高考數學必做解答題——數列

吳文堯

1 等差、等比數列的綜合，數列求和

（ ）必做1 已知等差數列{an}的首項a1=2，a7=4a3，前n項和為Sn.

（1）求an及Sn.

（2）設bn= ，n∈N 鄢，求bn的最大值.

破解思路 對于第（1）問，等差數列問題通常以首項a1和公差d為基本量，由于已知a1的值，故只需把條件a7=4a3翻譯成關于d的方程，從而得到d的值；再利用等差數列的基本公式（通項公式及前n項和公式）求解即可. 對于第（2）問，由于an及Sn均可以表示為關于n的函數，所以bn必可以表示成關于n的函數，然后再設法求出這個函數的最大值.

精妙解法 （1）設公差為d，由題意知a1+6d=4（a1+2d），由a1=2，解得d= -3. 所以an=-3n+5，Sn= （n∈N 鄢）.

（2）由（1）得bn= = - n+ ，

由基本不等式得n+ ≥2 =8，所以bn= - n+ ≤ -12= . 又當n=4時，bn= ，從而bn的最大值為 .

（ ）必做2 已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2，a1=1.

（1）設bn=a -2an，求證：數列{bn}是等比數列；

（2）求數列{an}的通項公式及前n項和Sn.

破解思路 對于第（1）問，注意到試題給出的條件是關于S 和an之間的關系式，所以通常先把它化成關于數列{an}的遞推關系式，再化歸為關于數列{bn}的遞推關系式后，自然就瓜熟蒂落了. 第（2）問是求遞推數列的通項公式問題，通常的對策是化歸為等差或等比數列問題.

精妙解法 （1）因為S =4an+2 ①，所以S =4a +2 ②，由②式減①式得an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an，即an+2-2an+1=2（an+1-2an）. 由于bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn，由a1+a2=S2=4a1+2及a1=1可得a2=5，b1=a2-2a1=3. 所以數列{bn}是首項為3、公比為2的等比數列.

（2）由（1）可知，bn=3·2n-1， 即an+1-2an=3·2n-1，所以 - = ，故數列 是公差為 、首項為 的等差數列，所以 = （n-1）+ = （3n-1），即an=（3n-1）2n-2.

當n≥2時，Sn=4an-1+2=4（3n-4）2n-3+2=（3n-4）2n-1+2；

當n=1時，S1=a1=1，上式也成立.

所以 坌n∈N 鄢，Sn=（3n-4）2n-1+2.

極速突擊 本題本質上就是一個遞推數列的通項公式問題，事實上，第（1）問是給出一個解決問題的“臺階”，所以在解決有兩個或兩個以上小題的解答題時，特別要注意前后小題之間的聯系，順著命題者給出的“臺階”走，一般能到達“理想的彼岸”！若不注意前后問題的聯系，在得到通項公式an=（3n-1）2n-2后，發現數列{an}恰為一個等差數列和一個等比數列對應項的積，一般會用“錯位相減”的方法求解，如果這樣做，就把簡單問題復雜化了.

（ ）必做3 在等差數列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.

（1）求數列{an}的通項公式.

（2）設數列{xn}滿足xn=an·3n-1，求數列{xn}的前n項和Tn.

（3）對任意m∈N 鄢，將數列{an}中落入區間（9m，92m）內的項的個數記為bm，求數列{bm}的前m項和Sm. 設cn= ，記數列{cn}的前n項和為Un，求證：Un< 恒成立.

破解思路 第（1）問是等差數列的基本運算問題，其結論是解決后面問題的基礎，特別注意運算的準確性即可. 第（2）問的題型模式很明顯，{xn}是一個等差數列和一個等比數列對應項的乘積構成的數列，顯然可用“錯位相減”的方法解決. 第（3）問，首先要設法求出數列{bm}的通項公式，進而根據通項特點考慮求其前m項和Sm的解題對策，進而得到數列{cn}的通項公式，若再根據其通項特點，求出其前n項和Un，則水到渠成了.

精妙解法 （1）設等差數列{an}的公差為d，由a3+a4+a5=84可得a4=28，5d=a9-a4=45，d=9，所以an=a4+（n-4）d=9n-8.

（2）由題意可知，Tn=1×30+10×31+19×32+…+（9n-8）3n-1 ①，

3Tn=1×31+10×32+…+（9n-17）3n-1+（9n-8）3n ②.

