極限理論在數學中的應用

王莎莎

摘 要： 本文闡述了極限思想的起源和發展，分析了極限思想的思維本質和哲學意義，研究了極限理論在微積分數學學科分支的應用，并給出了具體的例子.

關鍵詞： 起源 極限理論 應用 微積分

1.引言

極限理論是整個微積分的理論基礎，也是極限理論中的基本概念，對極限理論和極限概念理解和掌握，對以后的學習都會有很大的影響.極限理論是從初等數學到高等數學的重要轉折，極限概念描述的是變量在某一變化過程中的變化趨勢，是從有限到無限、近似到精確、量變到質變過程，與初等數學中的概念有很大的區別，但是如果能從數學的發展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過程，弄清極限概念的描述和邏輯表述形式，則對理解極限理論，掌握和應用極限概念，以及極限理論在數學，物理及其他學科的應用會起到很大的作用.

2.極限理論的起源[1]

極限的樸素思想和應用可追溯到古代，中國早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀劉徽創立的割圓術，就是用圓內接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想近似計算圓周率，并指出“割之彌細”“所失彌少”，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣，這就是早期的極限思想。到了17世紀，由于科學與技術上的要求促使數學家們研究運動與變化，包括量的變化與形的變換，還產生了函數概念和無窮小分析即現在的微積分，使數學從此進入了一個研究變量的新時代.到了17世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎上，分別從物理與幾何的不同思想基礎、不同研究方向，分別獨立地建立了微積分學.他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，極限概念被明確提出，但含糊不清.牛頓在發明微積分的時候，合理設想：越小，這個平均速度應當越接近物體在時刻時的瞬時速度.這一新的數學方法受到數學家和物理學家歡迎，并充分地運用它解決了大量過去無法問津的科技問題，因此，整個18世紀可以說是微積分的世紀.但由于它邏輯上的不完備也招來了哲學上的非難甚至嘲諷與攻擊貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念.實事求是地講，把瞬時速度說成是無窮小時間內所走的無窮小的距離之比，即“時間微分”與“距離微分”之比，是牛頓一個含糊不清的表述.其實，牛頓曾在著作中明確指出：所謂“最終的比”不是“最終的量”的比，而是比所趨近的極限.但他既沒有清除另一些模糊不清的陳述，又沒有嚴格界說極限的含義.包括萊布尼茲對微積分的最初發現，也沒有明確極限的意思.因而，牛頓及其后一百年間的數學家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊，這就是數學史上所謂第二次數學危機.經過近一個世紀的嘗試與醞釀，數學家們在嚴格化基礎上重建微積分的努力到19世紀初開始獲得成效.由于法國數學家柯西、德國數學家魏爾斯特拉等人的工作，以及實數理論的建立，才使極限理論建立在嚴密的理論基礎之上.至此極限理論才真正建立起來，微積分這門學科才得以嚴密化.

3.極限理論在數學中的應用

假設曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b.如圖1所示，曲線上動點M到漸近線的距離為

|MN|=|MPcosα|=|f（x）-（kx+b）|■.

按漸近線的定義，當x→∝時，|PN|→0，即有

■[f（x）-（kx+b）]=0，

或

■[f（x）-kx]=b（4.1）

又由

■[■-k]=■■[f（x）-kx]=0·b=0，

得到

■■=k.（4.2）

由上面的討論可知，若曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b，則常數k與b可由（4.1）式和（4.2）式確定；反之，若由（4.2）、（4.1）兩式求得k與b，則可知|PN|→0（x→+∝），從而y=kx+b為曲線y=f（x）的漸近線.

例1.求曲線f（x）=■的漸近線.

解由4.2式

■=■→1■

x→∝

得k=1.再由（4.1）式

f（x）-kx=■

x→∝

得b=-2.從而求得此曲線的斜漸近線方程為y=x-2，又由f（x）=■易見

■f（x）=∝，■f（x）=∝，

所以此曲線垂直漸近線x=-3和x=1.

