數學課上尷尬之余的驚喜

孫俊勝

學生進入高二，學習了立體幾何一段時間之后，在一次練習中，我們遇到了這樣一道題目：在空間四邊形中，互相垂直的邊最多有多少對？我當場報出答案：6對！這個答案頓時引起全班學生的一片嘩然，他們強烈要求馬上講這道題。

事實上，我在做這道題目的時候，誤把題中的“空間四邊形”讀作“空間四面體”。如圖：PA，AB，AC兩兩垂直，則有6對相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我當時估計學生可能出現的“錯誤”是：想當然地看到了相交垂直，沒有認識有異面垂直的情況，為了“暴露學生的錯誤”，并且“幫助學生有效地改正錯誤”，就請學生上前說明自己的做法。

一、風波生，討論起

先是顧丹上來，她果然畫出了上面的圖形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了異面垂直的情形。當我得意洋洋地“指出錯誤”的時候，有個別學生說：“老師題目中是‘空間四邊形呀！”我仔細看了一下，呀！果然是把題目看錯了。我心里一緊，糟了，這可如何是好！是草草收場，下課我自己認真研究一番之后再給學生答復，還是硬著頭皮討論下去當場給學生一個解答呢？

此時，學生群情激奮，彼此討論得異常熱烈。有的埋頭作圖，有的創建模型，絲毫沒有作罷的意思。而且看著他們如此認真地投入，更是不忍心打斷他們。況且解決這個問題的過程，依賴于學生對空間圖形的認識和對垂直的相關關系的理解。于是，我決定先由學生自由探討，再讓他們展示成果，最后師生共同總結。

二、展成果，辨正誤

經過一段時間的討論，學生都不同程度地形成了自己的認識，我提議現場“發布”他們各部分的“研究成果”。場面真是相當壯觀。他們一改平日里提問時吞吞吐吐、欲言又止的狀況，爭先恐后地說，聲音更是響亮。

一展：一個女生宣布：“有四對！”隨之拿出了自己的模型（一個正方形的便箋紙），沿對角線BD翻折：“翻折之后，如果我還讓AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四對了嗎？”

■ ■

辨：乍一聽，似乎言之有理。稍作思考之后，馬上就有了疑問：“問題是，AB⊥BC且CD⊥AD的情況存在嗎？”經過緊張的論證之后，他們得出結論：“不存在！”

還是這個女生自己推翻了先前的觀點：“翻折前，翻折后，此時的AC長是小于翻折前的AC長，不滿足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：緊接著，另一個女生展示了自己的成果：相當于把剛剛的正方形沿著BD撕開，翻轉后對接，使得DC垂直于另一個平面。而后再重新命名為：空間四邊形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。結論：有三對！

■ ■

辨：其他學生馬上提出疑問：“除此之外，難道沒有其它邊相互垂直了嗎？”一個男生補充道：“不是有CD⊥BC嗎？”其他學生紛紛反駁：“BC是這個空間四邊形的對角線，又不是邊！”說得此男生連連點頭，俯首稱臣。

學生換了一種拼接方式，讓兩個直角頂點對接，得到類似于開始上課時的空間四邊形MNOP：MP，PO，PN兩兩垂直。經過研究，得到結論：互相垂直的邊仍然是有三對。那么根據剛才的研究是不是可以得出結論：最多有三對呢？有部分同學立即投入否定剛才這個結論的研究中，能不能再找到一對，有四對邊垂直呢？

三展：另一個男生拿出幾支筆，搭建了模型，提出了自己的猜想：保證1垂直于2，2垂直于3，轉動4，能不能使得4同時與1和3都垂直呢？如果存在的話不就有四對邊垂直了嗎？

辨：剛一聽，覺得還挺有道理。可仔細一想，如此一來，2和4就都是異面直線1與2的公垂線段了嗎？

于是，假設錯誤。再于是，得到了一個類似于定理的結論：空間四邊形的四個角不可能都是直角！得到了這樣一個結論之后，他們都既興奮又高興，還有一點滿足，還有一些意猶未盡。

