案例教學(xué)法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課堂教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：針對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》傳統(tǒng)教學(xué)中存在的重理論輕實踐、重知識輕能力的不足，本文在簡要分析了案例教學(xué)法的內(nèi)涵及其教學(xué)步驟的基礎(chǔ)上，將案例教學(xué)法應(yīng)用于《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》古典概型知識點的課堂教學(xué)中，取得了良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計；案例教學(xué)法；應(yīng)用

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0080-02

一、引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進步與計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，無論在自然科學(xué)領(lǐng)域還是在社會科學(xué)領(lǐng)域中，傳統(tǒng)的肯定性數(shù)學(xué)已經(jīng)不能合乎要求地解決所遇到的各類理論問題及應(yīng)用問題，因而在這個過程中隨機性數(shù)學(xué)即概率論與數(shù)理統(tǒng)計得到了突飛猛進的發(fā)展[1]。長期以來，隨著概率論與數(shù)理統(tǒng)計在理論上不斷成熟與完善，它在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用日益廣泛和深入。當今許多新興學(xué)科諸如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能等都以它為基礎(chǔ)；它與基礎(chǔ)學(xué)科相結(jié)合已發(fā)展出許多邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理、數(shù)理經(jīng)濟等?；谏鲜鰧嶋H應(yīng)用背景，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的重要性越來越受到人們的重視。概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程已成為理工科各專業(yè)大學(xué)生的一門必修課程，也是目前全國研究生入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)考試題中重要內(nèi)容之一。因此，學(xué)習(xí)與掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本理論與應(yīng)用，不僅是將來從事科學(xué)研究與工程實際工作的需要，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與個人深造的需要，也是高度發(fā)展的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)對現(xiàn)代化人才提出的基本要求[1]。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是研究和探索隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)科學(xué)。通過本課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)理工科學(xué)生靈活地運用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本理論和方法處理和解決客觀世界中實際隨機現(xiàn)象問題的能力。然而，長期以來以老師為中心的灌輸式、填鴨式的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)模式過于側(cè)重理論推導(dǎo)和計算技巧訓(xùn)練，忽視對學(xué)生解決問題的思想方法和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。在上述傳統(tǒng)教學(xué)活動過程中學(xué)生往往只是被動的聽眾，并沒有主動地參與教學(xué)活動，不能充分發(fā)揮學(xué)生的主動性和積極性，更談不上利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法去解決實際問題。因此，如何提高課堂效率和達到最佳教學(xué)效果成為從事此類教學(xué)工作的教師長期關(guān)注和研究的問題。針對這種情況，許多高校都提出了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》案例教學(xué)法[2-4，6-9]，而如何在課堂上實施案例教學(xué)成為教學(xué)工作者研究的重點內(nèi)容。

結(jié)合多年的教學(xué)實踐，針對傳統(tǒng)教學(xué)法存在的不足，筆者就在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的古典概型知識點的課堂教學(xué)中如何合理地應(yīng)用案例教學(xué)法提出自己的一些認識和見解。

二、案例教學(xué)法的內(nèi)涵及優(yōu)勢

案例教學(xué)法自20世紀初被美國哈佛商學(xué)院倡導(dǎo)用于管理學(xué)教育以來，已被許多國家的教學(xué)實踐證明是一種具有啟發(fā)性、實踐性并有利于提高學(xué)生應(yīng)用能力和綜合素質(zhì)的教學(xué)方法[5]。

案例教學(xué)法是以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)方法，教師在教學(xué)過程中，根據(jù)課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標的需要，選擇含有問題或疑難情境在內(nèi)的真實發(fā)生的典型事件（案例），采用引導(dǎo)、啟發(fā)、參與等多種教學(xué)方式，通過深入分析、討論和交流的教學(xué)互動過程，以設(shè)計者和激勵者的角色組織學(xué)生積極參與課前精心設(shè)計的案例所提供的客觀事實和問題的分析和討論，提出見解并做出判斷和決策，從而加深學(xué)生對課堂教學(xué)內(nèi)容理解和提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的一種教學(xué)方法。案例教學(xué)法具有教學(xué)目的明確、引用案例客觀真實、對學(xué)生有深刻的啟發(fā)性、充分發(fā)揮學(xué)生主體性、較強的實踐性等特點，在實際教學(xué)過程中發(fā)揮著重要的作用[10]。

與傳統(tǒng)教學(xué)法相比，案例教學(xué)法具有明顯的優(yōu)勢[6]，具體包括：①有利于提高學(xué)習(xí)的趣味性；②有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性；③有利于提高學(xué)生的語言文字表達能力；④有利于培養(yǎng)學(xué)生交流和合作的意識；⑤有利于實現(xiàn)教學(xué)相長。同時，大量研究表明：案例教學(xué)法可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性與積極性，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，從而達到“教”和“學(xué)”的互動交流，增強師生之間的溝通，有助于生動活潑的課堂氣氛的形成。

三、案例教學(xué)法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用

1.案例教學(xué)法的應(yīng)用步驟。根據(jù)案例教學(xué)法的上述內(nèi)涵可知，案例教學(xué)法是在課堂教學(xué)中對案例進行深入分析和討論的基礎(chǔ)上引入某一基本概念或理論知識，并不是簡單地實例推理、求解，而這樣可以提高學(xué)生對這一知識的理解和掌握，進一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和增強學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決實際問題的能力。因此在課堂上應(yīng)用案例教學(xué)法時，通常要遵循以下幾個步驟。

（1）根據(jù)所講授的知識點內(nèi)容，精選案例。案例與一般的例題不同，必須有產(chǎn)生問題的實際背景，并能夠為學(xué)生所理解，任何理想化的、脫離實際的例子都會誤導(dǎo)學(xué)生，從而失去教學(xué)的意義，這是實施案例教學(xué)的前提條件。選出的案例要求主題突出、有理論深度，而且具有真實性、針對性、典型性和時代性，是大家共同感興趣的話題?？傮w而言，為了達到良好的教學(xué)效果，應(yīng)選擇與相應(yīng)專業(yè)比較貼近的案例，以便調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

（2）對挑選出的案例進行問題設(shè)計，做好案例的討論、分析。案例的討論與分析是案例教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。對案例進行討論的目的是提出解決問題的途徑與方法，可以從自身角度出發(fā)來剖析案例，說明自己的觀點和看法。教師要掌握討論的進程，讓學(xué)生成為案例討論的主體，同時把握好案例討論的重點和方向，進行必要的引導(dǎo)。同時，在組織案例教學(xué)時要輔以各種有效的教學(xué)方法，如啟發(fā)式教學(xué)、討論式教學(xué)，讓學(xué)生積極參與，大膽發(fā)表意見，提出觀點，深入思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情及科研興趣，使案例教學(xué)效果達到最佳，培養(yǎng)學(xué)生運用概率統(tǒng)計原理解決實際問題的能力[2，7]。

（3）對所選的案例所解決的問題一定要進行歸納總結(jié)。案例總結(jié)是保證和提高案例教學(xué)質(zhì)量的必備環(huán)節(jié)。對案例的總結(jié)一般要包括以下內(nèi)容：一是對討論過程進行總結(jié)，對于一個案例，讓學(xué)生提出各種觀點及其案例所包含的概率統(tǒng)計原理，讓學(xué)生通過分析和評價案例，掌握正確處理和解決復(fù)雜多變的現(xiàn)實問題的思路與方法[2，7]；二是教師對案例中的重點、難點問題作補充或提高性的闡述，指出學(xué)生在分析案例時存在的問題，并提出需要進一步深入思考的問題[2，7]；三是教師自身在課后進行總結(jié)分析，所選取的教學(xué)案例是否恰當，與課堂知識點的結(jié)合是否良好，案例教學(xué)是否達到了預(yù)期效果，存在哪些問題，以便加以改進[7]。endprint

2.案例教學(xué)法應(yīng)用實例。在教授古典概型時，可以采用如下步驟進行案例教學(xué)。

（1）案例引入。引入擲骰子實驗，提出的問題是：①實驗的可能結(jié)果是什么，是否是有限的？②每一個實驗結(jié)果是否是等可能出現(xiàn)的，概率為多少？③擲骰子擲出偶數(shù)點的概率是多少？

（2）案例分析與討論。首先，分析擲骰子的實驗結(jié)果即樣本空間？贅={1，2，3，4，5，6}，從而得到實驗的結(jié)果是有限個；其次，討論每一個實驗結(jié)果是否等可能的發(fā)生，經(jīng)過討論得出在骰子質(zhì)量均勻分布情況下，每個實驗研究結(jié)果都是等可能發(fā)生的，從而得出每個實驗結(jié)果出現(xiàn)的概率為■；然后，在第二個問題討論的基礎(chǔ)上，得出偶數(shù)點的出現(xiàn)概率為出現(xiàn)點數(shù)為2、4、6的概率之和，即■+■+■=■=■。

（3）歸納總結(jié)。

（a）經(jīng)過歸納可知，擲骰子實驗有兩個特點：①實驗的結(jié)果是有限的；②實驗的每個結(jié)果是等可能發(fā)生的。凡是滿足上述兩個特點的實驗，都屬于古典概型的范疇，從而引入了古典概型的概念。為了加深學(xué)生對古典概型的認識，也可以對拋硬幣、抽取產(chǎn)品、買彩票等實驗進行分析，以判斷它們是否為古典概型。

（b）授課教師在課堂上通過引導(dǎo)學(xué)生參與討論與分析，總結(jié)出古典概型中事件A的概率計算公式，即

P（A）=■

（4）實例應(yīng)用。在公園門口，一個擺地攤的賭主將8個白色的、8個紅色的乒乓球放在袋子里。賭主規(guī)定：自愿摸彩者在交1元錢的“手續(xù)費”后，可一次性從袋子中摸出5個球；在摸出的5個乒乓球中，有5個紅球獎勵20元，有4個紅球獎勵2元，有3個紅球獎勵價值5角的紀念品，而僅有1個或2個紅球則無任何獎勵。由于本錢較少，許多圍觀者都躍躍欲試，有的竟連摸數(shù)十次，結(jié)果許多人“乘興而摸，敗興而歸”，獲獎?wù)吡攘葻o幾，這是怎么一回事呢？請計算能獲得20元和2元獎勵的概率分別是多少？假如每天按摸球1000次計算，賭主一天可掙多少錢？

分析：由題意分析可得，從袋子中取球?qū)儆诠诺涓判停虼嗣郊t球的概率計算可采用上述古典概型事件概率計算公式。從袋子中摸出5個球的情況共有C■■種，摸到5個紅球的情況有種C■■，摸到4個紅球的情況有種C■■C■■，摸到3個紅球的情況有種C■■C■■。因此，摸獎?wù)攉@得20元獎金的概率為C■■/C■■=0.0128，獲得2元獎金的概率為C■■C■■/C■■=

0.128，獲得紀念品的概率為C■■C■■/C■■=0.359。由此可以看出，摸獎?wù)攉@得20元和2元獎金的概率都比較低，所以許多人都“乘興而摸，敗興而歸”。假定一天摸球1000次，按照上述計算得到的概率值，獲得20元獎金的次數(shù)為13次，獲得2元獎金的次數(shù)為128次，獲得紀念獎的次數(shù)為359次，因此賭主支付的獎金總額為13×20+128×2+359×0.5=695.5元，而賭主收到的摸彩手續(xù)費為1000元，則賭主一天可掙1000-695.5=304.5元。

從上述實例中可以看出，摸彩是一種欺詐行為，賭主保贏不輸。通過上述案例教學(xué)，學(xué)生在課堂上不僅學(xué)習(xí)了新知識，還增強了自身對社會詐騙行為的防范意識，進而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四、案例教學(xué)法的應(yīng)用效果

與傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)方法相比，案例教學(xué)法可以充分發(fā)揮教學(xué)互動的優(yōu)點，體現(xiàn)學(xué)生是教學(xué)主體，使原本枯燥刻板的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論變得直觀易懂。教師結(jié)合案例的應(yīng)用，用通俗易懂的教學(xué)方式將這些理論講細、講透，讓學(xué)生真正理解并掌握案例所涉及的理論知識，從而降低專業(yè)課的理論難度；案例教學(xué)法的討論模式既豐富了教學(xué)形式，又要求學(xué)生靈活地運用所學(xué)知識，模擬解決實際問題，促使學(xué)生主動思考、分析、解決問題；同時，學(xué)生間、師生間的合作分析與研討還可以鍛煉和提高學(xué)生合作共事與交流協(xié)作的能力[8，9]。

與其他教學(xué)法相比，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課堂教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)法可以更好地加深學(xué)生對基本概念的理解和對理論與方法的掌握；實施案例教學(xué)法可以顯著提高學(xué)生對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的學(xué)習(xí)積極性與主動性，增強學(xué)生的實踐能力、創(chuàng)新能力、語言表達能力，從而取得良好的教學(xué)效果。

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基金項目：西安理工大學(xué)教改項目（108-00J1104）。

作者簡介：鞠花（1976-），女，河南鄧州人，講師，碩士，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計、線性代數(shù)研究。endprint