高考數學必做解答題——三角函數與三角恒等變換

張雪峰

1 三角函數的概念

（ ）必做1 如圖1，以Ox為始邊作角α與β（0<β<α<π），它們的終邊分別與單位圓相交于點P，Q，已知點P的坐標為- ， .

圖1

（1）求 的值；

（2）若 · =0，求sin（α+β）.

破解思路 （1）先根據三角函數的定義求出sinα，cosα，代入求三角函數式子的值.

（2）根據 · =0可得 ⊥ ，再結合β的取值范圍求出sinβ，cosβ的值，則sin（α+β）可求.

精妙解法 （1）由三角函數的定義得cosα=- ，sinα= ，

所以原式= = =2cos2α=2×- = .

（2）因為 · =0，所以 ⊥ ，所以α-β= ，所以β=α- .

所以sinβ=sinα- =-cosα= ，cosβ=cosα- =sinα= .

從而可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= × +- × = .

極速突擊 （1）三角函數的定義是求三角函數值的基本依據，如果已知角終邊上的點，則利用三角函數的定義，便可求該角的正弦值、余弦值、正切值.

（2）同角三角函數間的關系、誘導公式在三角函數式的化簡中起著舉足輕重的作用，應注意正確選擇公式、注意公式應用的條件.

2 三角函數的圖象與性質

（ ）必做1 已知函數f（x）=sinωxcosωx+ cos2ωx- （ω>0），直線x=x1，x=x2是函數y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且x1-x2的最小值為 .

（1）求f（x）的表達式；

（2）將函數f（x）的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+k=0在區間0， 上有且只有一個實數解，求實數k的取值范圍.？搖

破解思路 利用二倍角公式與和差公式可以對三角函數的解析式進行化簡，利用兩相鄰對稱軸的距離得到周期來求出ω. 在進行三角函數圖象變換時按照先平移再伸縮的步驟進行，得到新的函數y=g（x），由其與y=-k在0， 上的交點為一個，得到k的取值范圍.

精妙解法 （1）f（x）= sin2ωx+ · - = sin2ωx+ cos2ωx=sin2ωx+ .

由題意知，函數f（x）的最小正周期T=2× = ，T= = = ，所以ω=2. 所以f（x）=sin4x+ .

（2）將f（x）的圖象向右平移 個單位后，得到f（x）=sin4x- 的圖象；再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到f（x）=sin2x- 的圖象.

所以g（x）=sin2x- .

令2x- =t，因為0≤x≤ ，所以- ≤t≤ .

g（x）+k=0在區間0， 上有且只有一個實數解，即函數g（t）=sint與y=-k在區間- ， 上有且只有一個交點.

如圖1，由正弦函數的圖象可知 - ≤-k< 或-k=1.

圖1

所以-

極速突擊 本題的突破點就是能正確地化簡函數解析式，對和差公式、二倍角公式能夠熟練運用. 確定函數y=g（x）的解析式后，本題解法中利用了兩個數學思想——整體思想（設2x- =t，將2x- 視為一個整體）和數形結合思想，將原問題轉化為g（t）=sint與y=-k在區間- ， 上有且只有一個交點的實數k的取值范圍.

誤點警示 在進行圖象變換時一定要注意是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，兩者平移的單位是不一樣的.在利用函數的圖象解題時這里是轉化為y=-k，注意有一個負號，并且在三角函數圖象的最高點處也是一個交點，此處容易遺漏.

（ ）必做2 如圖2是一個纜車示意圖，該纜車的半徑為4.8米，圓上最低點與地面的距離為0.8米，且每60秒轉動一圈. 圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設點B與地面間的距離為h.

圖2

（1）求h與θ之間的函數關系式；

（2）設從OA開始轉動，經過t秒到達OB，求h與t之間的函數關系式，并求該纜車首次到達最高點時所用的時間.

破解思路 （1）當θ> 時可以把h分成三段求解，用同樣的方法求θ∈0， ， ， π， π，2π時的高度h，可以發現不管θ為多少時h與θ之間的函數關系式是一樣的. （2）在第（1）問的基礎上求h與t之間的函數關系式就是把θ用t來表示，根據角速度可得. 纜車首次到達最高點時所用的時間就是求三角函數取最大值時t的值.

精妙解法 （1）過點O作地面的平行線ON，過點B作ON的垂線BM交ON于點M（如圖2）.

當θ> 時，∠BOM=θ- ，h=OA+BM+0.8=5.6+4.8sinθ- ；當0≤θ≤ 時，h=OA+0.8-OM=5.6-4.8sin -θ=5.6+4.8sinθ- . 當 ≤θ< π或 π≤θ<2π時，上式也成立.

所以h與θ（θ∈[0，+∞））之間的函數關系式為h=5.6+4.8sinθ- .

（2）點A在圓上轉動的角速度是 弧度/秒，所以t秒轉過的弧度數為 t，所以h=5.6+4.8sin t- ，t∈[0，+∞）.

首次到達最高點時， h=10.4米，即sin t- =1， t- = ，即t=30秒時，該纜車首次到達最高點.

極速突擊 本題屬三角函數模型的應用，通常的解決方法：轉化為y=sinx，y=cosx等函數解決圖象、最值、單調性等問題，體現了化歸的思想方法. 用三角函數模型解決實際問題主要有兩種：一種是用已知的模型去分析解決實際問題，另一種是需要建立精確的或者用數據擬合的模型去解決問題，尤其是利用數據建立擬合函數解決實際問題，充分體現了新課標中“數學建?！钡谋举|.