三、大膽猜，嚴謹證

大家討論熱烈，積極探討。等到把大家所能想到都研究過了，他們開始邊猶豫，邊試探：是不是真的最多只有三對呢？又如何才能嚴格地證明這樣的猜想呢？這需要嚴格地分類討論。

在剛才的理論“空間四邊形的四個角不可能都是直角”的支持下進行討論：

1.如果有三個內角是直角

圖：角A，B，C分別是直角。已經有三對直角。

先考慮邊1，若1⊥3，因為原本3⊥2，所以得到CB⊥面ABD，則3⊥BD與3⊥4矛盾。

再考慮邊2，若2⊥4，可得2⊥BD，與2⊥1矛盾。

……

這樣，逐一考慮結束之后，可以得出結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。

2.如果有兩個內角是直角

（1）如果這兩個內角相鄰：角A，B是直角。考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥BD，與2⊥1矛盾）。這樣又可以得到結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。

（2）如果這兩個內角相對：角A，C是直角。考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥AC，與3⊥AC矛盾）。這樣又可以得到結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。這個圖形，其實就是二展中所展示的圖形。

3.如果只有一個內角是直角

比如，上述的四邊形中只有角A是直角。那么考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2最多4垂直。結論成立。

4.如果沒有一個內角是直角

如果沒有一個內角是直角，那么最多1與3垂直，2與4垂直，結論依然成立。

四、喟教訓，促反思

討論至此，這道最初因我誤讀而起的風波已經慢慢地平息了下來，大家都沉浸在提出問題、探索問題、解決問題的喜悅之中。在他們在激動和興奮之中整理知識的時候，我也開始了反思。

由于我的粗心與失誤，引起了這種強烈的沖突。還好最終問題得到了圓滿解決。試想，如果問題展開了最終卻沒有獲得解決，會造成什么樣的后果！無論是數學學術還是現實生活，都有像這次誤讀一樣因小失大、一字之差謬之千里的事情發生。下課之時，師生共同總結教訓：讀題目時，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心謹慎。

這場意外，卻意外地引起學生濃厚的興趣。全班同學無一例外地投身于這場熱烈的討論與探究之中，非常認真，非常主動，非常合作，前所未有。從知識上，這節課中他們搭建的模型、做出的圖形都是集垂直于一身的典型題目。上完這節課，他們對線線垂直、線面垂直都有了非常深刻的認識；他們在這節課上經歷了先猜后證、先歸納后總結的全過程，完整地體會了一個未知的結論誕生的過程。尤其值得稱道的是，他們居然還能從研究過程中整理出一個結論：空間四邊形的四個角不可能都是直角，并把它作為“引例”證明之后的結論，而這種方法是大學以后才涉入及并使用的。

由此，我開始反思自己的教學方法。以前按步就班的方法的確過于沉悶，不是學生不愿意配合，不是學生不愿意主動，而是我沒有給學生營造這樣的氣氛。以后再上題目講評課的時候，完全可以采用“我的錯題我來評”，或者是“老師出錯我來糾”等方法，引發學生的興趣。

由此看來，一線教師在教書的同時，一定要深挖教材，做到“家中有糧心不慌”。

參考文獻：

[1]傅海倫.對當前中學數學課堂教學的總結與反思[J].教育科學研究，2009（3）.

[2]歐蕾.淺析運用思維轉換法創造性地學習[J].貴州社會主義學院學報，2008（2）.

學生進入高二，學習了立體幾何一段時間之后，在一次練習中，我們遇到了這樣一道題目：在空間四邊形中，互相垂直的邊最多有多少對？我當場報出答案：6對！這個答案頓時引起全班學生的一片嘩然，他們強烈要求馬上講這道題。

事實上，我在做這道題目的時候，誤把題中的“空間四邊形”讀作“空間四面體”。如圖：PA，AB，AC兩兩垂直，則有6對相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我當時估計學生可能出現的“錯誤”是：想當然地看到了相交垂直，沒有認識有異面垂直的情況，為了“暴露學生的錯誤”，并且“幫助學生有效地改正錯誤”，就請學生上前說明自己的做法。

一、風波生，討論起

先是顧丹上來，她果然畫出了上面的圖形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了異面垂直的情形。當我得意洋洋地“指出錯誤”的時候，有個別學生說：“老師題目中是‘空間四邊形呀！”我仔細看了一下，呀！果然是把題目看錯了。我心里一緊，糟了，這可如何是好！是草草收場，下課我自己認真研究一番之后再給學生答復，還是硬著頭皮討論下去當場給學生一個解答呢？

此時，學生群情激奮，彼此討論得異常熱烈。有的埋頭作圖，有的創建模型，絲毫沒有作罷的意思。而且看著他們如此認真地投入，更是不忍心打斷他們。況且解決這個問題的過程，依賴于學生對空間圖形的認識和對垂直的相關關系的理解。于是，我決定先由學生自由探討，再讓他們展示成果，最后師生共同總結。