4.結語

極限理論是微積分學的基本理論，極限概念是一個抽象的概念，比較難理解.根據Siepinska等人的研究認為：學生學習極限概念存在五類障礙：恐懼無限障礙，函數概念障礙，幾何障礙，邏輯障礙，以及與極限過程相關的符號化的障礙.而且，最嚴重的困難出現在從極限作為一個過程向極限作為一個數學對象并可進行運算的過渡中.這樣就需要在教學中使用適當的方法和手段，建立起高度抽象的、具有嚴密邏輯關系的數學概念.從數學發展史中了解極限思想、極限理論形成的過程，由具體的實例到極限的定性描述，再到極限的定量描述；由具體到抽象，由有限到無“ε-N”“ε-δ”定義有了清晰的、完整的理解.將抽象的字母“ε”，“N”，“δ”與“無限趨近”等聯系起來，這樣才能真正理解極限理論應用極限理論解決實際問題才能迎刃而解.如今數學分析已經成為一門重要的數學分支，對整個數學的面貌的改變作出了不可磨滅的貢獻.微積分作為一種重要的數學工具，已經滲透到科學的各個領域.作為微積分基石的極限理論也在隨著科學技術的發展而發展，極限理論為整個科學的發展提供了一個強大的工具.

參考文獻：

[1]郭書春.中國古代數學[M].商務印書館，2004：45-47.endprint

摘 要： 本文闡述了極限思想的起源和發展，分析了極限思想的思維本質和哲學意義，研究了極限理論在微積分數學學科分支的應用，并給出了具體的例子.

關鍵詞： 起源 極限理論 應用 微積分

1.引言

極限理論是整個微積分的理論基礎，也是極限理論中的基本概念，對極限理論和極限概念理解和掌握，對以后的學習都會有很大的影響.極限理論是從初等數學到高等數學的重要轉折，極限概念描述的是變量在某一變化過程中的變化趨勢，是從有限到無限、近似到精確、量變到質變過程，與初等數學中的概念有很大的區別，但是如果能從數學的發展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過程，弄清極限概念的描述和邏輯表述形式，則對理解極限理論，掌握和應用極限概念，以及極限理論在數學，物理及其他學科的應用會起到很大的作用.

2.極限理論的起源[1]

極限的樸素思想和應用可追溯到古代，中國早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀劉徽創立的割圓術，就是用圓內接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想近似計算圓周率，并指出“割之彌細”“所失彌少”，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣，這就是早期的極限思想。到了17世紀，由于科學與技術上的要求促使數學家們研究運動與變化，包括量的變化與形的變換，還產生了函數概念和無窮小分析即現在的微積分，使數學從此進入了一個研究變量的新時代.到了17世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎上，分別從物理與幾何的不同思想基礎、不同研究方向，分別獨立地建立了微積分學.他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，極限概念被明確提出，但含糊不清.牛頓在發明微積分的時候，合理設想：越小，這個平均速度應當越接近物體在時刻時的瞬時速度.這一新的數學方法受到數學家和物理學家歡迎，并充分地運用它解決了大量過去無法問津的科技問題，因此，整個18世紀可以說是微積分的世紀.但由于它邏輯上的不完備也招來了哲學上的非難甚至嘲諷與攻擊貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念.實事求是地講，把瞬時速度說成是無窮小時間內所走的無窮小的距離之比，即“時間微分”與“距離微分”之比，是牛頓一個含糊不清的表述.其實，牛頓曾在著作中明確指出：所謂“最終的比”不是“最終的量”的比，而是比所趨近的極限.但他既沒有清除另一些模糊不清的陳述，又沒有嚴格界說極限的含義.包括萊布尼茲對微積分的最初發現，也沒有明確極限的意思.因而，牛頓及其后一百年間的數學家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊，這就是數學史上所謂第二次數學危機.經過近一個世紀的嘗試與醞釀，數學家們在嚴格化基礎上重建微積分的努力到19世紀初開始獲得成效.由于法國數學家柯西、德國數學家魏爾斯特拉等人的工作，以及實數理論的建立，才使極限理論建立在嚴密的理論基礎之上.至此極限理論才真正建立起來，微積分這門學科才得以嚴密化.

