極限計算中的錯誤剖析

黃麗云

摘 要： 極限是研究函數的重要工具，也是高等數學中最基本的概念之一.極限計算是高等數學課程要求熟練掌握的一種運算.在極限計算中出錯，反映學生的思維缺乏思維的嚴謹性，通過分析和糾正這些錯誤，能幫助學生加深對極限理論的認識，提升其思維品質.

關鍵詞： 極限 計算方法 錯誤剖析

極限是研究函數的重要工具，也是高等數學中最基本的概念之一，極限計算是高等數學課程要求熟練掌握的一種運算，對于后續內容的學習具有重要意義.處于高等數學入門階段的學生，在計算極限時常常會出現各種錯誤，究其原因，一方面是由于學生對極限理論的嚴謹性不夠重視，另一方面是由于學生的思維品質有待進一步提升.數學教學應高度重視學生思維品質的培養，對學生在極限計算中的錯誤作分析和訂正，既幫助學生加深對極限理論的認識，又能夠提升其思維品質.

一、對極限概念理解不透徹導致混淆不同類型的函數極限

函數極限刻畫了自變量某個變化過程中對應函數的變化趨勢，因而計算函數極限，既要關注自變量的變化過程，又要關注函數的解析式.然而，部分學生在計算極限時，會忽略自變量的變化過程，只關注函數的結構特點選用方法.

例1：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=■=■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

學生錯用自變量趨于無窮大的極限計算方法，計算自變量趨于有限值的函數極限，并誤認為■■=0，■■=0.這表明學生對極限概念理解不透徹，不清楚函數極限所刻畫的函數變化趨勢是與自變量的變化過程相聯系的.教學中，可通過分析函數y=■的圖像，讓學生直觀地認識x→4和x→∞的函數極限，提醒學生在計算極限時注意自變量的變化過程，正確地選擇計算方法.

例2：計算■■.

錯誤解法：由重要極限，有■■=1.

正確解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到題目中的函數與重要極限■■=1中的函數相同，忽略了自變量的變化過程與公式不符，結果得出錯誤的答案.事實上，當x→∞時，sinx是有界函數，■是無窮小，根據有界函數與無窮小的乘積是無窮小，此題的極限是0.

極限概念體現了數學是一個嚴謹細致的學科，教師應該在數學教學中重視培養學生思維的嚴謹性.

二、對極限理論的認識不足導致主觀臆造公式

函數的有窮極限與函數的無窮極限，在性質上有所不同[1].當函數的極限為無窮大時，按照函數極限的定義，極限是不存在的.涉及無窮大的極限運算，其結果有多種情況，詳見文[1].由于學生對有窮極限與無窮極限的認識不足，會錯把有窮極限的運算性質搬到無窮極限的運算中.

1.臆造無窮極限的四則運算法則

極限的四則運算法則要求其中的每一個函數都存在極限，商式的分母極限不能為0，而對于無窮極限的四則運算，上述法則是不成立的.有的學生不加推理地把它們搬到無窮極限的運算中，臆造無窮極限的四則運算法則.

例3：計算■（■-■）.

錯誤解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正確解法：■（■-■）=■■=■■=1.

學生在無窮極限的運算中使用了函數極限的四則運算法則，并且主觀臆造了無窮極限的運算公式：∞-∞=0.教師在教學中有必要向學生強調無窮極限與有窮極限的不同，促使學生以嚴謹細致的態度分析問題，從而準確地計算極限.

2.臆造無限個函數的極限運算法則

關于和、差、積的極限運算法則，可以推廣到有限個函數的情形，部分學生仿照此法則臆造了無限個函數的極限運算法則.

例4：計算■（■+■+…+■）.

錯誤解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正確解法：因為■≤■+■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夾逼準則，有

■（■+■+…+■）=1.

對于無限個函數的和的極限，必須先把無限項的和轉化為有限項的情形，常用的轉化方法有利用數列的前n項和公式、夾逼準則等.教師應引導學生整理清楚相關的知識和方法，促使學生正確地運用公式和方法.

3.臆造冪指函數的極限公式

文[2]中給出了冪指函數的一個極限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必須是有限實數.若limu（x）=∞或limv（x）=∞，則limu（x）■是未定式，不能用上述法則.

例5：計算■（■）■.

錯誤解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正確解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

學生在未定式中錯用了冪指函數的極限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可見，分清有窮極限與無窮極限的運算性質，是正確運用公式和法則的前提保障.

三、對極限定理和公式的嚴謹性不夠重視導致錯用公式

與中學數學相比，高等數學更嚴謹深入，初學高等數學的學生，由于思維的嚴謹性不足，在運用定理或公式時，往往會忽略對其使用條件的判斷，或誤解定理、公式的結論.