由①式減②式得-2Tn=1+9（31+32+…+3n-1）-（9n-8）3n，

即-2Tn=1-（9n-8）3n+ ，所以Tn= n- 3n+ .

（3）9m

所以bm=92m-1-9m-1，Sm= bi= （92i-1-9i-1）= - = （9m+1-1）（9m-1）.

故cn= = =10 - ，

所以Un= ci= 10 - =10 - = - < ，即Un< 成立.

極速突擊 眾所周知，在應試中，最理想的做法是在解題前就能設計好一個完整的解題計劃，但有時“理想很豐滿，現實很骨感”，對于本題來說，要在下手前就有完整的計劃很不現實，所以只能選擇分層推進的辦法解決. 本題的主題是數列求和，即如何由數列的通項公式，得到數列的前n項和；數列求和的常用方法有：公式法、錯位相減法、裂項消去法、重新組合法等；能根據通項公式的特點，選擇合適的方法顯得非常重要.

金刊提醒

等差數列、等比數列是兩類最重要的數列基本模型，縱觀近幾年的各地高考數列問題，不外乎以下兩類：其一是直接考查等差、等比數列的基本知識；其二是考查由這兩類數列中所提煉出來的數學思想方法，如源于等差數列的求和消去法、源于等比數列的求積消去法等.對于數列求和問題，要過好以下兩關：第一關，掌握基本方法關，即掌握數列求和的幾種常用方法及解題步驟；第二關，選擇方法操作關，即能根據具體數列，選擇合適的方法解決之.

2 數列與不等式

（ ）必做1 在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論；

（2）證明： + +…+ < .

破解思路 （1）由試題類型及設問方式可聯想到應采用“試一試、猜一猜、證一證”的解題對策.

（2）求出數列的通項公式后，設法求出數列 的前n項和，然后再做適當的放大即可，若不易求出其前n項和，則可先做合理的放大，再求其和.

精妙解法 （1）由已知可得a1=2，b1=4及an+1=2bn-an，bn+1= 故a2=6=2×3，b2=9=32， a3=12=3×4，b3=16=42，a4=20=4×5，b4=25=52，可以猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2.用數學歸納法證明如下：

（i）當n=1時，結論顯然成立.

（ii）設當n=k時結論仍然成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2 成立，

所以ak+1=2bk-ak=2（k+1）2-k（k+1）=（k+1）[2（k+1）-k]=（k+1）（k+2），

bk+1= = =（k+2）2，所以當n=k+1時結論成立.

由（i）（ii）可知 坌n∈N 鄢時，結論成立. 所以an=n（n+1），bn=（n+1）2.

（2）由（1）知ak+bk=（k+1）（2k+1）>2（k+1）k（k=1，2，3，…，n），

= < + = + - = + - = - < ，所以原不等式成立. 搖

極速突擊 放縮法是解決數列求和型不等式問題的最常用的方法，在具體操作中一般有以下兩種方式：其一是先求和后放縮，這種方式適用于能求出其數列和的問題（如前面必做題3的最后一問）；其二是先放縮再求和，這種方式適用于不易求出其數列和的問題，如本題中，注意到數列 的前n項的和不容易求得，所以可對其通項做適當的放大，即對ak+bk做適當的縮小，得到容易求出其和的新數列. 放縮時還需要注意把握好放縮的度，本題若從第一項開始放大，則會放得過大，所以從第二項開始放大，通常情況下，放大（或縮小）的幅度往往是逐步變小的，從第幾項開始放大（或縮小）要視不等式的要求而定，如本題改為證明不等式 < ，則須從第3項開始放大.

（ ）必做2 設數列{an}滿足a1=0，an+1=ma +1-m，m∈N 鄢，其中m為實數.

（1）當0

（2）當0

①an>1-（3m）n-1；

②a +a +…+a >n+1- .

破解思路 第（1）問是一個有關自然數的命題，最常規的方法是用數學歸納法證明之.

對于第（2）問的第①題，注意到a1=0，只需證明1-an<（1-a1）（3m）n-1，所以可對數列{1-an}的通項進行合理的放縮，且其放縮的目標是公比為3m的等比數列，即1-ak+1≤3m（1-ak）；第②題的放縮目標顯然是要有利于求出其和，還需注意充分利用前面小題的結論.

精妙解法 （1）用數學歸納法證明如下：

（i）n=2時，因為a1=0，a2=ma +1-m=1-m，0

（ii）設n=k（k≥2）時，結論仍然成立，即0

00，g（1）=1.

