高考數(shù)學(xué)必做客觀題——三角函數(shù)與三角恒等變換

車樹勤

1 三角函數(shù)的定義

（ ）必做1 閱讀下列命題：

①若點(diǎn)P（a，2a）（a≠0）為角α終邊上一點(diǎn)，則sinα= ；

②同時(shí)滿足sinα= ，cosα= 的角有且只有一個(gè)；

③設(shè)tanα= 且π<α< ，則sinα=- ；

④設(shè)cos（sinθ）·tan（cosθ）>0（θ為象限角），則θ在第一象限.

其中正確的命題為___________. （將正確的命題的序號(hào)填在橫線上）

精妙解法 ①中，當(dāng)α在第三象限時(shí)，sinα=- ，故①錯(cuò). ②中，同時(shí)滿足sinα= ，cosα= 的角為α=2kπ+ （k∈Z），不只有一個(gè)，故②錯(cuò). ③正確. ④θ可能在第一象限或第四象限，故④錯(cuò). 綜上所述填③.

極速突擊 三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點(diǎn)，則利用三角函數(shù)的定義，可求該角的正弦值、余弦值、正切值. 角擴(kuò)充到任意角后同三角函數(shù)值的角有無數(shù)個(gè). 能夠熟練記住三角函數(shù)在各個(gè)象限的符合.

誤點(diǎn)警示 當(dāng)一個(gè)點(diǎn)是一個(gè)角的終邊上的點(diǎn)，特別是當(dāng)該點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)一定要考慮該參數(shù)的正負(fù)情況.

（ ）必做2 已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸. 若角α的終邊過點(diǎn)P（- ，y），且sinα= y（y≠0），則cosα=__________，tanα=___________.

精妙解法 依題意，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為OP= ，所以sinα= = = y.

因?yàn)閥≠0，所以9+3y2=16. 所以y2= ，y=± . 所以點(diǎn)P在第二或第三象限.

當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，y= ，cosα= =- ，tanα=- ；

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，y=- ，cosα= =- ，tanα= .

極速突擊 直接利用三角函數(shù)的定義即可解題.

誤點(diǎn)警示 由于y可正可負(fù)，所以不能錯(cuò)誤地認(rèn)為y只是正數(shù)，點(diǎn)P可以在第二或第三象限，要分兩種情況討論.

金刊提醒

三角函數(shù)是用坐標(biāo)形式定義的，即設(shè)P（x，y）為角α上一點(diǎn)，記r= ≠0，則sinα= ，cosα= ，tanα= .

2 同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式

（ ）必做1 若sin -α= ，則cos +2α=________.

精妙解法 cos +2α=cosπ-2 -α=-cos2 -α= -1-2sin2 -α=-1+2sin2 -α= - .

極速突擊 條件角 -α與結(jié)論角 +2α之間存在這樣的關(guān)系：2 -α+ +2α=π，因此可通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求條件角的三角函數(shù)值.尋找條件角與結(jié)論角之間的關(guān)系是三角化簡求值中的常見題型，需要仔細(xì)分析，看它們之間是否存在互余、互補(bǔ)等關(guān)系，通過配湊，轉(zhuǎn)化為可用三角公式求解的形式.

（ ）必做2 已知α是第三象限角，且f（α）=

.

若cosα- = ，則f（α）=____.

精妙解法 f（α）= = -cosα；

因?yàn)閏osα- =-sinα= ，所以sinα=- ，cosα=- . 所以f（α）= .

極速突擊 先對(duì)f（α）及已知的值用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式就能算出結(jié)果.

誤點(diǎn)警示 已知某個(gè)三角函數(shù)值求其他同角三角函數(shù)的值時(shí)，題目中對(duì)角的范圍的限制，不能簡單地認(rèn)為其是正數(shù)或負(fù)數(shù)；在應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要細(xì)心，特別要注意正負(fù)號(hào)的區(qū)別.