1.忽略洛必達法則的條件判斷導致錯用公式

洛必達法則給出了■型未定式與■型未定式的極限計算法則，其只能用于未定式的極限計算，如果不符合條件也用法則，則必然導致計算錯誤.

例6[2]：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=■■=■■=1.

正確解法：■■=■■=■■=■.

在此例的錯誤解法中，連續三次使用了洛必達法則，事實上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必達法則，而應利用連續函數的性質計算極限.在用公式法則之前，應注意相關條件的判斷，才能避免犯這樣的錯誤.

2.對等價無窮小替換理解錯誤導致錯用公式

求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來替換，但若分子或分母是和式，就不能將和式中的某一項或某幾項用等價無窮小替換.

例7：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

當x→0時，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx與x-x不是等價無窮小，不能對分子中的每一項分別作替換，需要將分子改寫為乘積形式.當x→0時，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以將改造后的分子用x·■x■替換.由于學生不重視對公式的深入理解，因此不能正確判斷什么情況下可以替換，什么情況下不能替換，導致解題錯誤.教師在教學中應向學生分析透徹等價無窮小替換的原理，才能確保學生準確靈活地運用公式.

以上極限計算中出現的錯誤，反映出學生對極限概念、極限理論，以及公式法則理解不透徹，解題分析缺乏嚴謹性.一方面，教師在極限教學中重視學生思維品質的培養，有利于學生加深對極限的理解，靈活地掌握好極限的計算.另一方面，學生堅持以嚴謹認真的態度對待學習和解題，能夠進一步提升思維品質.

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧.數學分析講義（上冊）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint

摘 要： 極限是研究函數的重要工具，也是高等數學中最基本的概念之一.極限計算是高等數學課程要求熟練掌握的一種運算.在極限計算中出錯，反映學生的思維缺乏思維的嚴謹性，通過分析和糾正這些錯誤，能幫助學生加深對極限理論的認識，提升其思維品質.

關鍵詞： 極限 計算方法 錯誤剖析

極限是研究函數的重要工具，也是高等數學中最基本的概念之一，極限計算是高等數學課程要求熟練掌握的一種運算，對于后續內容的學習具有重要意義.處于高等數學入門階段的學生，在計算極限時常常會出現各種錯誤，究其原因，一方面是由于學生對極限理論的嚴謹性不夠重視，另一方面是由于學生的思維品質有待進一步提升.數學教學應高度重視學生思維品質的培養，對學生在極限計算中的錯誤作分析和訂正，既幫助學生加深對極限理論的認識，又能夠提升其思維品質.

一、對極限概念理解不透徹導致混淆不同類型的函數極限

函數極限刻畫了自變量某個變化過程中對應函數的變化趨勢，因而計算函數極限，既要關注自變量的變化過程，又要關注函數的解析式.然而，部分學生在計算極限時，會忽略自變量的變化過程，只關注函數的結構特點選用方法.

例1：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=■=■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

學生錯用自變量趨于無窮大的極限計算方法，計算自變量趨于有限值的函數極限，并誤認為■■=0，■■=0.這表明學生對極限概念理解不透徹，不清楚函數極限所刻畫的函數變化趨勢是與自變量的變化過程相聯系的.教學中，可通過分析函數y=■的圖像，讓學生直觀地認識x→4和x→∞的函數極限，提醒學生在計算極限時注意自變量的變化過程，正確地選擇計算方法.

例2：計算■■.

錯誤解法：由重要極限，有■■=1.

正確解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到題目中的函數與重要極限■■=1中的函數相同，忽略了自變量的變化過程與公式不符，結果得出錯誤的答案.事實上，當x→∞時，sinx是有界函數，■是無窮小，根據有界函數與無窮小的乘積是無窮小，此題的極限是0.

極限概念體現了數學是一個嚴謹細致的學科，教師應該在數學教學中重視培養學生思維的嚴謹性.

二、對極限理論的認識不足導致主觀臆造公式

函數的有窮極限與函數的無窮極限，在性質上有所不同[1].當函數的極限為無窮大時，按照函數極限的定義，極限是不存在的.涉及無窮大的極限運算，其結果有多種情況，詳見文[1].由于學生對有窮極限與無窮極限的認識不足，會錯把有窮極限的運算性質搬到無窮極限的運算中.

1.臆造無窮極限的四則運算法則

極限的四則運算法則要求其中的每一個函數都存在極限，商式的分母極限不能為0，而對于無窮極限的四則運算，上述法則是不成立的.有的學生不加推理地把它們搬到無窮極限的運算中，臆造無窮極限的四則運算法則.

例3：計算■（■-■）.

錯誤解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正確解法：■（■-■）=■■=■■=1.

