懸浮子彈降落與懸浮過程彈道特性動力學分析*

雷 偉，錢建平，季溢棟，居仙春

（南京理工大學機械工程學院，南京 210094）

0 引言

懸浮彈系統是一種新型的“被動式”防御武器，它是一種屏障式武器，可以構筑有效的防御系統。我國對懸浮裝置的結構、氣囊空中充氣技術以及懸浮彈空中姿態有相關研究［1－2］。文獻［3］提出了一種驅動旋翼的方法使懸浮彈達到懸浮。

文中采用旋翼結構，通過對懸浮子彈的工作過程研究，包括母彈開艙拋撒、無翼慣性下降、旋翼張開無動力驅動慣性下降、有動力驅動旋翼減速至穩定懸浮等階段，并結合算例進行數值分析得到最佳的驅動方式和驅動力矩。

1 概述

1.1 彈道特性

根據懸浮子彈的工作過程將懸浮子彈的彈道分為4個階段，如圖1所示。懸浮子彈經母彈開艙自由下落段（Ⅰ），減速減旋段（Ⅱ）可分為兩種方式:開翼立即驅動至穩定懸浮（Ⅱ-a）;先開翼無動力驅動慣性下降（Ⅱ-b1）再有動力驅動至穩定（Ⅱ-b2），穩定懸浮段（Ⅲ），有翼慣性下降無動力驅動段（Ⅳ）。并將開始有動力驅使至穩定懸浮的時間稱為過渡時間，即Ⅱ-a和Ⅱ-b2段所用時間。懸浮子彈經過渡段到達穩定懸浮（Ⅲ）構筑防御屏障，這也正是其與普通子母彈的最大區別。

圖1 彈道特性示意圖

1.2 結構特性

懸浮子彈由旋翼、驅動裝置和彈體三部分組成，如圖2所示。旋翼與驅動裝置之間以及驅動裝置與彈體之間的連接分別稱作軸承1和軸承2。為了使彈體更好的減旋，下文中會在某一彈道階段采取旋翼與驅動裝置、驅動裝置與彈體固結在一起的形式（即不產生相對轉動），分別稱作軸承1、2固聯，不固結在一起稱作軸承自由（不固聯）。由于驅動裝置與彈體之間的轉速不同，將驅動裝置與彈體分別看作剛體1和剛體2采用兩剛體建模能夠更好的模擬真實情況。

圖2 懸浮彈結構及坐標示意圖

2 旋翼下降過程動力學模型

2.1 旋翼展開后無動力驅動時力學模型

由于懸浮子彈從母彈拋出后有很高的迎面速度，產生相對翼片自下而上的相對氣流，其速度大于旋翼的誘導速度。相對氣流U自下而上斜向指向槳葉，葉素來流角為負值。因葉素所產生的升力Y與相對氣流合速度U垂直，所以葉素的升力Y向前傾斜，在旋轉面上的分力Qy指向前方，起拉著旋翼繼續旋轉的動力作用;而空氣阻力X形成的旋轉阻力Qx起阻止旋翼旋轉的作用。當旋翼各片槳葉的Qy和Qx取得平衡時，旋翼就能在自下而上的相對氣流作用下保持穩定自轉，如圖3所示。

葉素上的相對氣流速度U可表示為:

圖3 葉素在下降狀態下的受力分析

式中:UT、UP分別為槳葉剖面的切向速度和軸向速度;Ω、r為槳葉旋轉速度和槳葉剖面徑向位置;Vc、vi分別為旋翼漿盤迎流速度和與之對應的誘導速度，此時在高下降率的情況下，經典的動量理論不再成立［4］。

這樣，葉素上的升力Y和阻力X有:

式中:Cl、Cd為升力系數與阻力系數［5］。來流角ε和攻角α可分別表示為（向上為正），α=θ－ε，θ為葉片安裝角，c為槳葉當地弦長。則微元為拉力:

微元阻力矩:

因此，得出了懸浮子彈從母彈拋撒出后無動力驅動時展開旋翼，旋翼轉速的變化規律:

式中:J為旋翼的轉動慣量;Mk為旋翼對驅動裝置的反作用力矩。直至Qy和Qx相等時，旋翼穩定自轉。將式（4）代入式（1）～式（3）便能得到無動力驅動時的升力T（t）。