金刊提醒

處理三角函數圖象問題，首先應弄清A，ω，φ的功能. 同學們應當掌握根據相應的三角函數解析式繪出相應曲線草圖并給出相應曲線特征的方法.

3 三角函數的和差倍角運算

（ ）必做1 已知函數f（x）=2cos cos -sin .

（1）設θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對函數解析式進行化簡，合為一個三角函數；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據第（1）問求出的角θ的值就是角C的值，應用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個關系式，再結合余弦定理可列出a，b的第二個關系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因為θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因為C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因為△ABC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設內角A，B的對邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個問題都是求三角函數的有關值，所以要求我們能根據公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運用兩角和與差的三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系、次數關系、三角函數名等. 抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數式中所具有的相似性的結構特征，從而聯想到相應的公式，找到解題的切入點. 對公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對函數解析式進行化簡，合并成一個三角函數，把得到的角看成一個整體求出其取值范圍，再求整個三角函數的值的范圍.根據給出的一個角的函數值可以求出角C的大小，對已知條件進行化簡把其中的兩個角轉化為用一個角來表示即可求出一個三角函數值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因為- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數f（x）在- ， 上的值域為[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因為0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因為2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因為B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數式的最值或值域；⑤化簡求值.三角函數中的求值問題通常要尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規技巧的運用；對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法解決.

金刊提醒

三角函數的圖象與性質的問題基本都是與三角函數的恒等變換結合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個角），從而簡化問題，更輕松解決問題.

三角函數的求值、化簡與證明的難點在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據三角函數的形式去選擇合適的求值、化簡與證明的方法. 突破這兩個難點的關鍵是：①要熟練靈活運用兩角和與差的三角函數公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數的求值、化簡與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數利用同角三角函數的基本關系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.

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處理三角函數圖象問題，首先應弄清A，ω，φ的功能. 同學們應當掌握根據相應的三角函數解析式繪出相應曲線草圖并給出相應曲線特征的方法.

3 三角函數的和差倍角運算

（ ）必做1 已知函數f（x）=2cos cos -sin .

（1）設θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對函數解析式進行化簡，合為一個三角函數；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據第（1）問求出的角θ的值就是角C的值，應用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個關系式，再結合余弦定理可列出a，b的第二個關系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因為θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因為C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因為△ABC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設內角A，B的對邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個問題都是求三角函數的有關值，所以要求我們能根據公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運用兩角和與差的三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系、次數關系、三角函數名等. 抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數式中所具有的相似性的結構特征，從而聯想到相應的公式，找到解題的切入點. 對公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對函數解析式進行化簡，合并成一個三角函數，把得到的角看成一個整體求出其取值范圍，再求整個三角函數的值的范圍.根據給出的一個角的函數值可以求出角C的大小，對已知條件進行化簡把其中的兩個角轉化為用一個角來表示即可求出一個三角函數值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因為- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數f（x）在- ， 上的值域為[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因為0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因為2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因為B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數式的最值或值域；⑤化簡求值.三角函數中的求值問題通常要尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規技巧的運用；對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法解決.

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三角函數的圖象與性質的問題基本都是與三角函數的恒等變換結合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個角），從而簡化問題，更輕松解決問題.

三角函數的求值、化簡與證明的難點在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據三角函數的形式去選擇合適的求值、化簡與證明的方法. 突破這兩個難點的關鍵是：①要熟練靈活運用兩角和與差的三角函數公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數的求值、化簡與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數利用同角三角函數的基本關系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.

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處理三角函數圖象問題，首先應弄清A，ω，φ的功能. 同學們應當掌握根據相應的三角函數解析式繪出相應曲線草圖并給出相應曲線特征的方法.

3 三角函數的和差倍角運算

（ ）必做1 已知函數f（x）=2cos cos -sin .

（1）設θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對函數解析式進行化簡，合為一個三角函數；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據第（1）問求出的角θ的值就是角C的值，應用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個關系式，再結合余弦定理可列出a，b的第二個關系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因為θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因為C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因為△ABC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設內角A，B的對邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個問題都是求三角函數的有關值，所以要求我們能根據公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運用兩角和與差的三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系、次數關系、三角函數名等. 抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數式中所具有的相似性的結構特征，從而聯想到相應的公式，找到解題的切入點. 對公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對函數解析式進行化簡，合并成一個三角函數，把得到的角看成一個整體求出其取值范圍，再求整個三角函數的值的范圍.根據給出的一個角的函數值可以求出角C的大小，對已知條件進行化簡把其中的兩個角轉化為用一個角來表示即可求出一個三角函數值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因為- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數f（x）在- ， 上的值域為[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因為0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因為2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因為B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數式的最值或值域；⑤化簡求值.三角函數中的求值問題通常要尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規技巧的運用；對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法解決.

金刊提醒

三角函數的圖象與性質的問題基本都是與三角函數的恒等變換結合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個角），從而簡化問題，更輕松解決問題.

三角函數的求值、化簡與證明的難點在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據三角函數的形式去選擇合適的求值、化簡與證明的方法. 突破這兩個難點的關鍵是：①要熟練靈活運用兩角和與差的三角函數公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數的求值、化簡與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數利用同角三角函數的基本關系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.