填空題八法任逍遙

填空題八法任逍遙

樂山外國語學校 (614000)林明成

填空題是高考數學客觀題之一，作為一種固定的考試形式出現在各地高考試題中. 由于填空題設計的跨度大，覆蓋面廣，形式靈活多變，能力要求較高，因而歷年高考中，這類題型得分較低. 解答填空題時，由于不反映過程，只要求結果，故對正確性的要求比解答題更高、更嚴格，《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”.為此在解填空題時要做到：快——運算要快，力戒小題大做；穩——變形要穩，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解法要活，不要生搬硬套；細——審題要細，不能粗心大意. 本文介紹常規填空題的八種解法.

一、直接法

直接從題設出發，利用定義、定理、性質、公式等，通過推理、變形、運算得出結論，這是填空題的基本方法.

例1設函數f(x)=ex+x-a(a∈R，e為自然對數的底數).若存在b∈［0,1］使f(f(b))=b成立，則a的取值范圍為 .

解函數f(x)在［0,1］上單調遞增.

若f(x)>x，則f(f(x))>x；若f(x)

因此由題意得，方程ex+x-a=x2在［0,1］上有解, 即a=ex+x-x2在［0,1］上有解,設g(x)=ex+x-x2, 則a的范圍就是g(x)在［0,1］上的值域.

因為g′(x)=ex+1-2x在［0,1］上恒正，所以g(x)在［0,1］上單調遞增,

所以g(x)在［0,1］上的值域為［1,e］，故a的取值范圍為［1,e］.

類題演練1銳角△ABC，若B=2A，則ba的取值范圍是 .

二、特值法

特殊值中的“值”，并不僅僅指數值，而是狀態、參數的意思. 當題目暗示答案是一個定值時，我們可取一些特殊數值，或一些特殊位置，或特殊圖形來確定這個定值．對于解答題而言，特例常常只提供論證的方向，而對填空題而言卻是答案.

圖1例2如圖1，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線交直線AB、AC于不同兩點M、N,若AB=mAM,AC=nAN,則m+n的值為 .

解令M與B，N與C重合,

所以m=1,n=1, 所以m+n=2.

類題演練2設坐標原點為O，過焦點的直線與拋物線y2=2x交于A、B兩點，則OA·OB=.

三、數形結合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據題目條件的特點，作出符合題意的圖形，做到數中思形，以形助數，并通過對圖形的直觀分析、判斷，往往可以簡捷地得出正確的結果.

例3已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間［0,2］上是增函數. 若方程f(x)=m(m>0)在區間［-8,8］上有四個不同的根x1,x2,x3,x4, 則x1+x2+x3+x4= .

解因為定義在R上的奇函數，滿足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x),

所以函數圖象關于直線x=2對稱且f(0)=0.

由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),

所以函數是以8為周期的周期函數,

又因為f(x)在區間［0,2］上是增函數,

所以f(x)在區間［-2,0］上也是增函數.

圖2那么方程f(x)=m(m>0)在區間［-8,8］上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,不妨設x1

如圖2, 由對稱性知x1+x2=-12,x3+x4=4.

所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

類題演練3已知函數f(x)=ln(ex+a)(e是自然對數的底數，a為常數）是實數集R上的奇函數，若函數g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有兩個零點，則實數m的取值范圍是 .

四、等價轉化法

從題設出發，把復雜的、生疏的、抽象的、困難的問題等價轉化為簡單的、熟悉的、具體的、容易解決的問題，即將所給問題等價轉化為另一種容易理解的語言或易求解的形式.

例4已知曲線C∶y=xlnx+1恒在直線l∶y=kx的上方，則實數k的取值范圍為 .

解xlnx+1>kx恒成立，即k

類題演練4關于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在區間［1,5］上恒成立，則實數k的取值范圍為.

五、整體處理法

把需要解決的問題看作一個整體，分析問題的整體形式、整體結構、整體功能或作種種整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的.

例5若f(x)=2cosxcos(30°-x)，則f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=.

解析f(x)+f(60°-x)

=2cosxcos(30°-x)+2cos(60°-x)cos(x-30°)=2×

cos［(x-30°)+30°］+cos［(x-30°)-30°］cos(x-30°)=23.