又因為ak+1=g（ak）=ma +1-m，所以0

由（i）（ii）可知， 坌n∈N 鄢（n≥2）有0

（2）①當0

由（1）可知，k≥2時，0

所以1-ak+1=m（1-ak）（1+ak+a ）<（3m）（1-ak），

所以1-an<3m（1-an-1）<（3m）2（1-an-2）<…<（3m）n-1（1-a1）=（3m）n-1，即an≥1-（3m）n-1（n∈N 鄢）.

②由①可知，k≥2時，ak≥1-（3m）k-1>0，

所以a ≥[1-（3m）k-1]2=1-2（3m）k-1+（3m）2（k-1）>1-2（3m）k-1，

所以a +a +…+a =a +…+a >n-1-2[3m+（3m）2+…+（3m）n-1]=n+1- >n+1- .

極速突擊 在用放縮法證明數列不等式時，明確放縮的目標也很重要，若要證明的目標不等式是和的形式，則放縮的目標要有利于求其和；若要證明的目標不等式是積的形式，則放縮的目標要有利于求其積. 不管什么時候，若能把相關的數列不等式通過放縮化歸為等差數列和等比數列的問題，則必定是最完美的結果了.

金刊提醒

證明數列不等式通常有以下兩種方法可供選擇：其一是用數學歸納法證明之；其二是用放縮法證明之.

由于數學歸納法證題的套路相對容易掌握，所以若一個數列不等式能用數學歸納加以證明，則困難相對較小；在高考中具有挑戰性的有關數列不等式的問題通常只能選擇放縮法加以證明，在放縮中要注意以下幾種途徑和手段的應用：其一是先求和（或先求積），再放縮；其二是先放縮，再求和（或再求積）；其三是注意以等差（或等比）數列為放縮的目標；其四是注意利用基本不等式進行放縮.當然在放縮中還得注意放縮的“度”的把握，若發現放得過大（或縮得太小），則需及時進行調整和修改，由于通常情況下，放縮的誤差往往是由大到小，故首先可試一試，把放縮開始的項做適當的后移；若還不成功，則必修改、糾正各項放縮的偏差了.

3 數列與解析幾何

（ ）必做1 如圖1，已知曲線C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取線段OQ的中點A1，過A1作x軸的垂線交曲線C于P1，過P1作y軸的垂線交RQ于B1，記a1為矩形A1P1B1Q的面積. 分別取線段OA1，P1B1的中點A2，A3，過A2，A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2，P3，過P2，P3分別作y軸的垂線交A1P1，RB1于B2，B3，記a2為兩個矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推，記an為2n-1個矩形面積之和，從而得數列{an}，設這個數列的前n項和為Sn.

（1）求a1，a2與an； 搖 搖 搖

（2）求Sn，并證明Sn< .

破解思路 （1）若記：得到寬為 的21-1個矩形的作圖為第1次操作，得到寬為 的22-1個矩形的作圖為第2次操作，以此類推，得到寬為 的2n-1個矩形的作圖為第n次操作，則問題的關鍵即為如何求出這2n-1個矩形的長的總和，若能求出a2的值，則通過總結其運算規律并以此類推到第n次操作就不難求得an了.

（2）求出數列{an}的通項公式后，根據其通項公式的特點，選擇合理的方法先求出其前n項和，再做放縮即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 記x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，則x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作時，記x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，則xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 搖 - 搖 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 搖 .

因為對 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

極速突擊 由于本題的問題情景有點新意，乍一看好像有點“氣勢洶洶”，很有挑戰性，若能仔細審清題意，剝去問題的“過度包裝”，其實是一個比較常規的數列問題. 事實上，本題的本質是給出了一種用初等方法求由y=x2，x=1，x軸圍成的圖形的面積的一種方法.

（ ）必做2 在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1，l2，l3，…的直線簇，滿足條件：

①點P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），這里kn+1為直線ln+1的斜率，an，bn分別是直線ln在x軸和y軸上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），試證明你的結論.

破解思路 當kn確定時，直線ln也隨之確定，故an，bn也確定，即an，bn必可用kn表示，所以本題的本質其實是一個遞推數列問題，因此首先要得到數列{kn}的遞推關系，再根據數列{kn}的遞推關系式，選擇合理的解決辦法.

精妙解法 設這樣的直線簇存在，由題意可知：直線ln的方程為y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 時，kn+1<0，得矛盾.

（ii）對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以當n>k 時，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 滿足條件的無窮多條直線l1，l2，l3，…組成的直線簇不存在.

