由一道選擇題引發(fā)的思考

俞世平

問題若角α為某三角形的一內(nèi)角，且sinα+cosα=15，則tanα的值為（ ）.

A．-34B．34 C．-43 D． 43

這是根據(jù)人民教育出版社A版第147頁B組第一題改編的一道選擇題，在三角函數(shù)的考試題中非常常見.

方法1∵sinα+cosα=2sin(α+π4)，∴sin(α+π4)=152≤22，且π4≤α+π4≤5π4，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可以知道π2≤α+π4≤π, ∴π2≤α≤3π4，|cosα|＜|sinα|， 從而有tanα＜-1, ∴選C.

方法2由sinα+cosα=15可以知道α為鈍角 ， 并且|cosα|＜|sinα|,即有tanα＜-1， ∴選C.

這兩種方法都是通過對tanα的范圍的估計得到答案的，簡稱估值法.方法1用α為某三角形的一個內(nèi)角，通過對α范圍的限制，得到tanα的范圍；方法2從sinα+cosα=15的范圍出發(fā)，考慮到sinα＞0， cosα＜0 ，且|cosα|＜|sinα|，再用tanα的范圍得到選項 .從三角函數(shù)角度的范圍和函數(shù)值的范圍出發(fā)考慮問題是處理三角函數(shù)問題的常規(guī)方法.

方法3通過方法1可知π2≤α≤3π4，結(jié)合問題的選項可以構(gòu)造如圖1所示的直角△ABC ，其中邊長AB=5、AC=3、BC=4，α是直角△ABC一個銳角A的外角,∴tan=-43,∴選C.

這種方法應(yīng)用角α的范圍和選擇題的選項構(gòu)造了一個直角三角形，通過數(shù)形結(jié)合的方式直觀的解決了問題.構(gòu)造直角三角形的方法，可以實現(xiàn)同角三角函數(shù)值之間進行順利的轉(zhuǎn)換，是三圖1角函數(shù)求值的快法.

方法4把sinα+cosα=15

兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，

∴2sinαcosαsin2α+cos2α=-2425，化成：tanαtan2α+1=-1225,即12tan2α+25tanα+12=0 ，由此可解得：tanα=-43或-34，考慮到tanα＜-1, ∴tanα=-43,∴選C.

方法5把sinα+cosα=15,兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=57,

∴sinα-cosαsinα+cosα=17 即tanα-1tanα+1=17

∴tanα=-43,∴選C.

這兩種方法都是求tanα值的方法，方法4通過1的代換和同角三角函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)換，建立了關(guān)于tanα的一元二次方程，求出tanα的值后，通過tanα＜-1進行根的取舍；方法5利用已知條件建立了關(guān)于tanα的一元分式方程，直接求出了tanα的值.

方法6由方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1 中消去cosα得：sin2α+(15-sinα)2=1，化簡成25sin2α-5sinα-12=0，可以解得sinα=45或sinα=-35，∵sinα＞0，

∴sinα=45，結(jié)合方法1知道π2≤α≤3π4，∴cosα=-35, 故tanα=-43

∴選C.

方法7把sinα+cosα=15,兩邊平方得：

1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=75，

從方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1中解出sinα=45

cosα=-35

∴tanα=-43,∴選C.

方法8由方法1知道sin(α+π4)=152，π4≤α+π4≤π,∴cos(α+π4)=-752

cosα=cos［(α+π4)-π4］=cos(α+π4)cosπ4-sin(α+π4)sinπ4=-35,sinα=45

∴tanα=-43,∴選C.

這三種方法都是以求sinα和cosα的函數(shù)值為線索進行的.方法6和7都應(yīng)用的是方程組法，方法8應(yīng)用了角度變換的方法.

選擇題求解過程的要求，一是準(zhǔn)確性，二是處理問題的速度.在所有方法中都需要三角形中角度范圍的確定，函數(shù)值范圍的確定，同角三角函數(shù)值之間的溝通，溝通的方法多種多樣.前三種方法是簡單方法，后四種方法是常規(guī)方法，雖然比較麻煩.但是它們的處理過程很好的應(yīng)用了三角函數(shù)幾乎所有內(nèi)容和經(jīng)典的方法，對于構(gòu)筑學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)有很好的作用.是學(xué)習(xí)三角函數(shù)內(nèi)容的經(jīng)典問題.