所以f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=593.

類題演練5 三棱錐的三個側面兩兩互相垂直，它們的側面面積分別為6，4，3，則該三棱錐的外接球的表面積為 .

六、類比法

抓住相同或相似的屬性，進行推廣、遷移、發散等等.

例6在等差數列{an}中，若a10=0, 則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N*)成立.類比上述性質，相應地，在等比數列{bn}中，若b9=1，則有等式成立.

解在等差數列{an}前19項中，其中間一項a10=0,因此an+1與a19-n，an+2與a18-n，…，a19與a1互為相反數,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.相似地，在等比數列{bn}的前17項中，其中間一項b9=1,因此bn+1與b17-n，bn+2與b16-n，…，b17與b1互為倒數,不難得到等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).

類題演練6若數列{an}是等差數列，數列{bn}滿足bn=a1+a2+…+ann(n∈N*)，則{bn}也為等差數列.類比上述性質，相應地，若數列{cn}是等比數列，且cn>0，數列{dn}滿足dn= , 則數列{dn}也為等比數列.

七、構造法

依據題設所提供的信息，有目的地去構造函數、數列、方程、不等式、模型等使問題獲解．

例7數3可以用四種方法表示為1個或幾個正數之和，如3,1+2,2+1,1+1+1.問10表示為1個或幾個正數之和的方法有 種.

解將10個1寫成一行，它們之間留有9個間隙，在這些間隙處或者什么都不填，或者填上“+”號.例如3的四種表示方法：3,1+2,2+1,1+1+1,對應111,1+11,11+1,1+1+1.顯然“10的表示方法”與“9個間隙處填或不填加號的方法”之間一一對應,所以10表示為1個或幾個正數之和的方法有29=512(種).

類題演練7組織一個球隊共10人,他們從3所中學中組成,若每個學校至少2人, 則名額分配方案有種.

八、動態探究法

用運動變化的觀點，通過翻折、展開、旋轉、投影等方法探究.

圖3例8如圖3，正三棱錐S-ABC的底面邊長為2a,E、F、G、H分別是SA、SB、BC、AC的中點，則四邊形EFGH的面積的取值范圍為.

解由題設知，四邊形EFGH為矩形,SEFGH=EF×FG=12a×SC.設△ABC的中心為O，則點S在過點O且垂直于平面ABC的直線上運動, 又CO=233a，所以SC的取值范圍為(233a,+∞),故EFGH的面積的取值范圍為(33a2,+∞).

類題演練8鈍角三角形ABC，三內角成等差數列，則最長邊與最短邊的比的取值范圍是 .

類題演練答案:

1.(2,3) 2.-343.(-∞,e2+1e)4.(-∞,6］5. 29π

6.dn=nc1c2…cn(n∈N*)

7.158.(2,+∞)(收稿日期：2013-06-28)

填空題八法任逍遙

樂山外國語學校 (614000)林明成

填空題是高考數學客觀題之一，作為一種固定的考試形式出現在各地高考試題中. 由于填空題設計的跨度大，覆蓋面廣，形式靈活多變，能力要求較高，因而歷年高考中，這類題型得分較低. 解答填空題時，由于不反映過程，只要求結果，故對正確性的要求比解答題更高、更嚴格，《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”.為此在解填空題時要做到：快——運算要快，力戒小題大做；穩——變形要穩，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解法要活，不要生搬硬套；細——審題要細，不能粗心大意. 本文介紹常規填空題的八種解法.

一、直接法

直接從題設出發，利用定義、定理、性質、公式等，通過推理、變形、運算得出結論，這是填空題的基本方法.

例1設函數f(x)=ex+x-a(a∈R，e為自然對數的底數).若存在b∈［0,1］使f(f(b))=b成立，則a的取值范圍為 .

解函數f(x)在［0,1］上單調遞增.

若f(x)>x，則f(f(x))>x；若f(x)

因此由題意得，方程ex+x-a=x2在［0,1］上有解, 即a=ex+x-x2在［0,1］上有解,設g(x)=ex+x-x2, 則a的范圍就是g(x)在［0,1］上的值域.

