彈道導彈再入段跟蹤制導算法研究*

侯煜博，沈曉峰，李思思

（電子科技大學電子工程學院，成都 611731）

0 引言

彈道導彈（tactical ballistic missile，TBM）作為現代戰爭中威力極強的進攻性武器，具有射程遠、精度高、速度快、殺傷力大、突防能力強等特點，給導彈防御提出了嚴峻的挑戰。穩定的跟蹤和精確的制導是導彈攔截成功的關鍵，是導彈防御雷達的核心任務。

由于導彈末段高速機動的特性，傳統的勻速（CV）、勻加速（CA）模型在濾波過程中會產生較大誤差。文中針對再入大氣層的來襲導彈目標，通過分析其運動規律，從解析導彈運動方程入手，在東北天（East-North-Up，ENU）坐標系下建立目標狀態方程，應用擴展卡爾曼（extended Kalman filter，EKF）濾波，對目標進行跟蹤。

在給定來襲目標運動規律、攔截彈飛行速度規律和具體導引方法的條件下，可以確定出將兩者視作質點時導彈飛向目標的理想運動學彈道。許多文獻僅在二維情況下或三維情況下目標做勻速直線運動時給出推導［1－3］，文中將針對導彈的標準彈道軌跡給出三維制導圖。

1 彈道軌跡生成

1.1 目標受力模型

TBM再入大氣層后，主要受到重力和空氣阻力作用，阻力影響通常超過重力，因此可以采用簡潔的平方反比重力加速度模型代替橢球地球重力加速度模型，重力產生的加速度為:

空氣阻力引起的加速度為:

標準大氣參數公式可以參照文獻［5］。為給后續雅克比矩陣求解帶來方便，文中利用指數函數來近似擬合。圖1為在ρ（h）= ρ0e－κh條件下的擬合結果與標準結果的對比圖，其中ρ0和κ均為已知常數。由圖可以看出擬合效果較為準確，最大偏差為0.0269kg/m3。

圖1 大氣密度函數精確值與擬合值的對比

1.2 彈道生成

仿真生成彈道軌跡是進行跟蹤與制導的基礎，根據受力模型，利用龍哥庫塔積分目標動力學微分方程組的方式可以得到再入段導彈的彈道軌跡。

設計一條再入角度為39°的標準彈道，圖2為彈道軌跡仿真圖，圖3為彈道參數。

圖2 導彈再入段的彈道軌跡

2 跟蹤算法

擴展卡爾曼濾波是最通用的非線性濾波方法，在確定了目標的狀態方程與量測方程及其對應的雅克比矩陣后，即可應用EKF算法進行濾波。EKF算法流程可以參考文獻［6］。根據受力模型推導出目標的狀態方程和量測方程及其對應的雅克比矩陣是EKF濾波算法的關鍵。

圖3 彈道參數

2.1 目標狀態方程

當TBM再入大氣層后（距海平面約91km以內），由式（1）、式（2）可知其加速度表達式為:

在采樣間隔T下目標離散化的狀態方程［7］為:

狀態噪聲w（k）為零均值白噪聲序列，其方差為Q（k）。

2.2 目標量測方程

由于量測信息來自雷達站球坐標系，所以量測方程是非線性的，其表達式為:

量測噪聲ω（k）的方差矩陣R（k）由雷達具體的距離、方位角、俯仰角測量誤差確定。

量測方程的雅克比矩陣為:

在確定了上述狀態方程與量測方程及其相應的雅可比矩陣后，即可應用EKF進行濾波。

3 比例導引制導

假定在上述濾波過程中已獲得來襲目標的運動規律且攔截彈的速度變化規律已知，如何將導彈引向目標便是制導規律所要完成的任務。比例導引法是一種最常用的、制導精度較高的制導規律。追蹤法、前置角法、平行接近法都可以看作是比例導引法的特殊情況。

比例導引法是指攔截彈飛行過程中速度矢量Vm的轉動角速度dθm/dt與導彈、目標連線的旋轉角速度dq/dt成比例的導引方法［9］。圖4與圖5分別為導彈與目標相對位置和比例導引示意圖。

圖4 導彈、目標相對位置

圖5 比例導引示意圖

圖中 Mk－1、Mk、Tk－1、Tk分別為 k － 1時刻、k時刻導彈位置和k－1時刻、k時刻目標位置。A為Mk－1Mk與 Tk－1Tk交點，MkB 平行于 Mk－1Tk－1。

設 xt、yt、zt表示目標坐標，任意時刻的 xt、yt、zt已知。算法流程如下:

k－1時刻導彈與目標的距離:

k－1時刻目標速度矢量與導彈、目標連線的夾角:

k時刻導彈、目標連線與基準線夾角增量:為k－1時刻導彈與k時刻目標之間距離，st=vt（k－1）·Δt，即在Δt內將目標視為做勻速直線運動。

比例導引法的差分方程為:

利用余弦定理求得:

設xA、yA、zA表示A點坐標，xm、ym、zm表示導彈坐標，由幾何關系知:

其中sm=vm（k－1）·Δt，即在Δt內將導彈視為做勻速直線運動。在獲得k時刻的導彈坐標后即可更新r（k）進行下一次循環。必要時還要利用c3對dq進行校正。

4 仿真分析

4.1 跟蹤濾波結果

假定雷達在跟蹤再入段時的量測標準差為:σR=10m，σA= σE=1mrad。跟蹤數據率設定為100Hz。采用兩點法初始化狀態變量，初始協方差可以參考文獻［10］。在濾波過程中，狀態噪聲為設計參數，文中采用分段噪聲，先利用較大噪聲使算法快速收斂，再采用較小噪聲降低濾波誤差。對目標的跟蹤精度采用均方根誤差（RMSE）作為判別標準［11］，設X^n（ ）k|k為k時刻第n次蒙特卡羅的狀態估計值，則:

對量測數據進行一次濾波，得到真實軌跡、量測點跡與濾波軌跡的結果見圖6。蒙特卡羅仿真500次得到均方根誤差結果如圖7。

圖6 導彈再入段的真實、量測、濾波軌跡

為方便對比，圖7中給出了針對上述相同軌跡應用CV模型的濾波結果。由圖可以看出算法濾波收斂速度較快，誤差較小且收斂后基本穩定。較CV模型濾波精度有較大提升。合理改變跟蹤數據率或雷達量測誤差，在不同的彈道模型下進行多次仿真比較，結果類似。

圖7 再入段濾波的位置RMSE誤差

4.2 制導結果

設定比例系數為K=5，導彈初始位置為坐標原點，速度恒定為 3000m/s，時間間隔 Δt=0.01s，導彈與目標之間相對距離小于60m時認為制導成功。獲得三維理想攔截彈彈道仿真圖見圖8，圖9為攔截彈的法向過載。

圖8 理想三維彈道仿真

圖9 攔截彈法向過載

5 結束語

文中針對再入大氣層的來襲導彈目標受力情況推導了ENU坐標系下目標運動加速度表達式，建立了混合坐標系下的目標狀態方程與量測方程，通過受力分析采用基于其特性的彈道模型進行濾波，給出了狀態估計與協方差矩陣的初始值計算方法，采用EKF濾波算法對目標進行跟蹤，為制導過程提供了來襲導彈的速度位置信息。利用比例導引制導律進行仿真得到三維制導圖。仿真結果表明，算法可以有效的對再入類導彈進行穩定的跟蹤和精確的制導。

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