以“代數運算”為考點的高考試題分析與設計

宋秀娟

摘 要： 本文從高觀點角度深入分析了以“代數運算”背景的高考試題，設計了該類型新的高考試題，為該類型題目在高考命題中的設計提供了必要的參考.

關鍵詞： 高中數學 高考試題 代數運算

近幾年，全國各個省份的高考數學試題中以“高等數學”為背景的試題不斷出現，題目以高等數學為背景，或結合中學數學的知識，在考查學生中學數學知識、方法的基礎上進一步考查了學生的創新能力和數學思維能力.這類試題雖然取材于高等數學，但一般都經過“初等化”處理或給出與高等代數有關的定義、定理，要求考生作解答.解答此類型試題只需根據已有知識經驗，并結合平時解題時的數學思想方法，并不需要學習有關高等數學的知識.以高等數學為背景的數學試題無論從背景知識還是解題思路方面往往較新穎，因為考生并沒有與此相關的知識儲備，也沒有遇到過類似的背景知識，所以對考生的閱讀理解能力的要求更高；試題要求考生有較強的知識遷移能力，能夠對比題目所給出的信息，在頭腦已有的知識庫中搜索相關的知識方法，運用在中學階段所學習的知識方法解決此類問題.本文以高等數學中的“代數運算”為出發點，分析并設計以其為考點的高考試題.

1.以“代數運算”為背景的高考試題分析

【2012福建·理15】對于實數a和b，定義運算“·”：a·b=a■-ab，a≤b，b■-ab，a>b，設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個不相等的實數根x■，x■，x■，則x■，x■，x■的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

參考答案：（■，0）

評注：本題考查了數形結合、分類討論的數學思想方法.解題的關鍵在于充分理解新定義運算的具體涵義，并結合所學習關于函數的相關知識解題.代數運算經常與函數零點相結合，考查函數方面的知識，2011年天津高考數學文科試題第9題也是類似的命題方式.

2.以“代數運算”為背景的高考試題設計

命題模式：引入一個符號，規定其運算法則，并結合函數、不等式等知識命題，考查函數的零點、周期性、最值、對稱性等和不等式的基本性質、均值不等式、柯西不等式等.代數運算的符號可以用任意的符號表示，比如“？茌”、“？茚”、“.”、“·”、“？莓”，題目核心在于運算法則的規定.解答時需充分理解題意，把握試題情景，并結合之前所學習的知識解決，試題考查的著重點在于“舊知識”的考查.解題的突破點是新背景的理解和舊知識的運用.

【改編】（改編自2005年遼寧卷第7題）從函數的角度）在R上定義運算？茚：x？茚y=（1-x）（1+y）.函數f（x）=（x-a）？茚（x+a），若f（x）<-■對任意實數x成立，則實數a的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

參考答案：（-■，■）

【改編】（從不等式的角度）在R上定義運算？茚：x？茚y=（1-x）（1+y）.關于不等式（x-a）？茚（x+a）<-■

對任意實數x成立，則實數a的取值范圍是？搖？搖？搖？搖.

參考答案：（-■，■）.

評注：本題受2005年遼寧高考數學試題的啟發，引入新的運算法則“？茚”，并且與函數和不等式相結合，主要考查數形結合思想、不等式的解法、函數的圖像和計算等能力.從函數角度的命題思路要求考生從函數的最值出發解不等式，或者從函數角度解決問題.從不等式角度命題的思維角度與從函數的角度命題是有很大的區別的，倘若題目中出現了“不等式”，學生根據關于不等式的知識經驗，自然就會想到用解不等式的方法解題.若題中出現“函數”，則學生思維首先定位到函數，運用函數的方法解題.此題型在解答時要先準確把握所給信息本質，然后應用類比等法充分挖掘其內涵，運用新舊知識間的內在聯系及遷移規律，將新運算轉化為熟悉的數學運算[1].

【自編】（集合的運算封閉角度）定義集合上的運算“？莓”，如果？坌a，b∈A，都有a？莓b∈A，則集合A關于運算“？莓”是封閉的.比如Z、Q、R關于的加法、減法與乘法都是封閉的.下列說法錯誤的是（B）

A.Q關于除法運算不是封閉的

B.a，b∈Z，a？莓b=a（b+1），則Z關于運算“？莓”是封閉的

C.a，b∈Q，a？莓b=b■+2b■，則Q關于運算“？莓”不是封閉的

Da，b∈Q，a？莓b=■（a+b），則Q關于運算“？莓”是封閉的

評注：本題的背景是“集合上的代數運算”.題干中給出了集合上的代數運算的定義，代數運算的定義為：“集合A上的二元映射？莓：A×A→A也稱為A上的代數運算或A關于“？莓”運算封閉”.二元映射“？莓：A×A→A”中又隱含著笛卡爾積“A×A”的概念，在中學階段并沒有相關介紹，因此題目不按照原始的定義出發，而是經過了“初等化”，讓沒有學過笛卡爾積的學生也能夠理解代數運算的含義.這其中充分體現了以高等代數為背景的高考試題的命題原則.引導學生總結：這些公式中出現了幾個量？

3.結語

利用著名數學家高斯解決問題有趣的故事激發學生對等差數列的思考及興趣，可達到很好的教學效果.把“數學名題”適當地應用到高中數學的教學過程中，不僅能豐富學生的知識面，而且能提高學生的數學素養，達到數學教育的目的.

參考文獻：

[1]單墫.數學名題詞典[M].南京：江蘇教育出版社，2002.

[2]李曉艷.數學名題的教育價值研究[D].遼寧師范大學碩士學位論文，2011.endprint