金刊提醒

誘導(dǎo)公式是三角變換中的重要公式，角可統(tǒng)一表示為 ±α. 同時(shí)誘導(dǎo)公式可簡記為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，即當(dāng)k為奇（或偶）數(shù)時(shí)，角 ±α的三角函數(shù)值等于角α的余（或同）名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把角α看成銳角時(shí)，角 ±α的三角函數(shù)值的符號(hào). 在應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系sin2α+cos2α=1，tanα= 時(shí)一定要注意每個(gè)三角函數(shù)中的角為同一個(gè)角，可用來求值、化簡、證明等.

3 三角函數(shù)的圖象

（ ）必做1 已知函數(shù)y=sin2x- 的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象作兩次變換得到，第一次變換是針對(duì)函數(shù)y=sinx的圖象而言的，第二次變換是針對(duì)第一次變換所得圖象而言的. 現(xiàn)給出下列四個(gè)變換：

A. 圖象上所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位；

B. 圖象上所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位；

C. 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）；

D. 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變）.

請(qǐng)按順序?qū)懗鰞纱巫儞Q的代表字母：________. （只要填寫一組）

精妙解法 可以先平移再伸縮，即把圖象上所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變），即BD. 或者先伸縮再平移，即把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變），再把圖象上所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位，即DA.

極速突擊 對(duì)圖象作變換時(shí)要注意，橫坐標(biāo)的擴(kuò)大與縮小只與ω有關(guān)，與其他參量無關(guān). 圖象的左右平移應(yīng)先把ω提到括號(hào)外，然后根據(jù)加減號(hào)向相應(yīng)方向移動(dòng). 在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換. 變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.

誤點(diǎn)警示 變換的先后順序是易錯(cuò)點(diǎn).如果由y=sinx把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變），再把圖象上所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位，那就是錯(cuò)誤的，先伸縮了再平移一定要只是對(duì)x加減一個(gè)數(shù)，不包括x的系數(shù). 進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時(shí)，要注意無論進(jìn)行什么樣的變換都是變換變量本身.endprint

（ ）必做2 如圖1是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象的一段，由圖中條件，寫出該函數(shù)的解析式為___________.

圖1

精妙解法 由圖知A=5；由 = -π= ，得T=3π，所以ω= = ，此時(shí)y=5sin x+φ.

下面求初相φ.

法1（單調(diào)性法）：因?yàn)辄c(diǎn)（π，0）在遞減的那段曲線上，所以 +φ∈2kπ+ ，2kπ+ （k∈Z）.

由sin +φ=0得 +φ=2kπ+π（k∈Z），所以φ=2kπ+ （k∈Z）.

因?yàn)棣?π，所以φ= .

綜上所述，該函數(shù)的解析式為y=5sin x+ .

法2（最值點(diǎn)法）：將最高點(diǎn)坐標(biāo) ，5代入y=5sin x+φ，

得5sin x+φ=5，即sin +φ=1，所以 +φ=2kπ+ （k∈Z），所以φ=2kπ+ （k∈Z）.

又φ<π，所以φ= .

綜上所述，該函數(shù)的解析式為y=5sin x+ .

極速突擊 已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常將“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)代入求解，其中往往尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)- ，0作為突破口，要注意從圖象的升降情況出好找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置. “第五點(diǎn)”中的“第一點(diǎn)”（即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為ωx+φ=0；“第二點(diǎn)”（即圖象的“峰點(diǎn)”）為ωx+φ= ；“第三點(diǎn)”（即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為ωx+φ=π；“第四點(diǎn)”（即圖象的“谷點(diǎn)”）為ωx+φ= ；“第五點(diǎn)”為ωx+φ=2π.

誤點(diǎn)警示 在解法一中，“ +φ=2kπ+π（k∈Z）”是個(gè)易錯(cuò)點(diǎn). 如果寫成 +φ=2kπ（k∈Z），得φ=- ，則得到錯(cuò)誤的解析式. 如果圖象中指明了最值的坐標(biāo)，就最好選用最值的坐標(biāo)代入式子求解，因?yàn)樽钪挡淮嬖趫D象的走勢(shì)問題.

