構(gòu)造法的數(shù)學(xué)思想及其運(yùn)用

丁文敏

摘?要：構(gòu)造的思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法。本文介紹了方程構(gòu)造法、命題構(gòu)造法、模型同類(lèi)構(gòu)造、解圖形構(gòu)造、函數(shù)構(gòu)造等構(gòu)造法的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)?構(gòu)造?運(yùn)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常采用構(gòu)造方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。因?yàn)橛械慕Y(jié)論難以直接表達(dá)，需要借助一定的條件才能轉(zhuǎn)化到結(jié)論，于是就可以利用數(shù)學(xué)問(wèn)題的特殊性，進(jìn)行新的關(guān)系結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，間接地尋找解決問(wèn)題的具體方法。這種方法不是直接解決原問(wèn)題，而是創(chuàng)造一個(gè)與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)或等價(jià)的新問(wèn)題。它可以用于對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念、定理的解釋?zhuān)部梢杂糜陂_(kāi)發(fā)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域。在解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造思想方法得到廣泛的應(yīng)用。

用構(gòu)造思想解題的巧妙之處在于構(gòu)造一個(gè)與原問(wèn)題有關(guān)的輔助新問(wèn)題，希望通過(guò)它的解決來(lái)幫助解決原問(wèn)題。一般情況下，創(chuàng)設(shè)一個(gè)比原問(wèn)題更簡(jiǎn)單、更直觀的新問(wèn)題，使得原問(wèn)題迎刃而解，此方法的運(yùn)用就成功了。

一、方程構(gòu)造法

遇到等量性的問(wèn)題都可能使用方程這個(gè)工具，對(duì)于一些計(jì)算問(wèn)題也可運(yùn)用方程的思想來(lái)解決。?倘若一個(gè)量不能或難于直接求得，就設(shè)法導(dǎo)出它所滿(mǎn)足的方程，于是問(wèn)題就歸結(jié)為求解方程了。我們可以根據(jù)解的定義構(gòu)造方程，可以引入未知數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題求解，可以用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造方程，可以利用判別式構(gòu)造方程，可以根據(jù)題目特點(diǎn)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決。

例1：若a+b+c=m，1/a+1/b+1/c=1/m，a、b、c互不相等，求證a、b、c中必有一個(gè)等于m。

若將a、b、c看作未知量，由條件可知其和為m，兩兩積和ab+bc+ca=—。這樣就可以設(shè)出abc后，按三次方程的韋達(dá)定理構(gòu)造出a、b、c為根的方程。這樣我們可以證明：令abc=n，則ab+bc+ca=—，因此a、b、c是方程t3－mt2+t－n=0的三個(gè)根。

方程（t－m）（t2+—)=0有一根t1=m，即a、b、c?中必有一個(gè)等于m。

由于我們從條件中求出了一元三次方程韋達(dá)定理中諸代數(shù)式之值，便可構(gòu)造出a、b、c為根的三次方程，從而把原題的證明轉(zhuǎn)化為方程根的討論。

二、命題構(gòu)造法

構(gòu)造新命題以實(shí)現(xiàn)命題轉(zhuǎn)換，是設(shè)置坡度簡(jiǎn)化解法的常用手段。特別是在某種情況下，把原命題強(qiáng)化更易得到證明，這時(shí)“強(qiáng)化命題”的結(jié)論是原命題結(jié)論的充分條件。常用的構(gòu)造命題法有構(gòu)造引理法，即在解題過(guò)程中，常常需要用某些尚未證明的結(jié)論作為引理加以應(yīng)用。有些條件與結(jié)論關(guān)系隱晦的問(wèn)題通過(guò)引理鋪設(shè)臺(tái)階，使問(wèn)題變得明朗化，有些比較復(fù)雜的問(wèn)題需要構(gòu)造多個(gè)引理來(lái)解決或簡(jiǎn)化。若解答命題A受阻時(shí)，則可把命題A轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題B，通過(guò)解答命題B，從而獲得命題A的結(jié)論的方法叫構(gòu)造等價(jià)命題法。構(gòu)造的等價(jià)命題應(yīng)是構(gòu)造成已經(jīng)解決或比原命題更容易解決的問(wèn)題，以達(dá)到化難為易、化新為舊的目的。

三、模型構(gòu)造法

模型就是為了便于對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行研究而建立的抽象的理想客體。它是以客觀存在為原型的，對(duì)客觀事物是一種近似反映，把原型抽象成“模型”，既有科學(xué)抽象過(guò)程，又有形象轉(zhuǎn)化過(guò)程。

從數(shù)學(xué)思維過(guò)程來(lái)看，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是抽象意識(shí)的體現(xiàn)，抽象性在數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程中是必不可少的。在運(yùn)用模型構(gòu)造法解題的過(guò)程中，要體會(huì)與揣摩其中的抽象思想，形成抽象意識(shí)，從而能從本質(zhì)看問(wèn)題，能有意識(shí)地區(qū)分主要因素與次要因素，抓住本質(zhì)解決問(wèn)題。從數(shù)學(xué)思維品質(zhì)看，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是思維的深刻性所要求的。

四、圖形構(gòu)造法

此方法是古典幾何中的基本方法。圖形不僅是幾何問(wèn)題的對(duì)象，而且可以用于解答似乎與幾何無(wú)關(guān)的各類(lèi)問(wèn)題。

五、函數(shù)構(gòu)造法

觀察問(wèn)題條件特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)（定理、法則、公式等）來(lái)構(gòu)造函數(shù)是常能奏效的構(gòu)造方法。函數(shù)構(gòu)造的方法就是由命題及條件的數(shù)量關(guān)系組成一種新的函數(shù)關(guān)系，使得原來(lái)的問(wèn)題在新的關(guān)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，通過(guò)對(duì)函數(shù)的研究使問(wèn)題獲得解決。

運(yùn)用構(gòu)造的思想方法解題，運(yùn)用者需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，還必須具備由此及彼、由表及里的思維能力，具有豐富的聯(lián)想能力，才能在具體的解題過(guò)程中，有能力弄清題意，借助聯(lián)想，構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)形式，使所求的問(wèn)題順利得以轉(zhuǎn)化、解決。

（作者單位：南陽(yáng)農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院）