關于“函數的幾何性質”的幾點說明

柴艷玲　李冬霞

摘 要： 函數的幾何性質，是從數形結合的角度研究的.由于多種教材概念的不統一，部分學生對概念把握不準，解題過程存在誤區.針對這種情況，本文對函數的幾何性質——單調性、有界性、奇偶性和周期性，做若干補充說明.

關鍵詞： 函數 單調性 有界性 奇偶性 周期性

函數，是高等數學的主要研究對象.函數的幾何性質，是從數形結合的角度研究的.從高中數學到高等數學的過渡，學生必然首先接觸函數及其性質.由于大學數學教材和中學數學教材面向的對象不同，對一些概念的敘述就存在一定的差別.對經歷過高考的大學生來說，其應該對這些概念有一個宏觀的把握，也可以結合“整體與局部”等哲學概念，對抽象的數學知識做一個概括的總結.而對高職高專的學生來講，在不影響正確解題的前提下，概念要盡量簡單、明了.

筆者根據多年的教學經驗，參考大多數高職高專類學生熟知的教材，選用比較科學的定義，對函數的四種幾何性質——單調性、有界性、奇偶性和周期性，做補充說明.

一、函數的單調性

定義1：設函數f（x）在區間I上有定義.對于I中的任意兩數x■，x■，當x■f（x■）），則稱函數f（x）在區間I上單調遞增（或遞減）.

1.單調性是函數在某個區間上的性質，是局部的.

這個區間可以是整個定義域，也可以是定義域內部的某個子區間.若函數f（x）在整個定義域D上都滿足x■f（x■）），則稱函數f（x）在定義域D上單調遞增（或遞減）.例如，f（x）=x■，在定義域（-∞，+∞）上都是單調增加的.

但是一般的函數在整個定義域上并不單調.此時，我們通常討論函數的單調區間，即函數在每個定義區間上的單調性.例如，f（x）=x■-3x，在區間（-∞，-1）和（1，+∞）內單調遞增，在區間（-1，1）內單調遞減，在整個定義域（-∞，+∞）上不單調.

中學數學中的常見題型是討論已知函數在某個區間上的單調性，而高等數學多是求已知函數的所有單調區間，討論函數在整個定義域上的單調性，通常利用導數法來求.

2.各單調區間不能寫成并集.

在用導數法求出函數的單調區間后，通常把幾個單調性一致的區間并列寫出來，用逗號或者“和”字連接，一般不能寫成并集.

例如，f（x）=x■-3x的單調遞增區間為（-∞，-1）和（1，+∞），不能寫成（-∞，-1）∪（1，+∞）.若不然，取x■=-■，x■=■∈（-∞，-1）∪（1，+∞），且x■f（x■），矛盾.

3.每個單調區間一般寫成開區間形式.

函數在某一點不具有單調性，在單調區間端點的取值、是否有定義，都不影響區間內部函數的單調性.

初等函數在各個定義區間內都是連續的，在端點處若有意義，必左連續（或右連續）.此時，單調區間可以隨之寫成閉的.

例如，f（x）=x■-3x的單調遞減區間（-1，1），可以寫成（-1，1]，[-1，1），或[-1，1].

對于某些非初等函數，例如，f（x）=x■，x≠0，1，x=0.在（-∞，0）內單調遞減，在（0，+∞）內單調遞增.雖然在x=0處有定義，但是兩個單調區間都不能包含端點.

為避免此類錯誤，在沒有嚴格要求的情況下，筆者建議單調區間統一寫成開區間.

4.單調區間不能寫成點的集合.

例如，f（x）=x■-3x的單調遞減區間（-1，1），不能寫成{x|-1

二、函數的有界性

定義2：設函數f（x）在區間I上有定義，如果存在正數M，對任意的x∈I，總有|f（x）|≤M，則稱函數f（x）在區間I上有界，并稱f（x）為區間I上的有界函數.否則，稱函數f（x）在區間I上無界.

