例談初中數(shù)學(xué)分式方程中的無(wú)解和有增根

姚宏彪

一、初中數(shù)學(xué)分式方程特點(diǎn)

分式方程，即等號(hào)兩邊含有未知數(shù)的有理方程，是方程中的一種。一般而言，未知數(shù)至少要有一個(gè)。分式方程在解法上主要有三個(gè)步驟。

第一步，去分母。通過(guò)將分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作，從而化為整式方程。

第二步，進(jìn)行移項(xiàng)。當(dāng)出現(xiàn)括號(hào)時(shí)，首先要去括號(hào)，進(jìn)而合并同類(lèi)項(xiàng)，化系數(shù)，最后求出未知數(shù)的值。

第三步，驗(yàn)根。在求出未知數(shù)的值后，再進(jìn)行驗(yàn)根。在驗(yàn)根時(shí)，首先用最簡(jiǎn)分母替換整式方程的根，這時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況：當(dāng)最簡(jiǎn)公分母為0時(shí)，此根為增根；當(dāng)最簡(jiǎn)公分母不為0時(shí)，此根即為原分式方程的根。

二、初中數(shù)學(xué)分式方程中的無(wú)解和有增根

分式方程無(wú)解，即指在一定的范圍內(nèi)，不論未知數(shù)取何值，都不能滿足該方程。初中數(shù)學(xué)分式方程無(wú)解主要包含兩種情況。增根，即當(dāng)分式方程化為整式方程后，出現(xiàn)整式方程的根使得最簡(jiǎn)公分母為零的情況，這個(gè)根即為原分式方程的增根。在分式方程中，當(dāng)未知數(shù)為零時(shí)，此時(shí)原分式方程沒(méi)有意義，因此不允許未知數(shù)為零。換言之，分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當(dāng)分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，整式方程中未知數(shù)值的范圍被擴(kuò)大了。當(dāng)轉(zhuǎn)化后的整式方程出現(xiàn)其根的取值不在原方程未知數(shù)的允許值之內(nèi)的現(xiàn)象，即產(chǎn)生了增根。

結(jié)合分式方程的特點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)分式方程中的無(wú)解與有增根，主要可以從三個(gè)方面來(lái)闡述。

當(dāng)原方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母后，轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，整式方程為一元一次方程，通過(guò)解整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程無(wú)解，同時(shí)原分式方程沒(méi)有產(chǎn)生增根。

現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

例：解方程 = +2(1)

解：把方程兩邊都乘以x+3,得x-2=5-x+2(x+3) (2)

即得x-2=5-x+2x-6

整理這個(gè)方程，2x-2x=1

此時(shí)，0x=1

因此，此方程無(wú)解，所以原方程無(wú)解。

分析：在方程（1）中，未知數(shù)x的取值范圍為x≠-3。當(dāng)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，得到整式方程（2），在方程（2）中，未知數(shù)x無(wú)解，因此原分式方程無(wú)解。

當(dāng)分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母后，轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，整式方程為一元一次方程，通過(guò)解整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程有解，但這個(gè)解代入原方程中，卻使原方程分母為0，此時(shí)，這個(gè)解為原方程的增根，但原方程無(wú)解。

現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

例：解方程 + = (1)

解：把方程兩邊都乘以（x+4）(x-4),得3(x+4)-8x=4(x-4)(2)

解得這個(gè)方程，得x=-4

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證得知：當(dāng)x=-4時(shí)，原方程沒(méi)有意義，因此x=2是原方程的增根。

分析：在方程（1）中，未知數(shù)x的取值范圍為x≠-4，同時(shí)滿足x≠4。當(dāng)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，得到方程（2），在方程（2）中，未知數(shù)x的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，將最后所求的未知數(shù)x取值代入最簡(jiǎn)公分母，發(fā)現(xiàn)最簡(jiǎn)公分母為0，此時(shí)x的取值即為原分式方程的增根，原分式方程無(wú)解。

當(dāng)分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母后，轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，整式方程為一元二次方程，通過(guò)解整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程有解，此時(shí)，原方程有增根，同時(shí)原方程也有解。

現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

例:當(dāng)a為何值時(shí)，方程- =有增根？（1）

解：把方程兩邊都乘以（x+4）(x-4),得4(x+4)+ax=3(x-4)(2)

整理這個(gè)方程,即得(a+1)x=-28

此時(shí),若原分式方程有增根，則x＝4或－4是方程（2）的根。

將x＝4或－4代入方程（2）中，解得，a＝－6或a=-8。

分析：在方程（1）中，未知數(shù)x的取值范圍為x≠-4。當(dāng)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，得到方程（2），若原分式方程有增根，則未知數(shù)x的取值范圍為4或-4，將最后所求的未知數(shù)x取值代入方程（2），即可求得原分式方程的增根。

當(dāng)分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母后，轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，整式方程為一元一次方程，通過(guò)解整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程有一個(gè)根，此時(shí)，原方程有解，但原方程沒(méi)有增根。現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

例：（1）

解：把方程兩邊都乘以非零數(shù)x,得 x-3=2 （2）

解得這個(gè)方程，x=5

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證得知：當(dāng)x=5時(shí)，原方程有解，但x=5不是原方程的增根。

分析：在方程（1）中，未知數(shù)x的取值范圍為x≠0。當(dāng)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，得到方程（2），在方程（2）中，未知數(shù)x的取值為5，將最后所求的未知數(shù)x取值代入（1），x=5即為原分式方程的解，但不是原分式方程的增根。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)分式方程的求解中，判別增根和無(wú)解，只要通過(guò)把原分式方程的兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母從而化簡(jiǎn)成整式方程，具體分析整式方程。當(dāng)整式方程本身無(wú)解時(shí)，原分式方程無(wú)解，同時(shí)原分式方程也沒(méi)有增根；當(dāng)整式方程有解時(shí)，將所求的未知數(shù)取值代入最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)最簡(jiǎn)公分母為零時(shí)，原分式方程一定有增根，但原分式方程可能有解，也可能無(wú)解；當(dāng)最簡(jiǎn)公分母不為零時(shí)，原方程一定沒(méi)有增根，但有解。同時(shí)，在整式方程有解時(shí)，還可能存在既有解，同時(shí)也有增根的情況。因此，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)此要有一個(gè)透徹的認(rèn)識(shí)以及掌握。

（作者單位:江蘇常熟市昆承中學(xué)）