二、展成果，辨正誤

經過一段時間的討論，學生都不同程度地形成了自己的認識，我提議現場“發布”他們各部分的“研究成果”。場面真是相當壯觀。他們一改平日里提問時吞吞吐吐、欲言又止的狀況，爭先恐后地說，聲音更是響亮。

一展：一個女生宣布：“有四對！”隨之拿出了自己的模型（一個正方形的便箋紙），沿對角線BD翻折：“翻折之后，如果我還讓AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四對了嗎？”

■ ■

辨：乍一聽，似乎言之有理。稍作思考之后，馬上就有了疑問：“問題是，AB⊥BC且CD⊥AD的情況存在嗎？”經過緊張的論證之后，他們得出結論：“不存在！”

還是這個女生自己推翻了先前的觀點：“翻折前，翻折后，此時的AC長是小于翻折前的AC長，不滿足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：緊接著，另一個女生展示了自己的成果：相當于把剛剛的正方形沿著BD撕開，翻轉后對接，使得DC垂直于另一個平面。而后再重新命名為：空間四邊形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。結論：有三對！

■ ■

辨：其他學生馬上提出疑問：“除此之外，難道沒有其它邊相互垂直了嗎？”一個男生補充道：“不是有CD⊥BC嗎？”其他學生紛紛反駁：“BC是這個空間四邊形的對角線，又不是邊！”說得此男生連連點頭，俯首稱臣。

學生換了一種拼接方式，讓兩個直角頂點對接，得到類似于開始上課時的空間四邊形MNOP：MP，PO，PN兩兩垂直。經過研究，得到結論：互相垂直的邊仍然是有三對。那么根據剛才的研究是不是可以得出結論：最多有三對呢？有部分同學立即投入否定剛才這個結論的研究中，能不能再找到一對，有四對邊垂直呢？

三展：另一個男生拿出幾支筆，搭建了模型，提出了自己的猜想：保證1垂直于2，2垂直于3，轉動4，能不能使得4同時與1和3都垂直呢？如果存在的話不就有四對邊垂直了嗎？

辨：剛一聽，覺得還挺有道理。可仔細一想，如此一來，2和4就都是異面直線1與2的公垂線段了嗎？

于是，假設錯誤。再于是，得到了一個類似于定理的結論：空間四邊形的四個角不可能都是直角！得到了這樣一個結論之后，他們都既興奮又高興，還有一點滿足，還有一些意猶未盡。

三、大膽猜，嚴謹證

大家討論熱烈，積極探討。等到把大家所能想到都研究過了，他們開始邊猶豫，邊試探：是不是真的最多只有三對呢？又如何才能嚴格地證明這樣的猜想呢？這需要嚴格地分類討論。

在剛才的理論“空間四邊形的四個角不可能都是直角”的支持下進行討論：

1.如果有三個內角是直角

圖：角A，B，C分別是直角。已經有三對直角。

先考慮邊1，若1⊥3，因為原本3⊥2，所以得到CB⊥面ABD，則3⊥BD與3⊥4矛盾。

再考慮邊2，若2⊥4，可得2⊥BD，與2⊥1矛盾。

……

這樣，逐一考慮結束之后，可以得出結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。

2.如果有兩個內角是直角

（1）如果這兩個內角相鄰：角A，B是直角。考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥BD，與2⊥1矛盾）。這樣又可以得到結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。

（2）如果這兩個內角相對：角A，C是直角。考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥AC，與3⊥AC矛盾）。這樣又可以得到結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。這個圖形，其實就是二展中所展示的圖形。

3.如果只有一個內角是直角

比如，上述的四邊形中只有角A是直角。那么考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2最多4垂直。結論成立。

4.如果沒有一個內角是直角

如果沒有一個內角是直角，那么最多1與3垂直，2與4垂直，結論依然成立。

四、喟教訓，促反思

討論至此，這道最初因我誤讀而起的風波已經慢慢地平息了下來，大家都沉浸在提出問題、探索問題、解決問題的喜悅之中。在他們在激動和興奮之中整理知識的時候，我也開始了反思。

由于我的粗心與失誤，引起了這種強烈的沖突。還好最終問題得到了圓滿解決。試想，如果問題展開了最終卻沒有獲得解決，會造成什么樣的后果！無論是數學學術還是現實生活，都有像這次誤讀一樣因小失大、一字之差謬之千里的事情發生。下課之時，師生共同總結教訓：讀題目時，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心謹慎。