2.2 旋翼有動力驅動時力學模型

旋翼開始有動力驅動時，輸入轉矩會給定一扭矩M。接下來分兩種情況:

1）Vc＞vi時，Qy和Qx的方向仍然相反，輸入力矩為了使旋翼加速，此時與Qy方向一致。旋翼的轉速隨時間變化:

隨著轉速與提升力的增加，懸浮子彈下降速度勢必會逐漸減小，直至出現Vc≤vi時，ε由負值變為正值，力矩方向隨之發生變化。

2）Vc≤vi時，Qy和Qx的方向相同，有:

至此，已經得到了完整的旋翼下降過程力學模型，接下來建立懸浮子彈剛體彈道模型。

3 懸浮子彈兩剛體外彈道模型

3.1 坐標系的建立與變換

首先建立地面慣性坐標系O-X0Y0Z0，原點O為懸浮彈子彈拋撒點的地面投影點，OX0軸水平沿射向，OZ0軸鉛直向上，OY0軸由右手法則確定;驅動裝置固連坐標系O1-X1Y1Z1，原點O1為驅動裝置質心，O1Z1在鉛直面內指向彈頂，O1Y1在鉛直面內垂直于O1Z1軸，O1X1由右手法則確定;彈體固連坐標系O2-X2Y2Z2，原點O2為彈體質心，各軸與O1-X1Y1Z1系平行;彈體基準坐標系O2-X0Y0Z0，原點O2為彈體質心，各軸與O-X0Y0Z0系平行。各坐標系如圖2所示。

坐標變換只需考慮兩組變換即可。O2-X0Y0Z0與O2-X2Y2Z2之間可由3個歐拉角:進動角ψ2，自轉角φ2，章動角θ2轉換而來，轉換矩陣用[ ]A 表示如下。O2-X2Y2Z2與 O1-X1Y1Z1之間只是坐標原點移動O2O1，故轉換矩陣同樣可用[]A 表示。另外有:[]A－1=[ ]AT。

3.2 運動方程的建立

通過對各剛體所受力、力矩的分析，將所有的力投影到 O-X0Y0Z0坐標系上，所有的力矩投影到O2-X2Y2Z2坐標系上得:

軸承1、2之間的關系得到方程:

式（8）、式（9）中:下標帶有 xi、yi、zi表示通過坐標變換投影到O-XiYiZi（i=0，1，2）坐標系中;m1和m2、A1和A2、C1和C2分別為驅動裝置剛體與彈體剛體的質量、赤道轉動慣量、極轉動慣量;L1和L2分別為O1D和O2D的距離;T為旋翼的拉力;R2為彈體所受的空氣動力，包括阻力Rx2、升力Ry2和馬格努斯力;M2為彈體所受的空氣動力矩，包括彈體的極阻尼力矩Mxz2，靜力矩Mz2，赤道阻尼力矩Mzz2

［6］;Mf1和Mf2分別為軸承 1、2的摩擦力矩，有:Mf=f0（vn）2/3d3m，dm為軸承平均直徑，f0為考慮軸承結構和潤滑方法的系數，n為軸承連接體之間相對轉速，v為潤滑劑的運動粘度;Mk為旋翼的反扭矩，由旋翼的力學模型中可得到。

3.3 四元數法替代歐拉角

歐拉角之間的關系:

由于歐拉角的表示方法在計算中容易出現奇點而停止運算，文中采用四元數法替代歐拉角［7］:

至此，已經得到了完整的旋翼下降過程力學模型和懸浮子彈剛體彈道模型，將旋翼力學模型中的T（t）、Mk代入彈道模型中便能得到懸浮彈的彈道軌跡。

4 初始參數

子彈出艙參數:母彈存速300 m/s，拋撒速度40 m/s，彈道傾角60°，子彈出艙轉速10 000 r/min，開艙高度1 000 m。

空氣密度 ρ=ρon（1 －2.19 ×10－5h）4.4016，其中 ρon=1.293 kg/m3為地面空氣密度，h為高度的變化。其他參數如表1所示。

表1 彈型與翼型相關參數

采用VB編寫仿真程序，以時間為自變量利用四階龍哥庫塔法對Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段彈道方程進行數值計算分析。