(收稿日期：2013-10-17)

問題若角α為某三角形的一內(nèi)角，且sinα+cosα=15，則tanα的值為（ ）.

A．-34B．34 C．-43 D． 43

這是根據(jù)人民教育出版社A版第147頁B組第一題改編的一道選擇題，在三角函數(shù)的考試題中非常常見.

方法1∵sinα+cosα=2sin(α+π4)，∴sin(α+π4)=152≤22，且π4≤α+π4≤5π4，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可以知道π2≤α+π4≤π, ∴π2≤α≤3π4，|cosα|＜|sinα|， 從而有tanα＜-1, ∴選C.

方法2由sinα+cosα=15可以知道α為鈍角 ， 并且|cosα|＜|sinα|,即有tanα＜-1， ∴選C.

這兩種方法都是通過對tanα的范圍的估計得到答案的，簡稱估值法.方法1用α為某三角形的一個內(nèi)角，通過對α范圍的限制，得到tanα的范圍；方法2從sinα+cosα=15的范圍出發(fā)，考慮到sinα＞0， cosα＜0 ，且|cosα|＜|sinα|，再用tanα的范圍得到選項 .從三角函數(shù)角度的范圍和函數(shù)值的范圍出發(fā)考慮問題是處理三角函數(shù)問題的常規(guī)方法.

方法3通過方法1可知π2≤α≤3π4，結(jié)合問題的選項可以構(gòu)造如圖1所示的直角△ABC ，其中邊長AB=5、AC=3、BC=4，α是直角△ABC一個銳角A的外角,∴tan=-43,∴選C.

這種方法應(yīng)用角α的范圍和選擇題的選項構(gòu)造了一個直角三角形，通過數(shù)形結(jié)合的方式直觀的解決了問題.構(gòu)造直角三角形的方法，可以實現(xiàn)同角三角函數(shù)值之間進行順利的轉(zhuǎn)換，是三圖1角函數(shù)求值的快法.

方法4把sinα+cosα=15

兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，

∴2sinαcosαsin2α+cos2α=-2425，化成：tanαtan2α+1=-1225,即12tan2α+25tanα+12=0 ，由此可解得：tanα=-43或-34，考慮到tanα＜-1, ∴tanα=-43,∴選C.

方法5把sinα+cosα=15,兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=57,

∴sinα-cosαsinα+cosα=17 即tanα-1tanα+1=17

∴tanα=-43,∴選C.

這兩種方法都是求tanα值的方法，方法4通過1的代換和同角三角函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)換，建立了關(guān)于tanα的一元二次方程，求出tanα的值后，通過tanα＜-1進行根的取舍；方法5利用已知條件建立了關(guān)于tanα的一元分式方程，直接求出了tanα的值.

方法6由方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1 中消去cosα得：sin2α+(15-sinα)2=1，化簡成25sin2α-5sinα-12=0，可以解得sinα=45或sinα=-35，∵sinα＞0，

∴sinα=45，結(jié)合方法1知道π2≤α≤3π4，∴cosα=-35, 故tanα=-43

∴選C.

方法7把sinα+cosα=15,兩邊平方得：

1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=75，

從方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1中解出sinα=45

cosα=-35

∴tanα=-43,∴選C.

方法8由方法1知道sin(α+π4)=152，π4≤α+π4≤π,∴cos(α+π4)=-752

cosα=cos［(α+π4)-π4］=cos(α+π4)cosπ4-sin(α+π4)sinπ4=-35,sinα=45

∴tanα=-43,∴選C.

這三種方法都是以求sinα和cosα的函數(shù)值為線索進行的.方法6和7都應(yīng)用的是方程組法，方法8應(yīng)用了角度變換的方法.

選擇題求解過程的要求，一是準(zhǔn)確性，二是處理問題的速度.在所有方法中都需要三角形中角度范圍的確定，函數(shù)值范圍的確定，同角三角函數(shù)值之間的溝通，溝通的方法多種多樣.前三種方法是簡單方法，后四種方法是常規(guī)方法，雖然比較麻煩.但是它們的處理過程很好的應(yīng)用了三角函數(shù)幾乎所有內(nèi)容和經(jīng)典的方法，對于構(gòu)筑學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)有很好的作用.是學(xué)習(xí)三角函數(shù)內(nèi)容的經(jīng)典問題.