因為g′(x)=ex+1-2x在［0,1］上恒正，所以g(x)在［0,1］上單調遞增,

所以g(x)在［0,1］上的值域為［1,e］，故a的取值范圍為［1,e］.

類題演練1銳角△ABC，若B=2A，則ba的取值范圍是 .

二、特值法

特殊值中的“值”，并不僅僅指數值，而是狀態、參數的意思. 當題目暗示答案是一個定值時，我們可取一些特殊數值，或一些特殊位置，或特殊圖形來確定這個定值．對于解答題而言，特例常常只提供論證的方向，而對填空題而言卻是答案.

圖1例2如圖1，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線交直線AB、AC于不同兩點M、N,若AB=mAM,AC=nAN,則m+n的值為 .

解令M與B，N與C重合,

所以m=1,n=1, 所以m+n=2.

類題演練2設坐標原點為O，過焦點的直線與拋物線y2=2x交于A、B兩點，則OA·OB=.

三、數形結合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據題目條件的特點，作出符合題意的圖形，做到數中思形，以形助數，并通過對圖形的直觀分析、判斷，往往可以簡捷地得出正確的結果.

例3已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間［0,2］上是增函數. 若方程f(x)=m(m>0)在區間［-8,8］上有四個不同的根x1,x2,x3,x4, 則x1+x2+x3+x4= .

解因為定義在R上的奇函數，滿足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x),

所以函數圖象關于直線x=2對稱且f(0)=0.

由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),

所以函數是以8為周期的周期函數,

又因為f(x)在區間［0,2］上是增函數,

所以f(x)在區間［-2,0］上也是增函數.

圖2那么方程f(x)=m(m>0)在區間［-8,8］上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,不妨設x1

如圖2, 由對稱性知x1+x2=-12,x3+x4=4.

所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

類題演練3已知函數f(x)=ln(ex+a)(e是自然對數的底數，a為常數）是實數集R上的奇函數，若函數g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有兩個零點，則實數m的取值范圍是 .

四、等價轉化法

從題設出發，把復雜的、生疏的、抽象的、困難的問題等價轉化為簡單的、熟悉的、具體的、容易解決的問題，即將所給問題等價轉化為另一種容易理解的語言或易求解的形式.

例4已知曲線C∶y=xlnx+1恒在直線l∶y=kx的上方，則實數k的取值范圍為 .

解xlnx+1>kx恒成立，即k

類題演練4關于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在區間［1,5］上恒成立，則實數k的取值范圍為.

五、整體處理法

把需要解決的問題看作一個整體，分析問題的整體形式、整體結構、整體功能或作種種整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的.

例5若f(x)=2cosxcos(30°-x)，則f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=.

解析f(x)+f(60°-x)

=2cosxcos(30°-x)+2cos(60°-x)cos(x-30°)=2×

cos［(x-30°)+30°］+cos［(x-30°)-30°］cos(x-30°)=23.

所以f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=593.

類題演練5 三棱錐的三個側面兩兩互相垂直，它們的側面面積分別為6，4，3，則該三棱錐的外接球的表面積為 .

六、類比法

抓住相同或相似的屬性，進行推廣、遷移、發散等等.

例6在等差數列{an}中，若a10=0, 則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N*)成立.類比上述性質，相應地，在等比數列{bn}中，若b9=1，則有等式成立.

解在等差數列{an}前19項中，其中間一項a10=0,因此an+1與a19-n，an+2與a18-n，…，a19與a1互為相反數,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.相似地，在等比數列{bn}的前17項中，其中間一項b9=1,因此bn+1與b17-n，bn+2與b16-n，…，b17與b1互為倒數,不難得到等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).

類題演練6若數列{an}是等差數列，數列{bn}滿足bn=a1+a2+…+ann(n∈N*)，則{bn}也為等差數列.類比上述性質，相應地，若數列{cn}是等比數列，且cn>0，數列{dn}滿足dn= , 則數列{dn}也為等比數列.

七、構造法

依據題設所提供的信息，有目的地去構造函數、數列、方程、不等式、模型等使問題獲解．

例7數3可以用四種方法表示為1個或幾個正數之和，如3,1+2,2+1,1+1+1.問10表示為1個或幾個正數之和的方法有 種.