金刊提醒

對(duì)函數(shù)圖象平移問題要分三個(gè)過程完成：①左右平移；②針對(duì)x的伸縮變換；③上下平移. 解答中注意變換的倍數(shù)與平移的單位與函數(shù)解析式的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 對(duì)于根據(jù)平移后的解析式求平移前的解析式，實(shí)際上是逆向思維問題，解答時(shí)只需將問題“倒過來”求解即可，但要注意題中的關(guān)鍵詞“向左（右）、向上（下）、伸長（縮短）”就分別變成了“向右（左）、向下（上）、縮短（伸長）”. 由圖象求解析式y(tǒng)=Asin（ωx+φ）+k或由代數(shù)條件確定解析式時(shí)，應(yīng)注意：①振幅A= （ymax-ymin）；②相鄰兩個(gè)最值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)之差，或一個(gè)單調(diào)區(qū)間的長度為 T，由此推出ω的值；③確定φ值，一般將給定的特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式來確定.

三角函數(shù)的性質(zhì)

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx-cosx，有下列四個(gè)命題：

①將f（x）的圖象向右平移 個(gè)單位可得到g（x）的圖象；

②y=f（x）g（x）是偶函數(shù)；

③f（x）與g（x）均在- ， 上單調(diào)遞增；

④y= 的最小正周期為2π.

其中真命題是______________. （填序號(hào)）

精妙解法 f（x）= sinx+ ，g（x）=sinx-cosx= sinx- ，顯然①正確.

函數(shù)y=f（x）g（x）=sin2x-cos2x= -cos2x，其為偶函數(shù)，故②正確.

由0≤x+ ≤ 及- ≤x- ≤0都可得- ≤x≤ ，所以由圖象可判斷函數(shù)f（x）= sinx+ 和函數(shù)g（x）= sinx- 在- ， 上都為增函數(shù)，故③正確.

函數(shù)y= = = = -tanx+ ，易知其最小正周期為π，故④不正確. 答案：①②③.

極速突擊 首先要把f（x）與g（x）化為一個(gè)三角函數(shù)，才能實(shí)現(xiàn)平移變換；判斷奇偶性也要先化為一個(gè)三角函數(shù)；判斷三角函數(shù)的單調(diào)性可以根據(jù)圖象，也可以求單調(diào)區(qū)間；兩個(gè)函數(shù)相除，結(jié)合正切公式可以進(jìn)行變形化簡.

誤點(diǎn)警示 在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要注意變量x的系數(shù)的正負(fù)性；對(duì)于函數(shù)y=tanx，注意其最小正周期為π，而非2π.

（ ）必做2 函數(shù)f（x）=sin2x+2 cos +x+3的值域?yàn)開________.

精妙解法 原函數(shù)可化為f（x）=sin2x+2（cosx-sinx）+3，

設(shè)cosx-sinx=t，則t∈[- ， ].

于是2sinx·cosx=1-t2，即sin2x=1-t2，則f（x）=-t2+2t+4=-（t-1）2+5.

所以當(dāng)t=1時(shí)， f（x）max=5；當(dāng)t= - 時(shí)， f（x）min=2-2 .

極速突擊 若題中含有sinx·cosx，sinx±cosx的式子，則通常要用換元法. 這三個(gè)式子相通，知道其中的任意一個(gè)都能求出另外兩個(gè). 在換元時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍.

誤點(diǎn)警示 要注意換元后t的取值范圍，若忽視了t= sinx- ∈[- ， ]，則結(jié)果就會(huì)出錯(cuò).

若題中的x的取值范圍不是R，而是給定的一個(gè)取值范圍，則換元后的t的取值范圍就要相應(yīng)發(fā)生變化.

金刊提醒

三角函數(shù)的性質(zhì)的難點(diǎn)是與三角函數(shù)圖象相關(guān)的性質(zhì).要突破這一難點(diǎn)，就要牢固把握三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象在其對(duì)稱軸處取到最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值之間的距離為其函數(shù)的半個(gè)周期；函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱中心，相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離也是函數(shù)的半個(gè)周期；函數(shù)取最值的點(diǎn)與相鄰的x軸的交點(diǎn)之間的距離為函數(shù)的 個(gè)周期.endprint

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路：第一步，先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin（ωx+φ）+b的形式；第二步，把“ωx+φ”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求y=Asin（ωx+φ）+b的單調(diào)性、奇偶性、最值、對(duì)稱性等問題.