3.極限理論在數學中的應用

假設曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b.如圖1所示，曲線上動點M到漸近線的距離為

|MN|=|MPcosα|=|f（x）-（kx+b）|■.

按漸近線的定義，當x→∝時，|PN|→0，即有

■[f（x）-（kx+b）]=0，

或

■[f（x）-kx]=b（4.1）

又由

■[■-k]=■■[f（x）-kx]=0·b=0，

得到

■■=k.（4.2）

由上面的討論可知，若曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b，則常數k與b可由（4.1）式和（4.2）式確定；反之，若由（4.2）、（4.1）兩式求得k與b，則可知|PN|→0（x→+∝），從而y=kx+b為曲線y=f（x）的漸近線.

例1.求曲線f（x）=■的漸近線.

解由4.2式

■=■→1■

x→∝

得k=1.再由（4.1）式

f（x）-kx=■

x→∝

得b=-2.從而求得此曲線的斜漸近線方程為y=x-2，又由f（x）=■易見

■f（x）=∝，■f（x）=∝，

所以此曲線垂直漸近線x=-3和x=1.

4.結語

極限理論是微積分學的基本理論，極限概念是一個抽象的概念，比較難理解.根據Siepinska等人的研究認為：學生學習極限概念存在五類障礙：恐懼無限障礙，函數概念障礙，幾何障礙，邏輯障礙，以及與極限過程相關的符號化的障礙.而且，最嚴重的困難出現在從極限作為一個過程向極限作為一個數學對象并可進行運算的過渡中.這樣就需要在教學中使用適當的方法和手段，建立起高度抽象的、具有嚴密邏輯關系的數學概念.從數學發展史中了解極限思想、極限理論形成的過程，由具體的實例到極限的定性描述，再到極限的定量描述；由具體到抽象，由有限到無“ε-N”“ε-δ”定義有了清晰的、完整的理解.將抽象的字母“ε”，“N”，“δ”與“無限趨近”等聯系起來，這樣才能真正理解極限理論應用極限理論解決實際問題才能迎刃而解.如今數學分析已經成為一門重要的數學分支，對整個數學的面貌的改變作出了不可磨滅的貢獻.微積分作為一種重要的數學工具，已經滲透到科學的各個領域.作為微積分基石的極限理論也在隨著科學技術的發展而發展，極限理論為整個科學的發展提供了一個強大的工具.

參考文獻：

[1]郭書春.中國古代數學[M].商務印書館，2004：45-47.endprint

摘 要： 本文闡述了極限思想的起源和發展，分析了極限思想的思維本質和哲學意義，研究了極限理論在微積分數學學科分支的應用，并給出了具體的例子.

關鍵詞： 起源 極限理論 應用 微積分

1.引言

極限理論是整個微積分的理論基礎，也是極限理論中的基本概念，對極限理論和極限概念理解和掌握，對以后的學習都會有很大的影響.極限理論是從初等數學到高等數學的重要轉折，極限概念描述的是變量在某一變化過程中的變化趨勢，是從有限到無限、近似到精確、量變到質變過程，與初等數學中的概念有很大的區別，但是如果能從數學的發展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過程，弄清極限概念的描述和邏輯表述形式，則對理解極限理論，掌握和應用極限概念，以及極限理論在數學，物理及其他學科的應用會起到很大的作用.

