表內乘除法常見錯例及教學干預

+張靜波

表內乘除法是小學階段乘除法學習中的基礎，有大九九和小九九之分。常規是按大九九進行教學的，即表內乘法和表內除法各８１句。

教學中高段的教師常說起某班或某生乘除法掌握不夠好，并簡單地歸因為低學段時乘除法基礎沒有打好。那么表內乘除法的易錯點在哪里呢？是否能夠在教學中提前干預，消除易錯點呢？抱著這樣的想法，我們以校教改項目研究的方式對表內乘除法進行了實踐研究。

為了能夠得到學生表內乘除法的易錯題，我們在９月份對學生進行了表內乘除法各８１題的前測。以下是前測數據。

表內乘法錯誤情況統計表

■

注：３１２名學生，其中１６３人滿分，４張為無效試卷（其中４名學生沒做完：３人漏題沒有完成，１人來不及做。因此４張為無效試卷）；學生出錯的題目一共７０題，另外１１題無錯誤。

表內除法錯誤情況統計表

■

注：３１２名學生，其中１１９人滿分，２張為無效試卷；其中出錯７９題，另２題無出錯。

對比學生表內乘除法的掌握情況，顯然學生乘法掌握相對比除法要好。

我們根據原來二年級教師的經驗及前測情況，進行了初步的診斷。學生的錯誤基本有以下幾種：

１．兩個大數相乘易錯。如：６×７；７×９。

２．數字相似的口訣易混淆。如：三六一十八與二六十二；三七二十一與三九二十七；二八一十六與二九一十八；五九四十五與六九五十四。

３．得數是二十幾的算式容易寫錯。

４．大數在前易錯。如：８×２；９×３。

５．乘號和除號容易看錯。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表內乘除法和２０以內的加減法一樣，是所有計算中的基礎，最終目標是讓學生能夠脫離算理，脫口而出，但是卻不能簡單地讓學生死記硬背。雖然學生依賴于強記也能使計算正確率比較高，但是僅限于“小和尚念經，有口無心”的狀態。因此在教學時教師應重點抓住乘法和除法的算理，特別是乘法口訣的推導過程，幫助學生進行意義上的建構，通過操作強化學生對“幾個幾相加”的乘法意義的理解，進行提前干預，而非機械記憶。教材對乘法意義的闡述是“求幾個相同加數的和的簡便計算”，這樣的表述似乎將加法和乘法之間的關系割裂開來，因此教學時可通過如下方法對乘法的意義加以建構。

幾個同數相加和乘法進行連線，或要求將同數相加改寫成乘法算式，溝通加法和乘法之間的內在聯系。如

■

首先呈現的是結合具體情境的實物圖，４個３相加，既可列式為３×４＝１２，也可列式為４×３＝１２。

又如，２的乘法口訣，通過多種實物或圖形直觀的方式呈現，建立起實物——圖形——加法算式——乘法算式之間的練習，抽象出乘法的意義。

■

教學除法的初步認識時可采用以下策略。

１．通過操作，加強對“平均分”的理解

教學除法的認識，先從分實物引入。除法的本質是“平均分”，包含兩種意義：包含除和等分除。在教學認識除法之前，先要通過具體分東西的操作，讓學生建立清晰的“平均分”的概念；再學習兩種不同的分法，通過分一分、圈一圈等實際活動，讓學生理解除法的本質特征。在教學中不必拘泥于一個一個地分，也可以是兩個兩個地分，還可以幾個幾個地分，只要每次每份分的個數相同，就能保證最后每份分得的個數相同。總之，不管是哪種分法，不管怎樣去分，最后都要達到“平均分”的目的，這才是最主要的目的。

２．結合具體情境，聯系平均分的過程

列除法算式與列乘法算式相比，相對要稍難些。列乘法算式求３個２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式則不同，要把被分物體的總個數寫在除號的前面，作被除數；要把每一份的個數或平均分成的份數寫在除號的后面，作除數；把分得的結果寫在等號的后面，作商。所以在教學認識除法的例題時，先要說明要求出問題的結果可以用除法計算；在列出除法算式后，還要結合例題的具體情境，聯系實際分的過程，讓學生理解算式各部分所表示的具體含義，以加深學生對除法的認識。

