老師引導學生退到適合的思維起點，從最簡單處想起：“用天平稱時，將數據三等分，保證以最少的次數找到次品。”……經過這樣變繁為簡的過程，逐步推進，不僅引導學生解決了問題，而且幫助學生積累了數學活動經驗，順利地構建了新知的數學模型。

二、退到舊知原點，變快為慢，感悟數學思想

奧蘇貝爾曾經說過：“影響學生的最重要因素是學生已經知道了什么。”教學時退回到舊知原點，能再現學生認知結構中的相關知識經驗，激活新舊知識之間的聯結點，達到溫故知新的目的。

例如，教學“乘法分配律”時，很多教師基本上是先從解決“買５件夾克（單價為６５元）和５條褲子（單價為４５元），一共要付出多少元”的問題入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再讓學生寫出幾組這樣的算式，然后歸納出規律。一些學生在實際計算時，將７４×（２０＋１）的算式寫成７４×２０＋１的形式，原因之一就是學生觀察、分析不夠，體驗不到位。教師在教學時不妨將等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５從左往右進行轉化，即５個（６５＋４５）的和可以寫成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引領學生從后往前回看，用類似的方法還原到（６５＋４５）×５。最后讓學生舉例、觀察、分析、發現，抽象概括出簡明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速則不達。”教師引領學生退到原始的乘法意義產生的地方，讓學生去發現知識之間的內在聯系來建立概念，變快為慢，使學生有充足的時間經歷、體驗、探索，從而掌握規律，感悟數學的符號思想。

三、退到生活經驗，變遠為近，把握數學本質

數學源于生活。新課程倡導“數學教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎”。因此，教師教學時要充分利用生活現象，激活學生的生活經驗；利用圖形直觀，使抽象的道理能看得見、摸得著，引導學生在解決問題過程中漸漸逼近乃至把握數學的本質。

例如，有這樣一道習題：“圖１，一只螞蟻從正方體紙盒的頂點Ａ爬到頂點Ｂ，請你在圖中標出最短的爬行路徑。”

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由于學生的空間觀念不強，學生在解決這樣的問題時，往往認為從頂點Ａ到頂點Ｃ，再從頂點Ｃ畫對角線到頂點Ｂ（如圖２）為最短的路徑。而實際上，這并不是一條最短的路徑。可以準備一只正方體的紙盒，把正方體的紙盒蓋子掀開，正方體的上面和前面正好構成了一個長方形，通過變體為面，使學生豁然開朗，能很快找到從頂點Ａ到頂點Ｂ的最短路徑，即長方形的對角線（如圖３所示）。

經驗是學生展開幾何學習活動的前提條件。學生有如下的生活經驗：如圖４，從頂點Ａ到達頂點Ｂ，走ＡＢ的路徑要比走ＡＣ＋ＣＢ的路徑近得多。教學時，教師應充分利用這樣的寶貴資源，變遠為近，使學生在動手操作、仔細觀察、認真思考中獲得空間知覺，建立空間觀念，發展空間思維，進而把握數學的本質——兩點之間線段最短。

“以退為進”的實質是轉移或轉換，是一種智慧的體現。“退”是“進”的基礎和準備，“進”是“退”的發展和提升。當學生“山重水復疑無路”時，運用好“以退為進”的策略，往往會收到“柳暗花明又一村”的效果。

（責編杜華）

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