求三角函數(shù)式最值的方法：①將三角函數(shù)式化為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；②將三角函數(shù)式化為關(guān)于sinx，cosx的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

5 和差角公式運(yùn)算

（ ）必做1 若函數(shù)f（x）=（1+ tanx）cosx，0≤x< ，則f（x）的最大值為__________.

精妙解法 y=cosx+ sinx=2sinx+ ，因?yàn)?≤x< ，所以 ≤x+ < ，所以當(dāng)x+ = ，即x= 時(shí)，函數(shù)取得最大值為2.

極速突擊 公式y(tǒng)=asinx±bcosx= sin（x±θ）（a，b是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)）可以化簡函數(shù)表達(dá)式，解決三角函數(shù)問題時(shí)有重要的應(yīng)用.

（ ）必做2 已知0<α< <β<π，tan = ，cos（β-α）= . 則β=__________.

精妙解法 因?yàn)閠an = ，所以sinα=sin2× =2sin cos = = = = .

因?yàn)?<α< ，sinα= ，所以cosα= . 又0<α< <β<π，所以0<β-α<π，由cos（β-α）= ，得sin（β-α）= .

所以sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα= × + × = .

由 <β<π得β= . （或通過求cosβ=- ，得β= ）.

極速突擊 觀察已知角和所求角，可作出β=（β-α）+α的配湊角變換，然后利用正弦的差角公式求角.

將條件中的角拆成結(jié)論中的角，或?qū)⒁蟮慕遣鸪梢阎械慕牵@種方法是連接、溝通已知與結(jié)論的重要手段；當(dāng)角或三角函數(shù)可以分別進(jìn)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)處理時(shí)，若不能直接達(dá)到變換的要求，則可觀察各角之間的關(guān)系，借助誘導(dǎo)公式來完成，如 +α= - -α等.

解這類問題的一般步驟：

①求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；

②確定角的范圍；

③根據(jù)角的范圍寫出所求的角.

誤點(diǎn)警示 通過角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：

①若已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)；

②若已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0， ，選正、余弦皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦較好；若角的范圍為- ， ，選正弦較好.

（ ）必做3 已知0<β< <α< ，cos -α= ，sin +β= ，則sin（α+β）的值為_______.

精妙解法 由于cos -α=sinα+ = ， 又 <α+ <π，所以cosα+ =- .

因?yàn)閟in +β= ， <β+ <π，所以cos +β=- . 所以sin（α+β）=-sinα+ +β+ = -sinα+ cosβ+ +cosα+ ·sinβ+ = .

極速突擊 比較給出的角與待求式中角的關(guān)系，能發(fā)現(xiàn) +β- -α= +（α+β），當(dāng)然也可先將cos -α變化為sin +α，再考慮 +α+ +β=π+（α+β），接下來只需求出相應(yīng)角的正、余弦值，利用兩角和與差的三角公式求解即可.

誤點(diǎn)警示 在根據(jù)已知的三角函數(shù)值求未知的三角函數(shù)值時(shí)一定要先求角的范圍，只有根據(jù)這個(gè)范圍才能正確地求出三角函數(shù)值，這個(gè)過程一定不能省略.

金刊提醒

當(dāng)已知條件中的角與所求角不同時(shí)，需要通過“拆”“配”等方法實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，一般是尋求它們的和、差、倍、半關(guān)系，再通過三角變換得出所要求的結(jié)果.要善于逆用公式，即從右往左用公式，將單角往復(fù)角轉(zhuǎn)化.掌握常數(shù)三角化的運(yùn)用，如1=tan45°等，這對(duì)解決形如“ ”型的問題特別重要.若題目中出現(xiàn)tanα±tanβ和tanαtanβ的結(jié)構(gòu)，通常利用兩角和與差的正切公式的變形式解決問題：tanα±tanβ=tan（α±β）·（1？芎tanα·tanβ）.

倍角公式的運(yùn)算

（ ）必做1 已知cos -α= ，- <α<- ，則cos2α- =___________.