另外還可配合下面幾種方法。

１．推算口訣記憶法（背誦法及上下口訣聯想推算法，利用乘除法意義記憶口訣）。

２．課前口訣記憶法：每次預備鈴響后由課代表帶領全班同學背誦乘法口訣（順背、倒背、橫背、豎背）。

３．小組合作記憶法：組長負責檢查本組成員的口訣掌握情況。

４．視算聽算練習，強化記憶。

５．建立易錯題庫，適當增加頻率。

６．游戲記憶法，輕松記口訣：

如拍３的游戲：３的口訣得數只能用拍手表示，不能用口說出來，四人小組從１開始按順序輪流數，要求算錯的學生表演一個節目。

如同桌兩人準備０~９的數字卡片，各取出一張，用乘法口訣進行計算，誰又快又準，誰就可以收回兩張卡片，直到一方沒有卡片為止。

又如記憶２的乘法口訣：１只青蛙１張嘴，２只眼睛４條腿，撲通撲通跳下水……記憶６的乘法口訣：１只蜜蜂６條腿，２只蜜蜂１２條腿，３只蜜蜂１８條腿，采來采去采花粉……

７．對比記憶法。

出一些對比題，以增強學生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，積相近的可以放在一起練習：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通過上述措施的實施，我們對本年段７個班級學生中進行了后測及分析。

表內乘法錯誤情況統計

■

注：１５３名學生，其中１２１人滿分；出錯３７題，另外４４題無錯誤。

表內除法錯誤情況統計

■

注：１５３名學生，其中１２３人滿分；出錯３６題，另外４５題無錯誤。

再拿之前的８１題表內乘除法讓學生試一試，結果無明顯出錯的題目。因此我們認為干預措施有效，而且初步得出：兩三個月的干預數量，已經足夠消滅易錯易混題目；次數已經足夠，再練習已不必要。

對于出錯較多的幾個學生，我們進行了個案分析：如２班的張同學，是因為智力發育稍遲緩；１班的黃同學，是屬于抱無所謂態度的學生。而其他學生，并非不掌握表內乘除法，或是因為數字符號看錯，或屬偶然。

以前針對學生的乘除法計算錯誤多，我們常歸因為乘除法教學不到位，通過實踐可以知道，是由于學生的年齡特征及個性特征所致。根據艾賓浩斯的遺忘曲線規律，學生對表內乘除法有了臨時性遺忘，就像從倉庫里調出很久沒有使用過的材料一樣，花費的時間相對長，出錯的概率較原來高。另外，表內乘除法相對于多位數乘除法來說，比較單一，學生不容易錯，但多位數乘除法步驟一多，學生容易混淆，所以錯誤相對增多，而并非是低學段時乘法基礎沒有打好。

通過實踐證明，表內乘除法的教學及練習最好能夠分段進行，沒必要集中在一長段時間里教學，那樣反而事倍功半。根據遺忘曲線規律安排教學，適當加以復習回憶，效果相對較好。

（責編金鈴）

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表內乘除法是小學階段乘除法學習中的基礎，有大九九和小九九之分。常規是按大九九進行教學的，即表內乘法和表內除法各８１句。

教學中高段的教師常說起某班或某生乘除法掌握不夠好，并簡單地歸因為低學段時乘除法基礎沒有打好。那么表內乘除法的易錯點在哪里呢？是否能夠在教學中提前干預，消除易錯點呢？抱著這樣的想法，我們以校教改項目研究的方式對表內乘除法進行了實踐研究。

為了能夠得到學生表內乘除法的易錯題，我們在９月份對學生進行了表內乘除法各８１題的前測。以下是前測數據。

表內乘法錯誤情況統計表

■

注：３１２名學生，其中１６３人滿分，４張為無效試卷（其中４名學生沒做完：３人漏題沒有完成，１人來不及做。因此４張為無效試卷）；學生出錯的題目一共７０題，另外１１題無錯誤。

表內除法錯誤情況統計表

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注：３１２名學生，其中１１９人滿分，２張為無效試卷；其中出錯７９題，另２題無出錯。