學生在無窮極限的運算中使用了函數極限的四則運算法則，并且主觀臆造了無窮極限的運算公式：∞-∞=0.教師在教學中有必要向學生強調無窮極限與有窮極限的不同，促使學生以嚴謹細致的態度分析問題，從而準確地計算極限.

2.臆造無限個函數的極限運算法則

關于和、差、積的極限運算法則，可以推廣到有限個函數的情形，部分學生仿照此法則臆造了無限個函數的極限運算法則.

例4：計算■（■+■+…+■）.

錯誤解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正確解法：因為■≤■+■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夾逼準則，有

■（■+■+…+■）=1.

對于無限個函數的和的極限，必須先把無限項的和轉化為有限項的情形，常用的轉化方法有利用數列的前n項和公式、夾逼準則等.教師應引導學生整理清楚相關的知識和方法，促使學生正確地運用公式和方法.

3.臆造冪指函數的極限公式

文[2]中給出了冪指函數的一個極限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必須是有限實數.若limu（x）=∞或limv（x）=∞，則limu（x）■是未定式，不能用上述法則.

例5：計算■（■）■.

錯誤解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正確解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

學生在未定式中錯用了冪指函數的極限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可見，分清有窮極限與無窮極限的運算性質，是正確運用公式和法則的前提保障.

三、對極限定理和公式的嚴謹性不夠重視導致錯用公式

與中學數學相比，高等數學更嚴謹深入，初學高等數學的學生，由于思維的嚴謹性不足，在運用定理或公式時，往往會忽略對其使用條件的判斷，或誤解定理、公式的結論.

1.忽略洛必達法則的條件判斷導致錯用公式

洛必達法則給出了■型未定式與■型未定式的極限計算法則，其只能用于未定式的極限計算，如果不符合條件也用法則，則必然導致計算錯誤.

例6[2]：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=■■=■■=1.

正確解法：■■=■■=■■=■.

在此例的錯誤解法中，連續三次使用了洛必達法則，事實上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必達法則，而應利用連續函數的性質計算極限.在用公式法則之前，應注意相關條件的判斷，才能避免犯這樣的錯誤.

2.對等價無窮小替換理解錯誤導致錯用公式

求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來替換，但若分子或分母是和式，就不能將和式中的某一項或某幾項用等價無窮小替換.

例7：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

當x→0時，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx與x-x不是等價無窮小，不能對分子中的每一項分別作替換，需要將分子改寫為乘積形式.當x→0時，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以將改造后的分子用x·■x■替換.由于學生不重視對公式的深入理解，因此不能正確判斷什么情況下可以替換，什么情況下不能替換，導致解題錯誤.教師在教學中應向學生分析透徹等價無窮小替換的原理，才能確保學生準確靈活地運用公式.

以上極限計算中出現的錯誤，反映出學生對極限概念、極限理論，以及公式法則理解不透徹，解題分析缺乏嚴謹性.一方面，教師在極限教學中重視學生思維品質的培養，有利于學生加深對極限的理解，靈活地掌握好極限的計算.另一方面，學生堅持以嚴謹認真的態度對待學習和解題，能夠進一步提升思維品質.

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧.數學分析講義（上冊）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint

摘 要： 極限是研究函數的重要工具，也是高等數學中最基本的概念之一.極限計算是高等數學課程要求熟練掌握的一種運算.在極限計算中出錯，反映學生的思維缺乏思維的嚴謹性，通過分析和糾正這些錯誤，能幫助學生加深對極限理論的認識，提升其思維品質.

關鍵詞： 極限 計算方法 錯誤剖析

極限是研究函數的重要工具，也是高等數學中最基本的概念之一，極限計算是高等數學課程要求熟練掌握的一種運算，對于后續內容的學習具有重要意義.處于高等數學入門階段的學生，在計算極限時常常會出現各種錯誤，究其原因，一方面是由于學生對極限理論的嚴謹性不夠重視，另一方面是由于學生的思維品質有待進一步提升.數學教學應高度重視學生思維品質的培養，對學生在極限計算中的錯誤作分析和訂正，既幫助學生加深對極限理論的認識，又能夠提升其思維品質.

一、對極限概念理解不透徹導致混淆不同類型的函數極限

函數極限刻畫了自變量某個變化過程中對應函數的變化趨勢，因而計算函數極限，既要關注自變量的變化過程，又要關注函數的解析式.然而，部分學生在計算極限時，會忽略自變量的變化過程，只關注函數的結構特點選用方法.

例1：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=■=■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

學生錯用自變量趨于無窮大的極限計算方法，計算自變量趨于有限值的函數極限，并誤認為■■=0，■■=0.這表明學生對極限概念理解不透徹，不清楚函數極限所刻畫的函數變化趨勢是與自變量的變化過程相聯系的.教學中，可通過分析函數y=■的圖像，讓學生直觀地認識x→4和x→∞的函數極限，提醒學生在計算極限時注意自變量的變化過程，正確地選擇計算方法.