有界性是函數在某區間上的性質.有些函數在整個定義域內有界，例如，f（x）=sinx在定義域（-∞，+∞）內滿足|sinx|≤1，是有界的.但有些函數只在某個區間內有界，例如，f（x）=e■在區間（-∞，0）內有界，但在定義域（-∞，+∞）內無界.一般來講，連續函數在閉區間上是有界的.

函數的無界性可以用有界性的逆否命題來刻畫，如下：

設函數f（x）在區間I上有定義，如果對任意的正數M，都存在一個x∈I，使得|f（x）|>M，則稱函數f（x）在區間I上無界.

函數的單調性和有界性是函數在某個定義區間上的性質，都是局部的性質.

三、函數的奇偶性

定義3：設函數f（x）的定義域D關于原點對稱.如果對任意一個x∈D，總有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），則稱函數f（x）為D上的偶函數（或奇函數）.否則，稱為非奇非偶函數.

這里的D是函數的定義域，有的教材也說“設函數f（x）在對稱區間D上有定義”，但這是不嚴謹的.因為有些函數的定義域只是一些離散的點的集合，并不能構成區間.

例如，函數y=■.

奇偶性是函數在整個定義域上的性質，是整體的.要求定義域D必須關于原點對稱，這是函數成為奇函數或偶函數的必要條件.否則，函數為非奇非偶函數.

四、函數的周期性

定義4：設函數f（x）在D上有定義，如果存在非零常數T，使得對任意一個x∈D，總有x+T∈D，并且f（x）=f（x+T），則稱f（x）為周期函數，T為這個函數的周期.若所有周期T中存在一個最小的正數，則稱它為最小正周期.

有些中學教材給出的定義中，要求T為正數，一般高等數學只要求為T非零常數，可正可負.由于中學與大學教材定義不一樣，對周期函數的定義域與周期理解就存在異議.按照一般大學數學教材，我們可以得到關于周期函數的結論：（1）定義域雙側無界.（2）周期T，有正周期必有負周期；有負周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期.此時周期函數的性質可變為：

（1）若T是f（x）的周期，則-T也是f（x）的周期；

（2）若T是f（x）的周期，則kT也是f（x）的周期，其中k是非零整數；

（3）若T■、T■是f（x）的周期，則T■+T■也是f（x）的周期；

（4）若T是f（x）的最小正周期，則f（x）的所有周期組成的集合為{t|t=kT，k∈Z，且k≠0}；

（5）若f（x）是周期函數，則f（x）的定義域一定是雙側無界的.

周期性是函數整個定義域上的性質，是整體的.這里要求定義域D必須是雙側無界的.在一般高職高專的數學教材中，所列周期函數都是三角函數.

奇偶性和周期性都是函數在整個定義域上的性質，是整體性質.

函數的單調性反映了函數圖像的走勢（上升或下降）；有界性體現的是函數值取值范圍的有限性；奇偶性反映了函數的對稱性（關于縱軸或者原點對稱）；周期性體現了函數的重復性.其中，單調性和有界性是函數在某個區間上的局部性質，而奇偶性和周期性則是函數在整個定義域上的整體特征.從宏觀上把握函數的幾何性質，有利于數學思維的形成，也能順利準確地解決一些實際問題.

參考文獻：

[1]羅朝舉.函數單調區間的求解誤區與處理建議[J].新教育，2013（2）.

[2]張明國.函數奇偶性若干問題探討[J].保山師專學報（自然科學版），1996.12，4（15）.

[3]王建國.淺談周明函數的定義域特征[J].中學教研，1990，5.

[4]李喆等.淺談周期函數兩種定義的不一致性[J].數學教學研究，1997.5（81）.

[5]吉米多維奇.數學分析習題集（一）[M].濟南：山東科技出版社，1980.

[6]劉嚴.新編高等數學（理工類）[M].大連：大連理工出版社，2012.

[7]羅國湘.經濟數學基礎[M].北京：高等教育出版社，2009.

鄭州城市職業學院教學改革重點項目“高職數學分層次教學的研究與實踐”（院科外〔2013〕6號）。