對比學生表內乘除法的掌握情況，顯然學生乘法掌握相對比除法要好。

我們根據原來二年級教師的經驗及前測情況，進行了初步的診斷。學生的錯誤基本有以下幾種：

１．兩個大數相乘易錯。如：６×７；７×９。

２．數字相似的口訣易混淆。如：三六一十八與二六十二；三七二十一與三九二十七；二八一十六與二九一十八；五九四十五與六九五十四。

３．得數是二十幾的算式容易寫錯。

４．大數在前易錯。如：８×２；９×３。

５．乘號和除號容易看錯。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表內乘除法和２０以內的加減法一樣，是所有計算中的基礎，最終目標是讓學生能夠脫離算理，脫口而出，但是卻不能簡單地讓學生死記硬背。雖然學生依賴于強記也能使計算正確率比較高，但是僅限于“小和尚念經，有口無心”的狀態。因此在教學時教師應重點抓住乘法和除法的算理，特別是乘法口訣的推導過程，幫助學生進行意義上的建構，通過操作強化學生對“幾個幾相加”的乘法意義的理解，進行提前干預，而非機械記憶。教材對乘法意義的闡述是“求幾個相同加數的和的簡便計算”，這樣的表述似乎將加法和乘法之間的關系割裂開來，因此教學時可通過如下方法對乘法的意義加以建構。

幾個同數相加和乘法進行連線，或要求將同數相加改寫成乘法算式，溝通加法和乘法之間的內在聯系。如

■

首先呈現的是結合具體情境的實物圖，４個３相加，既可列式為３×４＝１２，也可列式為４×３＝１２。

又如，２的乘法口訣，通過多種實物或圖形直觀的方式呈現，建立起實物——圖形——加法算式——乘法算式之間的練習，抽象出乘法的意義。

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教學除法的初步認識時可采用以下策略。

１．通過操作，加強對“平均分”的理解

教學除法的認識，先從分實物引入。除法的本質是“平均分”，包含兩種意義：包含除和等分除。在教學認識除法之前，先要通過具體分東西的操作，讓學生建立清晰的“平均分”的概念；再學習兩種不同的分法，通過分一分、圈一圈等實際活動，讓學生理解除法的本質特征。在教學中不必拘泥于一個一個地分，也可以是兩個兩個地分，還可以幾個幾個地分，只要每次每份分的個數相同，就能保證最后每份分得的個數相同。總之，不管是哪種分法，不管怎樣去分，最后都要達到“平均分”的目的，這才是最主要的目的。

２．結合具體情境，聯系平均分的過程

列除法算式與列乘法算式相比，相對要稍難些。列乘法算式求３個２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式則不同，要把被分物體的總個數寫在除號的前面，作被除數；要把每一份的個數或平均分成的份數寫在除號的后面，作除數；把分得的結果寫在等號的后面，作商。所以在教學認識除法的例題時，先要說明要求出問題的結果可以用除法計算；在列出除法算式后，還要結合例題的具體情境，聯系實際分的過程，讓學生理解算式各部分所表示的具體含義，以加深學生對除法的認識。

另外還可配合下面幾種方法。

１．推算口訣記憶法（背誦法及上下口訣聯想推算法，利用乘除法意義記憶口訣）。

２．課前口訣記憶法：每次預備鈴響后由課代表帶領全班同學背誦乘法口訣（順背、倒背、橫背、豎背）。

３．小組合作記憶法：組長負責檢查本組成員的口訣掌握情況。

４．視算聽算練習，強化記憶。

５．建立易錯題庫，適當增加頻率。

６．游戲記憶法，輕松記口訣：

如拍３的游戲：３的口訣得數只能用拍手表示，不能用口說出來，四人小組從１開始按順序輪流數，要求算錯的學生表演一個節目。

如同桌兩人準備０~９的數字卡片，各取出一張，用乘法口訣進行計算，誰又快又準，誰就可以收回兩張卡片，直到一方沒有卡片為止。

又如記憶２的乘法口訣：１只青蛙１張嘴，２只眼睛４條腿，撲通撲通跳下水……記憶６的乘法口訣：１只蜜蜂６條腿，２只蜜蜂１２條腿，３只蜜蜂１８條腿，采來采去采花粉……

７．對比記憶法。

出一些對比題，以增強學生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，積相近的可以放在一起練習：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通過上述措施的實施，我們對本年段７個班級學生中進行了后測及分析。

表內乘法錯誤情況統計

■

注：１５３名學生，其中１２１人滿分；出錯３７題，另外４４題無錯誤。

表內除法錯誤情況統計

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注：１５３名學生，其中１２３人滿分；出錯３６題，另外４５題無錯誤。