解將10個1寫成一行，它們之間留有9個間隙，在這些間隙處或者什么都不填，或者填上“+”號.例如3的四種表示方法：3,1+2,2+1,1+1+1,對應111,1+11,11+1,1+1+1.顯然“10的表示方法”與“9個間隙處填或不填加號的方法”之間一一對應,所以10表示為1個或幾個正數之和的方法有29=512(種).

類題演練7組織一個球隊共10人,他們從3所中學中組成,若每個學校至少2人, 則名額分配方案有種.

八、動態探究法

用運動變化的觀點，通過翻折、展開、旋轉、投影等方法探究.

圖3例8如圖3，正三棱錐S-ABC的底面邊長為2a,E、F、G、H分別是SA、SB、BC、AC的中點，則四邊形EFGH的面積的取值范圍為.

解由題設知，四邊形EFGH為矩形,SEFGH=EF×FG=12a×SC.設△ABC的中心為O，則點S在過點O且垂直于平面ABC的直線上運動, 又CO=233a，所以SC的取值范圍為(233a,+∞),故EFGH的面積的取值范圍為(33a2,+∞).

類題演練8鈍角三角形ABC，三內角成等差數列，則最長邊與最短邊的比的取值范圍是 .

類題演練答案:

1.(2,3) 2.-343.(-∞,e2+1e)4.(-∞,6］5. 29π

6.dn=nc1c2…cn(n∈N*)

7.158.(2,+∞)(收稿日期：2013-06-28)

填空題八法任逍遙

樂山外國語學校 (614000)林明成

填空題是高考數學客觀題之一，作為一種固定的考試形式出現在各地高考試題中. 由于填空題設計的跨度大，覆蓋面廣，形式靈活多變，能力要求較高，因而歷年高考中，這類題型得分較低. 解答填空題時，由于不反映過程，只要求結果，故對正確性的要求比解答題更高、更嚴格，《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”.為此在解填空題時要做到：快——運算要快，力戒小題大做；穩——變形要穩，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解法要活，不要生搬硬套；細——審題要細，不能粗心大意. 本文介紹常規填空題的八種解法.

一、直接法

直接從題設出發，利用定義、定理、性質、公式等，通過推理、變形、運算得出結論，這是填空題的基本方法.

例1設函數f(x)=ex+x-a(a∈R，e為自然對數的底數).若存在b∈［0,1］使f(f(b))=b成立，則a的取值范圍為 .

解函數f(x)在［0,1］上單調遞增.

若f(x)>x，則f(f(x))>x；若f(x)

因此由題意得，方程ex+x-a=x2在［0,1］上有解, 即a=ex+x-x2在［0,1］上有解,設g(x)=ex+x-x2, 則a的范圍就是g(x)在［0,1］上的值域.

因為g′(x)=ex+1-2x在［0,1］上恒正，所以g(x)在［0,1］上單調遞增,

所以g(x)在［0,1］上的值域為［1,e］，故a的取值范圍為［1,e］.

類題演練1銳角△ABC，若B=2A，則ba的取值范圍是 .

二、特值法

特殊值中的“值”，并不僅僅指數值，而是狀態、參數的意思. 當題目暗示答案是一個定值時，我們可取一些特殊數值，或一些特殊位置，或特殊圖形來確定這個定值．對于解答題而言，特例常常只提供論證的方向，而對填空題而言卻是答案.

圖1例2如圖1，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線交直線AB、AC于不同兩點M、N,若AB=mAM,AC=nAN,則m+n的值為 .

解令M與B，N與C重合,

所以m=1,n=1, 所以m+n=2.

類題演練2設坐標原點為O，過焦點的直線與拋物線y2=2x交于A、B兩點，則OA·OB=.

三、數形結合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據題目條件的特點，作出符合題意的圖形，做到數中思形，以形助數，并通過對圖形的直觀分析、判斷，往往可以簡捷地得出正確的結果.

例3已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間［0,2］上是增函數. 若方程f(x)=m(m>0)在區間［-8,8］上有四個不同的根x1,x2,x3,x4, 則x1+x2+x3+x4= .

解因為定義在R上的奇函數，滿足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x),

所以函數圖象關于直線x=2對稱且f(0)=0.