例2：計算■■.

錯誤解法：由重要極限，有■■=1.

正確解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到題目中的函數與重要極限■■=1中的函數相同，忽略了自變量的變化過程與公式不符，結果得出錯誤的答案.事實上，當x→∞時，sinx是有界函數，■是無窮小，根據有界函數與無窮小的乘積是無窮小，此題的極限是0.

極限概念體現了數學是一個嚴謹細致的學科，教師應該在數學教學中重視培養學生思維的嚴謹性.

二、對極限理論的認識不足導致主觀臆造公式

函數的有窮極限與函數的無窮極限，在性質上有所不同[1].當函數的極限為無窮大時，按照函數極限的定義，極限是不存在的.涉及無窮大的極限運算，其結果有多種情況，詳見文[1].由于學生對有窮極限與無窮極限的認識不足，會錯把有窮極限的運算性質搬到無窮極限的運算中.

1.臆造無窮極限的四則運算法則

極限的四則運算法則要求其中的每一個函數都存在極限，商式的分母極限不能為0，而對于無窮極限的四則運算，上述法則是不成立的.有的學生不加推理地把它們搬到無窮極限的運算中，臆造無窮極限的四則運算法則.

例3：計算■（■-■）.

錯誤解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正確解法：■（■-■）=■■=■■=1.

學生在無窮極限的運算中使用了函數極限的四則運算法則，并且主觀臆造了無窮極限的運算公式：∞-∞=0.教師在教學中有必要向學生強調無窮極限與有窮極限的不同，促使學生以嚴謹細致的態度分析問題，從而準確地計算極限.

2.臆造無限個函數的極限運算法則

關于和、差、積的極限運算法則，可以推廣到有限個函數的情形，部分學生仿照此法則臆造了無限個函數的極限運算法則.

例4：計算■（■+■+…+■）.

錯誤解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正確解法：因為■≤■+■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夾逼準則，有

■（■+■+…+■）=1.

對于無限個函數的和的極限，必須先把無限項的和轉化為有限項的情形，常用的轉化方法有利用數列的前n項和公式、夾逼準則等.教師應引導學生整理清楚相關的知識和方法，促使學生正確地運用公式和方法.

3.臆造冪指函數的極限公式

文[2]中給出了冪指函數的一個極限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必須是有限實數.若limu（x）=∞或limv（x）=∞，則limu（x）■是未定式，不能用上述法則.

例5：計算■（■）■.

錯誤解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正確解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

學生在未定式中錯用了冪指函數的極限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可見，分清有窮極限與無窮極限的運算性質，是正確運用公式和法則的前提保障.

三、對極限定理和公式的嚴謹性不夠重視導致錯用公式

與中學數學相比，高等數學更嚴謹深入，初學高等數學的學生，由于思維的嚴謹性不足，在運用定理或公式時，往往會忽略對其使用條件的判斷，或誤解定理、公式的結論.

1.忽略洛必達法則的條件判斷導致錯用公式

洛必達法則給出了■型未定式與■型未定式的極限計算法則，其只能用于未定式的極限計算，如果不符合條件也用法則，則必然導致計算錯誤.

例6[2]：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=■■=■■=1.

正確解法：■■=■■=■■=■.

在此例的錯誤解法中，連續三次使用了洛必達法則，事實上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必達法則，而應利用連續函數的性質計算極限.在用公式法則之前，應注意相關條件的判斷，才能避免犯這樣的錯誤.

2.對等價無窮小替換理解錯誤導致錯用公式

求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來替換，但若分子或分母是和式，就不能將和式中的某一項或某幾項用等價無窮小替換.

例7：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

當x→0時，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx與x-x不是等價無窮小，不能對分子中的每一項分別作替換，需要將分子改寫為乘積形式.當x→0時，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以將改造后的分子用x·■x■替換.由于學生不重視對公式的深入理解，因此不能正確判斷什么情況下可以替換，什么情況下不能替換，導致解題錯誤.教師在教學中應向學生分析透徹等價無窮小替換的原理，才能確保學生準確靈活地運用公式.

以上極限計算中出現的錯誤，反映出學生對極限概念、極限理論，以及公式法則理解不透徹，解題分析缺乏嚴謹性.一方面，教師在極限教學中重視學生思維品質的培養，有利于學生加深對極限的理解，靈活地掌握好極限的計算.另一方面，學生堅持以嚴謹認真的態度對待學習和解題，能夠進一步提升思維品質.

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧.數學分析講義（上冊）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint