半局部B半(E,F)凸函數及其性質

高 曄, 張慶祥, 邢 苗

(延安大學 數學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)

0 引言

凸集與凸函數在最優化理論中有著廣泛的應用,但實際問題中大量集合與函數是非凸的,因此有必要對它們進行推廣.Youness[1]通過弱化凸集與凸函數的條件給出了E凸集、E凸函數等概念,并得出了相關結論.雖然有些結論不正確,但其思想意義是不容質疑的.為此，楊新民、簡金寶、覃義先后指出和修正了關于E凸集、E凸函數及E凸規劃的幾個錯誤[2-4].Ewing[5],Weir[6]分別引入了局部凸函數、半局部凸函數的概念.簡金寶等研究了廣義半局部凸函數及其性質[7].胡清潔等給出了半局部E凸函數的概念,并討論了它的性質[8].2009年，簡金寶給出了(E,F)凸集、(E,F)凸函數的概念[9],之后，簡金寶、路敏慧等[10-11]研究了它們的性質.2004年，簡金寶等在文獻[12]中引入了半(E,F)凸函數及其規劃問題,張慶祥等對擬半(E,F)預不變凸函數進行了研究[13],并探討了廣義凸函數的半無限規劃對偶問題[14]，曾友芳等探究了B半(E,F)凸函數和規劃[15].在文獻[16]中，Tang引入了局部星形集,并在星形集的基礎上定義了半局部凸函數.在這些理論的基礎上，高曄等人提出了半局部半(E,F)凸函數,并研究了其性質[17].

本文在局部星形(E,F)凸集、半局部凸函數和B半(E,F)凸函數基礎上,定義半局部B半(E,F)凸函數及幾類廣義半局部B半(E,F)凸函數,并研究它們的性質，以及與某些廣義凸函數之間的關系.

1 預備知識

定義1[17]設x0∈M?Rn,若映射E,F:M→2Rn,對每個x∈M,都存在正數α(x0,x)≤1,且對?λ∈(0,α(x0,x)),有λE(x0)+(1-λ)F(x)?M,則稱M在點x0處為局部星形(E,F)凸的.若M在每個x0∈M處是局部星形……