(收稿日期：2013-10-17)

問題若角α為某三角形的一內(nèi)角，且sinα+cosα=15，則tanα的值為（ ）.

A．-34B．34 C．-43 D． 43

這是根據(jù)人民教育出版社A版第147頁B組第一題改編的一道選擇題，在三角函數(shù)的考試題中非常常見.

方法1∵sinα+cosα=2sin(α+π4)，∴sin(α+π4)=152≤22，且π4≤α+π4≤5π4，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可以知道π2≤α+π4≤π, ∴π2≤α≤3π4，|cosα|＜|sinα|， 從而有tanα＜-1, ∴選C.

方法2由sinα+cosα=15可以知道α為鈍角 ， 并且|cosα|＜|sinα|,即有tanα＜-1， ∴選C.

這兩種方法都是通過對tanα的范圍的估計得到答案的，簡稱估值法.方法1用α為某三角形的一個內(nèi)角，通過對α范圍的限制，得到tanα的范圍；方法2從sinα+cosα=15的范圍出發(fā)，考慮到sinα＞0， cosα＜0 ，且|cosα|＜|sinα|，再用tanα的范圍得到選項 .從三角函數(shù)角度的范圍和函數(shù)值的范圍出發(fā)考慮問題是處理三角函數(shù)問題的常規(guī)方法.

方法3通過方法1可知π2≤α≤3π4，結(jié)合問題的選項可以構(gòu)造如圖1所示的直角△ABC ，其中邊長AB=5、AC=3、BC=4，α是直角△ABC一個銳角A的外角,∴tan=-43,∴選C.

這種方法應(yīng)用角α的范圍和選擇題的選項構(gòu)造了一個直角三角形，通過數(shù)形結(jié)合的方式直觀的解決了問題.構(gòu)造直角三角形的方法，可以實現(xiàn)同角三角函數(shù)值之間進行順利的轉(zhuǎn)換，是三圖1角函數(shù)求值的快法.

方法4把sinα+cosα=15

兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，

∴2sinαcosαsin2α+cos2α=-2425，化成：tanαtan2α+1=-1225,即12tan2α+25tanα+12=0 ，由此可解得：tanα=-43或-34，考慮到tanα＜-1, ∴tanα=-43,∴選C.

方法5把sinα+cosα=15,兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=57,

∴sinα-cosαsinα+cosα=17 即tanα-1tanα+1=17

∴tanα=-43,∴選C.

這兩種方法都是求tanα值的方法，方法4通過1的代換和同角三角函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)換，建立了關(guān)于tanα的一元二次方程，求出tanα的值后，通過tanα＜-1進行根的取舍；方法5利用已知條件建立了關(guān)于tanα的一元分式方程，直接求出了tanα的值.

方法6由方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1 中消去cosα得：sin2α+(15-sinα)2=1，化簡成25sin2α-5sinα-12=0，可以解得sinα=45或sinα=-35，∵sinα＞0，

∴sinα=45，結(jié)合方法1知道π2≤α≤3π4，∴cosα=-35, 故tanα=-43

∴選C.

方法7把sinα+cosα=15,兩邊平方得：

1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

?！?sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=75，

從方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1中解出sinα=45

cosα=-35

∴tanα=-43,∴選C.

方法8由方法1知道sin(α+π4)=152，π4≤α+π4≤π,∴cos(α+π4)=-752

cosα=cos［(α+π4)-π4］=cos(α+π4)cosπ4-sin(α+π4)sinπ4=-35,sinα=45

∴tanα=-43,∴選C.

這三種方法都是以求sinα和cosα的函數(shù)值為線索進行的.方法6和7都應(yīng)用的是方程組法，方法8應(yīng)用了角度變換的方法.

選擇題求解過程的要求，一是準(zhǔn)確性，二是處理問題的速度.在所有方法中都需要三角形中角度范圍的確定，函數(shù)值范圍的確定，同角三角函數(shù)值之間的溝通，溝通的方法多種多樣.前三種方法是簡單方法，后四種方法是常規(guī)方法，雖然比較麻煩.但是它們的處理過程很好的應(yīng)用了三角函數(shù)幾乎所有內(nèi)容和經(jīng)典的方法，對于構(gòu)筑學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)有很好的作用.是學(xué)習(xí)三角函數(shù)內(nèi)容的經(jīng)典問題.

(收稿日期：2013-10-17)