2.極限理論的起源[1]

極限的樸素思想和應用可追溯到古代，中國早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀劉徽創立的割圓術，就是用圓內接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想近似計算圓周率，并指出“割之彌細”“所失彌少”，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣，這就是早期的極限思想。到了17世紀，由于科學與技術上的要求促使數學家們研究運動與變化，包括量的變化與形的變換，還產生了函數概念和無窮小分析即現在的微積分，使數學從此進入了一個研究變量的新時代.到了17世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎上，分別從物理與幾何的不同思想基礎、不同研究方向，分別獨立地建立了微積分學.他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，極限概念被明確提出，但含糊不清.牛頓在發明微積分的時候，合理設想：越小，這個平均速度應當越接近物體在時刻時的瞬時速度.這一新的數學方法受到數學家和物理學家歡迎，并充分地運用它解決了大量過去無法問津的科技問題，因此，整個18世紀可以說是微積分的世紀.但由于它邏輯上的不完備也招來了哲學上的非難甚至嘲諷與攻擊貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念.實事求是地講，把瞬時速度說成是無窮小時間內所走的無窮小的距離之比，即“時間微分”與“距離微分”之比，是牛頓一個含糊不清的表述.其實，牛頓曾在著作中明確指出：所謂“最終的比”不是“最終的量”的比，而是比所趨近的極限.但他既沒有清除另一些模糊不清的陳述，又沒有嚴格界說極限的含義.包括萊布尼茲對微積分的最初發現，也沒有明確極限的意思.因而，牛頓及其后一百年間的數學家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊，這就是數學史上所謂第二次數學危機.經過近一個世紀的嘗試與醞釀，數學家們在嚴格化基礎上重建微積分的努力到19世紀初開始獲得成效.由于法國數學家柯西、德國數學家魏爾斯特拉等人的工作，以及實數理論的建立，才使極限理論建立在嚴密的理論基礎之上.至此極限理論才真正建立起來，微積分這門學科才得以嚴密化.

3.極限理論在數學中的應用

假設曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b.如圖1所示，曲線上動點M到漸近線的距離為

|MN|=|MPcosα|=|f（x）-（kx+b）|■.

按漸近線的定義，當x→∝時，|PN|→0，即有

■[f（x）-（kx+b）]=0，

或

■[f（x）-kx]=b（4.1）

又由

■[■-k]=■■[f（x）-kx]=0·b=0，

得到

■■=k.（4.2）

由上面的討論可知，若曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b，則常數k與b可由（4.1）式和（4.2）式確定；反之，若由（4.2）、（4.1）兩式求得k與b，則可知|PN|→0（x→+∝），從而y=kx+b為曲線y=f（x）的漸近線.

例1.求曲線f（x）=■的漸近線.

解由4.2式

■=■→1■

x→∝

得k=1.再由（4.1）式

f（x）-kx=■

x→∝

得b=-2.從而求得此曲線的斜漸近線方程為y=x-2，又由f（x）=■易見

■f（x）=∝，■f（x）=∝，

所以此曲線垂直漸近線x=-3和x=1.

4.結語

極限理論是微積分學的基本理論，極限概念是一個抽象的概念，比較難理解.根據Siepinska等人的研究認為：學生學習極限概念存在五類障礙：恐懼無限障礙，函數概念障礙，幾何障礙，邏輯障礙，以及與極限過程相關的符號化的障礙.而且，最嚴重的困難出現在從極限作為一個過程向極限作為一個數學對象并可進行運算的過渡中.這樣就需要在教學中使用適當的方法和手段，建立起高度抽象的、具有嚴密邏輯關系的數學概念.從數學發展史中了解極限思想、極限理論形成的過程，由具體的實例到極限的定性描述，再到極限的定量描述；由具體到抽象，由有限到無“ε-N”“ε-δ”定義有了清晰的、完整的理解.將抽象的字母“ε”，“N”，“δ”與“無限趨近”等聯系起來，這樣才能真正理解極限理論應用極限理論解決實際問題才能迎刃而解.如今數學分析已經成為一門重要的數學分支，對整個數學的面貌的改變作出了不可磨滅的貢獻.微積分作為一種重要的數學工具，已經滲透到科學的各個領域.作為微積分基石的極限理論也在隨著科學技術的發展而發展，極限理論為整個科學的發展提供了一個強大的工具.

參考文獻：

[1]郭書春.中國古代數學[M].商務印書館，2004：45-47.endprint