再拿之前的８１題表內乘除法讓學生試一試，結果無明顯出錯的題目。因此我們認為干預措施有效，而且初步得出：兩三個月的干預數量，已經足夠消滅易錯易混題目；次數已經足夠，再練習已不必要。

對于出錯較多的幾個學生，我們進行了個案分析：如２班的張同學，是因為智力發育稍遲緩；１班的黃同學，是屬于抱無所謂態度的學生。而其他學生，并非不掌握表內乘除法，或是因為數字符號看錯，或屬偶然。

以前針對學生的乘除法計算錯誤多，我們常歸因為乘除法教學不到位，通過實踐可以知道，是由于學生的年齡特征及個性特征所致。根據艾賓浩斯的遺忘曲線規律，學生對表內乘除法有了臨時性遺忘，就像從倉庫里調出很久沒有使用過的材料一樣，花費的時間相對長，出錯的概率較原來高。另外，表內乘除法相對于多位數乘除法來說，比較單一，學生不容易錯，但多位數乘除法步驟一多，學生容易混淆，所以錯誤相對增多，而并非是低學段時乘法基礎沒有打好。

通過實踐證明，表內乘除法的教學及練習最好能夠分段進行，沒必要集中在一長段時間里教學，那樣反而事倍功半。根據遺忘曲線規律安排教學，適當加以復習回憶，效果相對較好。

（責編金鈴）

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表內乘除法是小學階段乘除法學習中的基礎，有大九九和小九九之分。常規是按大九九進行教學的，即表內乘法和表內除法各８１句。

教學中高段的教師常說起某班或某生乘除法掌握不夠好，并簡單地歸因為低學段時乘除法基礎沒有打好。那么表內乘除法的易錯點在哪里呢？是否能夠在教學中提前干預，消除易錯點呢？抱著這樣的想法，我們以校教改項目研究的方式對表內乘除法進行了實踐研究。

為了能夠得到學生表內乘除法的易錯題，我們在９月份對學生進行了表內乘除法各８１題的前測。以下是前測數據。

表內乘法錯誤情況統計表

■

注：３１２名學生，其中１６３人滿分，４張為無效試卷（其中４名學生沒做完：３人漏題沒有完成，１人來不及做。因此４張為無效試卷）；學生出錯的題目一共７０題，另外１１題無錯誤。

表內除法錯誤情況統計表

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注：３１２名學生，其中１１９人滿分，２張為無效試卷；其中出錯７９題，另２題無出錯。

對比學生表內乘除法的掌握情況，顯然學生乘法掌握相對比除法要好。

我們根據原來二年級教師的經驗及前測情況，進行了初步的診斷。學生的錯誤基本有以下幾種：

１．兩個大數相乘易錯。如：６×７；７×９。

２．數字相似的口訣易混淆。如：三六一十八與二六十二；三七二十一與三九二十七；二八一十六與二九一十八；五九四十五與六九五十四。

３．得數是二十幾的算式容易寫錯。

４．大數在前易錯。如：８×２；９×３。

５．乘號和除號容易看錯。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表內乘除法和２０以內的加減法一樣，是所有計算中的基礎，最終目標是讓學生能夠脫離算理，脫口而出，但是卻不能簡單地讓學生死記硬背。雖然學生依賴于強記也能使計算正確率比較高，但是僅限于“小和尚念經，有口無心”的狀態。因此在教學時教師應重點抓住乘法和除法的算理，特別是乘法口訣的推導過程，幫助學生進行意義上的建構，通過操作強化學生對“幾個幾相加”的乘法意義的理解，進行提前干預，而非機械記憶。教材對乘法意義的闡述是“求幾個相同加數的和的簡便計算”，這樣的表述似乎將加法和乘法之間的關系割裂開來，因此教學時可通過如下方法對乘法的意義加以建構。