精妙解法 因?yàn)閏os2α- =2cos2 -α-1=2× -1=- .

又- <α- <- 且cos -α>0，所以- <α- <- ，

從而sinα- = ，sin2α- =2sinα- cosα- = ，所以cos2α- =cos2α- + = cos2α- -sin2α- = - .

極速突擊 觀察已知角和要求的角，發(fā)現(xiàn)它們之間不完全是二倍角的關(guān)系，所以用二倍角公式求解時(shí)還要進(jìn)行湊角；二倍角之后還差 ，再結(jié)合三角函數(shù)的和差公式進(jìn)行計(jì)算. 每次在求三角函數(shù)值時(shí)先要確定角的范圍.

二倍角公式常用的有：

變式1：sin2α=sin2α+ -cos2α+ =1-2cos2α+ =2sin2α+ -1；

變式2：cos2α=2sinα+ ·cosα+ =2sinα+ sin -α.

這兩個(gè)變式的形式與二倍角正、余弦形式恰相反，角度變?yōu)棣? .

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx，函數(shù)f（x）在- ， 上的值域?yàn)開________.

精妙解法 由已知，函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx=1+cos2x+ ·sin2x=2sin2x+ +1. 因?yàn)? ≤x≤ ，所以 - ≤2x+ ≤ π，- ≤sin2x+ ≤1，所以0≤2sin2x+ +1≤3. 所以函數(shù)f（x）在區(qū)間- ， 上的值域?yàn)閇0，3].

極速突擊 本題主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式.在不少的三角函數(shù)題的解答中，都要將有關(guān)三角公式逆用，這里是指運(yùn)用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.

誤點(diǎn)警示 本題中x的取值范圍是- ， ，如果給定x一個(gè)限制范圍，那么就要根據(jù)2x+ 的取值情況來確定sin2x+ 的取值范圍.

金刊提醒

（1）二倍角的余弦公式及其變形公式在求值、化簡、證明中有著廣泛的應(yīng)用，如1+cosα=2cos2 ，1-cosα=2sin2 經(jīng)常用于消除式子中的“1”. （2）熟悉右邊化為左邊的應(yīng)用，如sin3αcos3α= sin6α，2sin cos =sin 等；（3）公式cos2α= ，sin2α= ，tan2α= 的本質(zhì)是用二倍角的余弦表示單角α的三角函數(shù)的平方，這組公式稱為降冪公式，把1-cos2α=2sin2α，1+cos2α=2cos2α稱為升冪公式，這兩個(gè)公式可實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的降冪或升冪的轉(zhuǎn)化，同時(shí)可以完成角的形式的轉(zhuǎn)化.endprint

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路：第一步，先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin（ωx+φ）+b的形式；第二步，把“ωx+φ”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求y=Asin（ωx+φ）+b的單調(diào)性、奇偶性、最值、對(duì)稱性等問題.

求三角函數(shù)式最值的方法：①將三角函數(shù)式化為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；②將三角函數(shù)式化為關(guān)于sinx，cosx的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

5 和差角公式運(yùn)算

（ ）必做1 若函數(shù)f（x）=（1+ tanx）cosx，0≤x< ，則f（x）的最大值為__________.

精妙解法 y=cosx+ sinx=2sinx+ ，因?yàn)?≤x< ，所以 ≤x+ < ，所以當(dāng)x+ = ，即x= 時(shí)，函數(shù)取得最大值為2.

極速突擊 公式y(tǒng)=asinx±bcosx= sin（x±θ）（a，b是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)）可以化簡函數(shù)表達(dá)式，解決三角函數(shù)問題時(shí)有重要的應(yīng)用.

（ ）必做2 已知0<α< <β<π，tan = ，cos（β-α）= . 則β=__________.

精妙解法 因?yàn)閠an = ，所以sinα=sin2× =2sin cos = = = = .

因?yàn)?<α< ，sinα= ，所以cosα= . 又0<α< <β<π，所以0<β-α<π，由cos（β-α）= ，得sin（β-α）= .

所以sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα= × + × = .