這場意外，卻意外地引起學生濃厚的興趣。全班同學無一例外地投身于這場熱烈的討論與探究之中，非常認真，非常主動，非常合作，前所未有。從知識上，這節課中他們搭建的模型、做出的圖形都是集垂直于一身的典型題目。上完這節課，他們對線線垂直、線面垂直都有了非常深刻的認識；他們在這節課上經歷了先猜后證、先歸納后總結的全過程，完整地體會了一個未知的結論誕生的過程。尤其值得稱道的是，他們居然還能從研究過程中整理出一個結論：空間四邊形的四個角不可能都是直角，并把它作為“引例”證明之后的結論，而這種方法是大學以后才涉入及并使用的。

由此，我開始反思自己的教學方法。以前按步就班的方法的確過于沉悶，不是學生不愿意配合，不是學生不愿意主動，而是我沒有給學生營造這樣的氣氛。以后再上題目講評課的時候，完全可以采用“我的錯題我來評”，或者是“老師出錯我來糾”等方法，引發學生的興趣。

由此看來，一線教師在教書的同時，一定要深挖教材，做到“家中有糧心不慌”。

參考文獻：

[1]傅海倫.對當前中學數學課堂教學的總結與反思[J].教育科學研究，2009（3）.

[2]歐蕾.淺析運用思維轉換法創造性地學習[J].貴州社會主義學院學報，2008（2）.

學生進入高二，學習了立體幾何一段時間之后，在一次練習中，我們遇到了這樣一道題目：在空間四邊形中，互相垂直的邊最多有多少對？我當場報出答案：6對！這個答案頓時引起全班學生的一片嘩然，他們強烈要求馬上講這道題。

事實上，我在做這道題目的時候，誤把題中的“空間四邊形”讀作“空間四面體”。如圖：PA，AB，AC兩兩垂直，則有6對相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我當時估計學生可能出現的“錯誤”是：想當然地看到了相交垂直，沒有認識有異面垂直的情況，為了“暴露學生的錯誤”，并且“幫助學生有效地改正錯誤”，就請學生上前說明自己的做法。

一、風波生，討論起

先是顧丹上來，她果然畫出了上面的圖形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了異面垂直的情形。當我得意洋洋地“指出錯誤”的時候，有個別學生說：“老師題目中是‘空間四邊形呀！”我仔細看了一下，呀！果然是把題目看錯了。我心里一緊，糟了，這可如何是好！是草草收場，下課我自己認真研究一番之后再給學生答復，還是硬著頭皮討論下去當場給學生一個解答呢？

此時，學生群情激奮，彼此討論得異常熱烈。有的埋頭作圖，有的創建模型，絲毫沒有作罷的意思。而且看著他們如此認真地投入，更是不忍心打斷他們。況且解決這個問題的過程，依賴于學生對空間圖形的認識和對垂直的相關關系的理解。于是，我決定先由學生自由探討，再讓他們展示成果，最后師生共同總結。

二、展成果，辨正誤

經過一段時間的討論，學生都不同程度地形成了自己的認識，我提議現場“發布”他們各部分的“研究成果”。場面真是相當壯觀。他們一改平日里提問時吞吞吐吐、欲言又止的狀況，爭先恐后地說，聲音更是響亮。

一展：一個女生宣布：“有四對！”隨之拿出了自己的模型（一個正方形的便箋紙），沿對角線BD翻折：“翻折之后，如果我還讓AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四對了嗎？”

■ ■

辨：乍一聽，似乎言之有理。稍作思考之后，馬上就有了疑問：“問題是，AB⊥BC且CD⊥AD的情況存在嗎？”經過緊張的論證之后，他們得出結論：“不存在！”

還是這個女生自己推翻了先前的觀點：“翻折前，翻折后，此時的AC長是小于翻折前的AC長，不滿足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：緊接著，另一個女生展示了自己的成果：相當于把剛剛的正方形沿著BD撕開，翻轉后對接，使得DC垂直于另一個平面。而后再重新命名為：空間四邊形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。結論：有三對！

■ ■

辨：其他學生馬上提出疑問：“除此之外，難道沒有其它邊相互垂直了嗎？”一個男生補充道：“不是有CD⊥BC嗎？”其他學生紛紛反駁：“BC是這個空間四邊形的對角線，又不是邊！”說得此男生連連點頭，俯首稱臣。