極速突擊 （1）對于數學中的存在性問題，其解題對策是：不管它存在與否，一定要從“美好的愿望”出發，就當做它是存在的，去尋找和探索其真實性. 若存在，則可以找到它；若不存在，則其尋找的過程就可以說明不存在的理由.

（2）對于本題，當得到遞推關系式kn+1-kn=- 后，若能把 放縮到某一個常數，即以等差數列作為放縮的目標，則問題就不難解決了.

金刊提醒

大多數有關數列與解析幾何的綜合問題，從試題的表面看好像是解析幾何問題，其實解析幾何往往只在試題的“包裝”中發揮作用，所以對于這類問題的關鍵是看清試題的本質，把問題化歸為有關數列的基本問題，然后再設法解決之.

金刊提醒

證明數列不等式通常有以下兩種方法可供選擇：其一是用數學歸納法證明之；其二是用放縮法證明之.

由于數學歸納法證題的套路相對容易掌握，所以若一個數列不等式能用數學歸納加以證明，則困難相對較小；在高考中具有挑戰性的有關數列不等式的問題通常只能選擇放縮法加以證明，在放縮中要注意以下幾種途徑和手段的應用：其一是先求和（或先求積），再放縮；其二是先放縮，再求和（或再求積）；其三是注意以等差（或等比）數列為放縮的目標；其四是注意利用基本不等式進行放縮.當然在放縮中還得注意放縮的“度”的把握，若發現放得過大（或縮得太小），則需及時進行調整和修改，由于通常情況下，放縮的誤差往往是由大到小，故首先可試一試，把放縮開始的項做適當的后移；若還不成功，則必修改、糾正各項放縮的偏差了.

3 數列與解析幾何

（ ）必做1 如圖1，已知曲線C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取線段OQ的中點A1，過A1作x軸的垂線交曲線C于P1，過P1作y軸的垂線交RQ于B1，記a1為矩形A1P1B1Q的面積. 分別取線段OA1，P1B1的中點A2，A3，過A2，A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2，P3，過P2，P3分別作y軸的垂線交A1P1，RB1于B2，B3，記a2為兩個矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推，記an為2n-1個矩形面積之和，從而得數列{an}，設這個數列的前n項和為Sn.

（1）求a1，a2與an； 搖 搖 搖

（2）求Sn，并證明Sn< .

破解思路 （1）若記：得到寬為 的21-1個矩形的作圖為第1次操作，得到寬為 的22-1個矩形的作圖為第2次操作，以此類推，得到寬為 的2n-1個矩形的作圖為第n次操作，則問題的關鍵即為如何求出這2n-1個矩形的長的總和，若能求出a2的值，則通過總結其運算規律并以此類推到第n次操作就不難求得an了.

（2）求出數列{an}的通項公式后，根據其通項公式的特點，選擇合理的方法先求出其前n項和，再做放縮即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 記x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，則x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作時，記x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，則xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 搖 - 搖 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 搖 .

因為對 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

極速突擊 由于本題的問題情景有點新意，乍一看好像有點“氣勢洶洶”，很有挑戰性，若能仔細審清題意，剝去問題的“過度包裝”，其實是一個比較常規的數列問題. 事實上，本題的本質是給出了一種用初等方法求由y=x2，x=1，x軸圍成的圖形的面積的一種方法.

（ ）必做2 在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1，l2，l3，…的直線簇，滿足條件：

①點P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），這里kn+1為直線ln+1的斜率，an，bn分別是直線ln在x軸和y軸上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），試證明你的結論.

破解思路 當kn確定時，直線ln也隨之確定，故an，bn也確定，即an，bn必可用kn表示，所以本題的本質其實是一個遞推數列問題，因此首先要得到數列{kn}的遞推關系，再根據數列{kn}的遞推關系式，選擇合理的解決辦法.

精妙解法 設這樣的直線簇存在，由題意可知：直線ln的方程為y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 時，kn+1<0，得矛盾.

（ii）對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以當n>k 時，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 滿足條件的無窮多條直線l1，l2，l3，…組成的直線簇不存在.

極速突擊 （1）對于數學中的存在性問題，其解題對策是：不管它存在與否，一定要從“美好的愿望”出發，就當做它是存在的，去尋找和探索其真實性. 若存在，則可以找到它；若不存在，則其尋找的過程就可以說明不存在的理由.