由 <β<π得β= . （或通過求cosβ=- ，得β= ）.

極速突擊 觀察已知角和所求角，可作出β=（β-α）+α的配湊角變換，然后利用正弦的差角公式求角.

將條件中的角拆成結(jié)論中的角，或?qū)⒁蟮慕遣鸪梢阎械慕牵@種方法是連接、溝通已知與結(jié)論的重要手段；當(dāng)角或三角函數(shù)可以分別進(jìn)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)處理時(shí)，若不能直接達(dá)到變換的要求，則可觀察各角之間的關(guān)系，借助誘導(dǎo)公式來完成，如 +α= - -α等.

解這類問題的一般步驟：

①求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；

②確定角的范圍；

③根據(jù)角的范圍寫出所求的角.

誤點(diǎn)警示 通過角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：

①若已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)；

②若已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0， ，選正、余弦皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦較好；若角的范圍為- ， ，選正弦較好.

（ ）必做3 已知0<β< <α< ，cos -α= ，sin +β= ，則sin（α+β）的值為_______.

精妙解法 由于cos -α=sinα+ = ， 又 <α+ <π，所以cosα+ =- .

因?yàn)閟in +β= ， <β+ <π，所以cos +β=- . 所以sin（α+β）=-sinα+ +β+ = -sinα+ cosβ+ +cosα+ ·sinβ+ = .

極速突擊 比較給出的角與待求式中角的關(guān)系，能發(fā)現(xiàn) +β- -α= +（α+β），當(dāng)然也可先將cos -α變化為sin +α，再考慮 +α+ +β=π+（α+β），接下來只需求出相應(yīng)角的正、余弦值，利用兩角和與差的三角公式求解即可.

誤點(diǎn)警示 在根據(jù)已知的三角函數(shù)值求未知的三角函數(shù)值時(shí)一定要先求角的范圍，只有根據(jù)這個(gè)范圍才能正確地求出三角函數(shù)值，這個(gè)過程一定不能省略.

金刊提醒

當(dāng)已知條件中的角與所求角不同時(shí)，需要通過“拆”“配”等方法實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，一般是尋求它們的和、差、倍、半關(guān)系，再通過三角變換得出所要求的結(jié)果.要善于逆用公式，即從右往左用公式，將單角往復(fù)角轉(zhuǎn)化.掌握常數(shù)三角化的運(yùn)用，如1=tan45°等，這對(duì)解決形如“ ”型的問題特別重要.若題目中出現(xiàn)tanα±tanβ和tanαtanβ的結(jié)構(gòu)，通常利用兩角和與差的正切公式的變形式解決問題：tanα±tanβ=tan（α±β）·（1？芎tanα·tanβ）.

倍角公式的運(yùn)算

（ ）必做1 已知cos -α= ，- <α<- ，則cos2α- =___________.

精妙解法 因?yàn)閏os2α- =2cos2 -α-1=2× -1=- .

又- <α- <- 且cos -α>0，所以- <α- <- ，

從而sinα- = ，sin2α- =2sinα- cosα- = ，所以cos2α- =cos2α- + = cos2α- -sin2α- = - .

極速突擊 觀察已知角和要求的角，發(fā)現(xiàn)它們之間不完全是二倍角的關(guān)系，所以用二倍角公式求解時(shí)還要進(jìn)行湊角；二倍角之后還差 ，再結(jié)合三角函數(shù)的和差公式進(jìn)行計(jì)算. 每次在求三角函數(shù)值時(shí)先要確定角的范圍.

二倍角公式常用的有：

變式1：sin2α=sin2α+ -cos2α+ =1-2cos2α+ =2sin2α+ -1；

變式2：cos2α=2sinα+ ·cosα+ =2sinα+ sin -α.

這兩個(gè)變式的形式與二倍角正、余弦形式恰相反，角度變?yōu)棣? .

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx，函數(shù)f（x）在- ， 上的值域?yàn)開________.

精妙解法 由已知，函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx=1+cos2x+ ·sin2x=2sin2x+ +1. 因?yàn)? ≤x≤ ，所以 - ≤2x+ ≤ π，- ≤sin2x+ ≤1，所以0≤2sin2x+ +1≤3. 所以函數(shù)f（x）在區(qū)間- ， 上的值域?yàn)閇0，3].