學生換了一種拼接方式，讓兩個直角頂點對接，得到類似于開始上課時的空間四邊形MNOP：MP，PO，PN兩兩垂直。經過研究，得到結論：互相垂直的邊仍然是有三對。那么根據剛才的研究是不是可以得出結論：最多有三對呢？有部分同學立即投入否定剛才這個結論的研究中，能不能再找到一對，有四對邊垂直呢？

三展：另一個男生拿出幾支筆，搭建了模型，提出了自己的猜想：保證1垂直于2，2垂直于3，轉動4，能不能使得4同時與1和3都垂直呢？如果存在的話不就有四對邊垂直了嗎？

辨：剛一聽，覺得還挺有道理。可仔細一想，如此一來，2和4就都是異面直線1與2的公垂線段了嗎？

于是，假設錯誤。再于是，得到了一個類似于定理的結論：空間四邊形的四個角不可能都是直角！得到了這樣一個結論之后，他們都既興奮又高興，還有一點滿足，還有一些意猶未盡。

三、大膽猜，嚴謹證

大家討論熱烈，積極探討。等到把大家所能想到都研究過了，他們開始邊猶豫，邊試探：是不是真的最多只有三對呢？又如何才能嚴格地證明這樣的猜想呢？這需要嚴格地分類討論。

在剛才的理論“空間四邊形的四個角不可能都是直角”的支持下進行討論：

1.如果有三個內角是直角

圖：角A，B，C分別是直角。已經有三對直角。

先考慮邊1，若1⊥3，因為原本3⊥2，所以得到CB⊥面ABD，則3⊥BD與3⊥4矛盾。

再考慮邊2，若2⊥4，可得2⊥BD，與2⊥1矛盾。

……

這樣，逐一考慮結束之后，可以得出結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。

2.如果有兩個內角是直角

（1）如果這兩個內角相鄰：角A，B是直角。考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥BD，與2⊥1矛盾）。這樣又可以得到結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。

（2）如果這兩個內角相對：角A，C是直角。考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥AC，與3⊥AC矛盾）。這樣又可以得到結論：在這種情況下，只有三對邊垂直。這個圖形，其實就是二展中所展示的圖形。

3.如果只有一個內角是直角

比如，上述的四邊形中只有角A是直角。那么考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2最多4垂直。結論成立。

4.如果沒有一個內角是直角

如果沒有一個內角是直角，那么最多1與3垂直，2與4垂直，結論依然成立。

四、喟教訓，促反思

討論至此，這道最初因我誤讀而起的風波已經慢慢地平息了下來，大家都沉浸在提出問題、探索問題、解決問題的喜悅之中。在他們在激動和興奮之中整理知識的時候，我也開始了反思。

由于我的粗心與失誤，引起了這種強烈的沖突。還好最終問題得到了圓滿解決。試想，如果問題展開了最終卻沒有獲得解決，會造成什么樣的后果！無論是數學學術還是現實生活，都有像這次誤讀一樣因小失大、一字之差謬之千里的事情發生。下課之時，師生共同總結教訓：讀題目時，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心謹慎。

這場意外，卻意外地引起學生濃厚的興趣。全班同學無一例外地投身于這場熱烈的討論與探究之中，非常認真，非常主動，非常合作，前所未有。從知識上，這節課中他們搭建的模型、做出的圖形都是集垂直于一身的典型題目。上完這節課，他們對線線垂直、線面垂直都有了非常深刻的認識；他們在這節課上經歷了先猜后證、先歸納后總結的全過程，完整地體會了一個未知的結論誕生的過程。尤其值得稱道的是，他們居然還能從研究過程中整理出一個結論：空間四邊形的四個角不可能都是直角，并把它作為“引例”證明之后的結論，而這種方法是大學以后才涉入及并使用的。

由此，我開始反思自己的教學方法。以前按步就班的方法的確過于沉悶，不是學生不愿意配合，不是學生不愿意主動，而是我沒有給學生營造這樣的氣氛。以后再上題目講評課的時候，完全可以采用“我的錯題我來評”，或者是“老師出錯我來糾”等方法，引發學生的興趣。

由此看來，一線教師在教書的同時，一定要深挖教材，做到“家中有糧心不慌”。

參考文獻：

[1]傅海倫.對當前中學數學課堂教學的總結與反思[J].教育科學研究，2009（3）.

[2]歐蕾.淺析運用思維轉換法創造性地學習[J].貴州社會主義學院學報，2008（2）.