由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),

所以函數是以8為周期的周期函數,

又因為f(x)在區間［0,2］上是增函數,

所以f(x)在區間［-2,0］上也是增函數.

圖2那么方程f(x)=m(m>0)在區間［-8,8］上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,不妨設x1

如圖2, 由對稱性知x1+x2=-12,x3+x4=4.

所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

類題演練3已知函數f(x)=ln(ex+a)(e是自然對數的底數，a為常數）是實數集R上的奇函數，若函數g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有兩個零點，則實數m的取值范圍是 .

四、等價轉化法

從題設出發，把復雜的、生疏的、抽象的、困難的問題等價轉化為簡單的、熟悉的、具體的、容易解決的問題，即將所給問題等價轉化為另一種容易理解的語言或易求解的形式.

例4已知曲線C∶y=xlnx+1恒在直線l∶y=kx的上方，則實數k的取值范圍為 .

解xlnx+1>kx恒成立，即k

類題演練4關于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在區間［1,5］上恒成立，則實數k的取值范圍為.

五、整體處理法

把需要解決的問題看作一個整體，分析問題的整體形式、整體結構、整體功能或作種種整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的.

例5若f(x)=2cosxcos(30°-x)，則f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=.

解析f(x)+f(60°-x)

=2cosxcos(30°-x)+2cos(60°-x)cos(x-30°)=2×

cos［(x-30°)+30°］+cos［(x-30°)-30°］cos(x-30°)=23.

所以f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=593.

類題演練5 三棱錐的三個側面兩兩互相垂直，它們的側面面積分別為6，4，3，則該三棱錐的外接球的表面積為 .

六、類比法

抓住相同或相似的屬性，進行推廣、遷移、發散等等.

例6在等差數列{an}中，若a10=0, 則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N*)成立.類比上述性質，相應地，在等比數列{bn}中，若b9=1，則有等式成立.

解在等差數列{an}前19項中，其中間一項a10=0,因此an+1與a19-n，an+2與a18-n，…，a19與a1互為相反數,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.相似地，在等比數列{bn}的前17項中，其中間一項b9=1,因此bn+1與b17-n，bn+2與b16-n，…，b17與b1互為倒數,不難得到等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).

類題演練6若數列{an}是等差數列，數列{bn}滿足bn=a1+a2+…+ann(n∈N*)，則{bn}也為等差數列.類比上述性質，相應地，若數列{cn}是等比數列，且cn>0，數列{dn}滿足dn= , 則數列{dn}也為等比數列.

七、構造法

依據題設所提供的信息，有目的地去構造函數、數列、方程、不等式、模型等使問題獲解．

例7數3可以用四種方法表示為1個或幾個正數之和，如3,1+2,2+1,1+1+1.問10表示為1個或幾個正數之和的方法有 種.

解將10個1寫成一行，它們之間留有9個間隙，在這些間隙處或者什么都不填，或者填上“+”號.例如3的四種表示方法：3,1+2,2+1,1+1+1,對應111,1+11,11+1,1+1+1.顯然“10的表示方法”與“9個間隙處填或不填加號的方法”之間一一對應,所以10表示為1個或幾個正數之和的方法有29=512(種).

類題演練7組織一個球隊共10人,他們從3所中學中組成,若每個學校至少2人, 則名額分配方案有種.

八、動態探究法

用運動變化的觀點，通過翻折、展開、旋轉、投影等方法探究.

圖3例8如圖3，正三棱錐S-ABC的底面邊長為2a,E、F、G、H分別是SA、SB、BC、AC的中點，則四邊形EFGH的面積的取值范圍為.

解由題設知，四邊形EFGH為矩形,SEFGH=EF×FG=12a×SC.設△ABC的中心為O，則點S在過點O且垂直于平面ABC的直線上運動, 又CO=233a，所以SC的取值范圍為(233a,+∞),故EFGH的面積的取值范圍為(33a2,+∞).

類題演練8鈍角三角形ABC，三內角成等差數列，則最長邊與最短邊的比的取值范圍是 .

類題演練答案:

1.(2,3) 2.-343.(-∞,e2+1e)4.(-∞,6］5. 29π

6.dn=nc1c2…cn(n∈N*)

7.158.(2,+∞)(收稿日期：2013-06-28)