極速突擊 本題主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式.在不少的三角函數(shù)題的解答中，都要將有關(guān)三角公式逆用，這里是指運(yùn)用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.

誤點(diǎn)警示 本題中x的取值范圍是- ， ，如果給定x一個(gè)限制范圍，那么就要根據(jù)2x+ 的取值情況來確定sin2x+ 的取值范圍.

金刊提醒

（1）二倍角的余弦公式及其變形公式在求值、化簡、證明中有著廣泛的應(yīng)用，如1+cosα=2cos2 ，1-cosα=2sin2 經(jīng)常用于消除式子中的“1”. （2）熟悉右邊化為左邊的應(yīng)用，如sin3αcos3α= sin6α，2sin cos =sin 等；（3）公式cos2α= ，sin2α= ，tan2α= 的本質(zhì)是用二倍角的余弦表示單角α的三角函數(shù)的平方，這組公式稱為降冪公式，把1-cos2α=2sin2α，1+cos2α=2cos2α稱為升冪公式，這兩個(gè)公式可實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的降冪或升冪的轉(zhuǎn)化，同時(shí)可以完成角的形式的轉(zhuǎn)化.endprint

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路：第一步，先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin（ωx+φ）+b的形式；第二步，把“ωx+φ”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求y=Asin（ωx+φ）+b的單調(diào)性、奇偶性、最值、對(duì)稱性等問題.

求三角函數(shù)式最值的方法：①將三角函數(shù)式化為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；②將三角函數(shù)式化為關(guān)于sinx，cosx的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

5 和差角公式運(yùn)算

（ ）必做1 若函數(shù)f（x）=（1+ tanx）cosx，0≤x< ，則f（x）的最大值為__________.

精妙解法 y=cosx+ sinx=2sinx+ ，因?yàn)?≤x< ，所以 ≤x+ < ，所以當(dāng)x+ = ，即x= 時(shí)，函數(shù)取得最大值為2.

極速突擊 公式y(tǒng)=asinx±bcosx= sin（x±θ）（a，b是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)）可以化簡函數(shù)表達(dá)式，解決三角函數(shù)問題時(shí)有重要的應(yīng)用.

（ ）必做2 已知0<α< <β<π，tan = ，cos（β-α）= . 則β=__________.

精妙解法 因?yàn)閠an = ，所以sinα=sin2× =2sin cos = = = = .

因?yàn)?<α< ，sinα= ，所以cosα= . 又0<α< <β<π，所以0<β-α<π，由cos（β-α）= ，得sin（β-α）= .

所以sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα= × + × = .

由 <β<π得β= . （或通過求cosβ=- ，得β= ）.

極速突擊 觀察已知角和所求角，可作出β=（β-α）+α的配湊角變換，然后利用正弦的差角公式求角.

將條件中的角拆成結(jié)論中的角，或?qū)⒁蟮慕遣鸪梢阎械慕牵@種方法是連接、溝通已知與結(jié)論的重要手段；當(dāng)角或三角函數(shù)可以分別進(jìn)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)處理時(shí)，若不能直接達(dá)到變換的要求，則可觀察各角之間的關(guān)系，借助誘導(dǎo)公式來完成，如 +α= - -α等.

解這類問題的一般步驟：

①求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；

②確定角的范圍；

③根據(jù)角的范圍寫出所求的角.

誤點(diǎn)警示 通過角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：

①若已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)；

②若已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0， ，選正、余弦皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦較好；若角的范圍為- ， ，選正弦較好.

（ ）必做3 已知0<β< <α< ，cos -α= ，sin +β= ，則sin（α+β）的值為_______.

精妙解法 由于cos -α=sinα+ = ， 又 <α+ <π，所以cosα+ =- .

因?yàn)閟in +β= ， <β+ <π，所以cos +β=- . 所以sin（α+β）=-sinα+ +β+ = -sinα+ cosβ+ +cosα+ ·sinβ+ = .