5 只開翼，不驅動分析

在給定的初值條件下，子彈從母彈拋出后，讓其自由下落，7.6 s便已落地，落地時的z方向速度（下稱落速）仍然有94.5 m/s，彈體轉速仍然有84.5 r/s。

圖4、圖5是3種固聯方式下高度和彈體轉速隨時間變化曲線。可以看出，固聯方式的不同對彈體減速效果以及落地時間差別并不大，但對彈體減旋的效果影響卻很大。

圖4 時間－高度 圖5 時間－彈體轉速

考慮到彈體一直處于高速旋轉狀態對結構的要求會更高，三種固聯方式對減速效果幾乎相同的情況下（落地時間分別為 19.03 s、19.66 s、19.76 s）采用軸承1、2都固聯相對于其他兩種方式在彈體減旋上效果更好。因此，綜合考慮此階段采用軸承1、2都固聯的方式是最佳的。

6 驅動旋翼分析

6.1 確定最佳驅動方式

由于此時旋翼已經驅動，軸承1必須自由。假定懸浮子彈在150 m必須進入穩定懸浮階段（落速小于10 m/s）。按照驅動方式的不同將其分為直接驅動（Ⅱ-a）和先開翼減速減旋一段時間再驅動（Ⅱ-b1+Ⅱ-b2）兩種方式。首先給定正好能夠克服懸浮子彈自身重力的驅動力矩，取M=0.056 N·m。

圖6是在軸承2不固聯情況下兩種驅動方式高度隨時間變化的對比。可以看出，Ⅱ-b的曲線全部在Ⅱ-a曲線之上，這說明先開翼后驅動的方式能夠滯空的時間更長一些;圖7是彈體轉速隨時間的變化曲線，顯然先開翼后驅動的方式對彈體的減旋效果比較好，而且對比2軸承的固聯方式可以看出，2不固聯的方式能夠在驅動旋翼以后彈體仍然保持減旋狀態，當2固聯時由于驅動旋翼以后旋翼的轉速大于彈體的轉速，致使它們之間的摩擦力矩仍會給彈體一個加速旋轉的作用。

圖6 時間－高度 圖7 時間－彈體轉速

綜合以上對比，采用先開翼減速減旋一段時間，此時1、2都固聯，然后再使1、2都不固聯驅動旋翼是最佳的驅動方式。此方式能夠更快的減速，彈體能夠更好的減旋，而且有更長的滯空時間。但是無論哪種驅動方式過渡時間都很長。因此，需要通過增大驅動力矩的方法來減少過渡時間。

6.2 確定最佳驅動力矩

由于需要懸浮子彈在一定的驅動能量下，更長時間的處于懸浮段才能更有效的構筑防御屏障。因此，通過增加驅動力矩的方法減小過渡時間是必要的。采取上述確定的最佳驅動方式，對比1.2M、1.4M、1.6M、1.8M、2.0M、2.2M（M 是克服自身重力所需要的驅動力矩，M=0.056 N·m）時的彈道模型。

表2是800 m開翼高度不同驅動力矩（M的倍數）下所用過渡時間表，圖8是過渡時間隨驅動力矩增大的變化曲線。

表2 800 m開翼不同驅動力矩下過渡時間（s）

圖8 驅動力矩倍數－過渡時間

可以看出，雖然隨著驅動力矩的增加過渡時間在減小，但屬于一個慢慢進入平緩的過程，在1.8倍之后基本進入水平階段。然而在一定能量的情況下，驅動力矩越大能夠驅動的時間也就越短。另外，懸浮彈在以大于M的驅動力矩減速到達懸浮段后必須有一個減小驅動力矩至M的過程，否則懸浮子彈會繼續上升。越大的驅動力矩減小至M對結構的要求也會越困難。綜合考慮過渡時間、一定能量下能夠產生的驅動時間以及對結構的要求，選取1.4～1.8M之間驅動減速是最合適的。

7 結論

1）懸浮子彈在展開旋翼未驅動的情況下比自由下落子彈能夠延長11.5 s左右落地，此時的最佳開翼方式是軸承1、2都固聯的方式。

2）給出了懸浮子彈的最佳驅動方式是:先軸承1、2都固聯減速一段時間再軸承1、2都不固聯驅動旋翼。此驅動方式能夠更快的減速，彈體能夠更好的減旋而且有更長的滯空時間。

3）給出最佳的驅動力矩是剛好能夠克服自身重力所需力矩的1.4～1.8倍之間，此時的過渡時間在4.5 ～6.5 s之間。

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