幾個同數相加和乘法進行連線，或要求將同數相加改寫成乘法算式，溝通加法和乘法之間的內在聯系。如

■

首先呈現的是結合具體情境的實物圖，４個３相加，既可列式為３×４＝１２，也可列式為４×３＝１２。

又如，２的乘法口訣，通過多種實物或圖形直觀的方式呈現，建立起實物——圖形——加法算式——乘法算式之間的練習，抽象出乘法的意義。

■

教學除法的初步認識時可采用以下策略。

１．通過操作，加強對“平均分”的理解

教學除法的認識，先從分實物引入。除法的本質是“平均分”，包含兩種意義：包含除和等分除。在教學認識除法之前，先要通過具體分東西的操作，讓學生建立清晰的“平均分”的概念；再學習兩種不同的分法，通過分一分、圈一圈等實際活動，讓學生理解除法的本質特征。在教學中不必拘泥于一個一個地分，也可以是兩個兩個地分，還可以幾個幾個地分，只要每次每份分的個數相同，就能保證最后每份分得的個數相同。總之，不管是哪種分法，不管怎樣去分，最后都要達到“平均分”的目的，這才是最主要的目的。

２．結合具體情境，聯系平均分的過程

列除法算式與列乘法算式相比，相對要稍難些。列乘法算式求３個２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式則不同，要把被分物體的總個數寫在除號的前面，作被除數；要把每一份的個數或平均分成的份數寫在除號的后面，作除數；把分得的結果寫在等號的后面，作商。所以在教學認識除法的例題時，先要說明要求出問題的結果可以用除法計算；在列出除法算式后，還要結合例題的具體情境，聯系實際分的過程，讓學生理解算式各部分所表示的具體含義，以加深學生對除法的認識。

另外還可配合下面幾種方法。

１．推算口訣記憶法（背誦法及上下口訣聯想推算法，利用乘除法意義記憶口訣）。

２．課前口訣記憶法：每次預備鈴響后由課代表帶領全班同學背誦乘法口訣（順背、倒背、橫背、豎背）。

３．小組合作記憶法：組長負責檢查本組成員的口訣掌握情況。

４．視算聽算練習，強化記憶。

５．建立易錯題庫，適當增加頻率。

６．游戲記憶法，輕松記口訣：

如拍３的游戲：３的口訣得數只能用拍手表示，不能用口說出來，四人小組從１開始按順序輪流數，要求算錯的學生表演一個節目。

如同桌兩人準備０~９的數字卡片，各取出一張，用乘法口訣進行計算，誰又快又準，誰就可以收回兩張卡片，直到一方沒有卡片為止。

又如記憶２的乘法口訣：１只青蛙１張嘴，２只眼睛４條腿，撲通撲通跳下水……記憶６的乘法口訣：１只蜜蜂６條腿，２只蜜蜂１２條腿，３只蜜蜂１８條腿，采來采去采花粉……

７．對比記憶法。

出一些對比題，以增強學生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，積相近的可以放在一起練習：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通過上述措施的實施，我們對本年段７個班級學生中進行了后測及分析。

表內乘法錯誤情況統計

■

注：１５３名學生，其中１２１人滿分；出錯３７題，另外４４題無錯誤。

表內除法錯誤情況統計

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注：１５３名學生，其中１２３人滿分；出錯３６題，另外４５題無錯誤。

再拿之前的８１題表內乘除法讓學生試一試，結果無明顯出錯的題目。因此我們認為干預措施有效，而且初步得出：兩三個月的干預數量，已經足夠消滅易錯易混題目；次數已經足夠，再練習已不必要。

對于出錯較多的幾個學生，我們進行了個案分析：如２班的張同學，是因為智力發育稍遲緩；１班的黃同學，是屬于抱無所謂態度的學生。而其他學生，并非不掌握表內乘除法，或是因為數字符號看錯，或屬偶然。

以前針對學生的乘除法計算錯誤多，我們常歸因為乘除法教學不到位，通過實踐可以知道，是由于學生的年齡特征及個性特征所致。根據艾賓浩斯的遺忘曲線規律，學生對表內乘除法有了臨時性遺忘，就像從倉庫里調出很久沒有使用過的材料一樣，花費的時間相對長，出錯的概率較原來高。另外，表內乘除法相對于多位數乘除法來說，比較單一，學生不容易錯，但多位數乘除法步驟一多，學生容易混淆，所以錯誤相對增多，而并非是低學段時乘法基礎沒有打好。

通過實踐證明，表內乘除法的教學及練習最好能夠分段進行，沒必要集中在一長段時間里教學，那樣反而事倍功半。根據遺忘曲線規律安排教學，適當加以復習回憶，效果相對較好。

（責編金鈴）

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