極速突擊 比較給出的角與待求式中角的關(guān)系，能發(fā)現(xiàn) +β- -α= +（α+β），當(dāng)然也可先將cos -α變化為sin +α，再考慮 +α+ +β=π+（α+β），接下來只需求出相應(yīng)角的正、余弦值，利用兩角和與差的三角公式求解即可.

誤點(diǎn)警示 在根據(jù)已知的三角函數(shù)值求未知的三角函數(shù)值時(shí)一定要先求角的范圍，只有根據(jù)這個(gè)范圍才能正確地求出三角函數(shù)值，這個(gè)過程一定不能省略.

金刊提醒

當(dāng)已知條件中的角與所求角不同時(shí)，需要通過“拆”“配”等方法實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，一般是尋求它們的和、差、倍、半關(guān)系，再通過三角變換得出所要求的結(jié)果.要善于逆用公式，即從右往左用公式，將單角往復(fù)角轉(zhuǎn)化.掌握常數(shù)三角化的運(yùn)用，如1=tan45°等，這對(duì)解決形如“ ”型的問題特別重要.若題目中出現(xiàn)tanα±tanβ和tanαtanβ的結(jié)構(gòu)，通常利用兩角和與差的正切公式的變形式解決問題：tanα±tanβ=tan（α±β）·（1？芎tanα·tanβ）.

倍角公式的運(yùn)算

（ ）必做1 已知cos -α= ，- <α<- ，則cos2α- =___________.

精妙解法 因?yàn)閏os2α- =2cos2 -α-1=2× -1=- .

又- <α- <- 且cos -α>0，所以- <α- <- ，

從而sinα- = ，sin2α- =2sinα- cosα- = ，所以cos2α- =cos2α- + = cos2α- -sin2α- = - .

極速突擊 觀察已知角和要求的角，發(fā)現(xiàn)它們之間不完全是二倍角的關(guān)系，所以用二倍角公式求解時(shí)還要進(jìn)行湊角；二倍角之后還差 ，再結(jié)合三角函數(shù)的和差公式進(jìn)行計(jì)算. 每次在求三角函數(shù)值時(shí)先要確定角的范圍.

二倍角公式常用的有：

變式1：sin2α=sin2α+ -cos2α+ =1-2cos2α+ =2sin2α+ -1；

變式2：cos2α=2sinα+ ·cosα+ =2sinα+ sin -α.

這兩個(gè)變式的形式與二倍角正、余弦形式恰相反，角度變?yōu)棣? .

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx，函數(shù)f（x）在- ， 上的值域?yàn)開________.

精妙解法 由已知，函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx=1+cos2x+ ·sin2x=2sin2x+ +1. 因?yàn)? ≤x≤ ，所以 - ≤2x+ ≤ π，- ≤sin2x+ ≤1，所以0≤2sin2x+ +1≤3. 所以函數(shù)f（x）在區(qū)間- ， 上的值域?yàn)閇0，3].

極速突擊 本題主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式.在不少的三角函數(shù)題的解答中，都要將有關(guān)三角公式逆用，這里是指運(yùn)用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.

誤點(diǎn)警示 本題中x的取值范圍是- ， ，如果給定x一個(gè)限制范圍，那么就要根據(jù)2x+ 的取值情況來確定sin2x+ 的取值范圍.

金刊提醒

（1）二倍角的余弦公式及其變形公式在求值、化簡、證明中有著廣泛的應(yīng)用，如1+cosα=2cos2 ，1-cosα=2sin2 經(jīng)常用于消除式子中的“1”. （2）熟悉右邊化為左邊的應(yīng)用，如sin3αcos3α= sin6α，2sin cos =sin 等；（3）公式cos2α= ，sin2α= ，tan2α= 的本質(zhì)是用二倍角的余弦表示單角α的三角函數(shù)的平方，這組公式稱為降冪公式，把1-cos2α=2sin2α，1+cos2α=2cos2α稱為升冪公式，這兩個(gè)公式可實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的降冪或升冪的轉(zhuǎn)化，同時(shí)可以完成角的形式的轉(zhuǎn)化.endprint