（2）對于本題，當得到遞推關系式kn+1-kn=- 后，若能把 放縮到某一個常數，即以等差數列作為放縮的目標，則問題就不難解決了.

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大多數有關數列與解析幾何的綜合問題，從試題的表面看好像是解析幾何問題，其實解析幾何往往只在試題的“包裝”中發揮作用，所以對于這類問題的關鍵是看清試題的本質，把問題化歸為有關數列的基本問題，然后再設法解決之.

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證明數列不等式通常有以下兩種方法可供選擇：其一是用數學歸納法證明之；其二是用放縮法證明之.

由于數學歸納法證題的套路相對容易掌握，所以若一個數列不等式能用數學歸納加以證明，則困難相對較小；在高考中具有挑戰性的有關數列不等式的問題通常只能選擇放縮法加以證明，在放縮中要注意以下幾種途徑和手段的應用：其一是先求和（或先求積），再放縮；其二是先放縮，再求和（或再求積）；其三是注意以等差（或等比）數列為放縮的目標；其四是注意利用基本不等式進行放縮.當然在放縮中還得注意放縮的“度”的把握，若發現放得過大（或縮得太小），則需及時進行調整和修改，由于通常情況下，放縮的誤差往往是由大到小，故首先可試一試，把放縮開始的項做適當的后移；若還不成功，則必修改、糾正各項放縮的偏差了.

3 數列與解析幾何

（ ）必做1 如圖1，已知曲線C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取線段OQ的中點A1，過A1作x軸的垂線交曲線C于P1，過P1作y軸的垂線交RQ于B1，記a1為矩形A1P1B1Q的面積. 分別取線段OA1，P1B1的中點A2，A3，過A2，A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2，P3，過P2，P3分別作y軸的垂線交A1P1，RB1于B2，B3，記a2為兩個矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推，記an為2n-1個矩形面積之和，從而得數列{an}，設這個數列的前n項和為Sn.

（1）求a1，a2與an； 搖 搖 搖

（2）求Sn，并證明Sn< .

破解思路 （1）若記：得到寬為 的21-1個矩形的作圖為第1次操作，得到寬為 的22-1個矩形的作圖為第2次操作，以此類推，得到寬為 的2n-1個矩形的作圖為第n次操作，則問題的關鍵即為如何求出這2n-1個矩形的長的總和，若能求出a2的值，則通過總結其運算規律并以此類推到第n次操作就不難求得an了.

（2）求出數列{an}的通項公式后，根據其通項公式的特點，選擇合理的方法先求出其前n項和，再做放縮即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 記x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，則x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作時，記x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，則xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 搖 - 搖 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 搖 .

因為對 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

極速突擊 由于本題的問題情景有點新意，乍一看好像有點“氣勢洶洶”，很有挑戰性，若能仔細審清題意，剝去問題的“過度包裝”，其實是一個比較常規的數列問題. 事實上，本題的本質是給出了一種用初等方法求由y=x2，x=1，x軸圍成的圖形的面積的一種方法.

（ ）必做2 在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1，l2，l3，…的直線簇，滿足條件：

①點P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），這里kn+1為直線ln+1的斜率，an，bn分別是直線ln在x軸和y軸上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），試證明你的結論.

破解思路 當kn確定時，直線ln也隨之確定，故an，bn也確定，即an，bn必可用kn表示，所以本題的本質其實是一個遞推數列問題，因此首先要得到數列{kn}的遞推關系，再根據數列{kn}的遞推關系式，選擇合理的解決辦法.

精妙解法 設這樣的直線簇存在，由題意可知：直線ln的方程為y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 時，kn+1<0，得矛盾.

（ii）對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以當n>k 時，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 滿足條件的無窮多條直線l1，l2，l3，…組成的直線簇不存在.

極速突擊 （1）對于數學中的存在性問題，其解題對策是：不管它存在與否，一定要從“美好的愿望”出發，就當做它是存在的，去尋找和探索其真實性. 若存在，則可以找到它；若不存在，則其尋找的過程就可以說明不存在的理由.

（2）對于本題，當得到遞推關系式kn+1-kn=- 后，若能把 放縮到某一個常數，即以等差數列作為放縮的目標，則問題就不難解決了.

金刊提醒

大多數有關數列與解析幾何的綜合問題，從試題的表面看好像是解析幾何問題，其實解析幾何往往只在試題的“包裝”中發揮作用，所以對于這類問題的關鍵是看清試題的本質，把問題化歸為有關數列的基本問題，然后再設法解決之.