“盤點”數理巧結合

郭嘉民+魏茜

數學不僅是解決物理問題的工具，數學方法更是物理學的研究方法之一.在物理解題中，可以運用數學方法，將物理問題轉化為數學問題，將“物理模型”轉化成“數學模型”，然后運用數學的方法進行求解或論證，再將數學結論回歸到物理問題中進行驗證，完成物理問題的求解.

一、圓與切線模型

對于物體受三個共點力作用，其中兩個力是變化的這類問題，小船渡河問題等，可建立圓與切線模型，對原物理問題進行分析求解.

例1用絕緣細線懸掛一質量為ｍ，帶電量為+q的小球，豎直平面內有場強為E、方向不定的勻強電場，且qE

分析與求解由于小球處于靜止狀態，因此，所受重力mg、電場力qE、細線拉力T三力矢量首尾相接構成封閉三角形.三力中，重力mg大小、方向均不變，電場力大小不變，但方向不定，對應不同方向的電場力，細線拉力的大小、方向均不同.如圖1所示，以表示重力的矢量末端為圓心、表示電場力的矢量qE為半徑做圓，則當表示細線拉力的矢量T與圓相切時，細線與豎直方向的夾角最大，由圖可知，這個最大夾角為：θ=arcsinqEmg，這也是電場方向與水平方向的夾角，即，電場沿與水平方向成θ=arcsinqEmg角斜向上時，細線與豎直方向有最大夾角arcsinqEmg.

二、函數模型

函數模型就是建立起所求量或所研究量與已知量或決定量之間的函數關系，然后運用函數的運算或性質進行運算或判斷.這是物理解題中最常用的數學模型，一般用來解決最值問題或變量問題比較方便.

例2一輛汽車在十字路口等候紅綠燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6 m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車.求汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？最遠距離是多少？

分析與求解設汽車起動后經時間t還未追上自行車，則汽車的位移為：s1=12at2，自行車的位移為：s2=vt，二者間距為Δs=s2-s1=vt-12at2.

帶入已知數據，建立Δs與ｔ的函數關系式：

Δs=-33(t-2)2+6.

由此式可知：當ｔ＝2 s時，Δs最大為6 m.即汽車從路口開動后，在追上自行車之前2 s兩車相距最遠，最遠距離是6 m.

三、三角模型

有關涉及位移、速度、加速度、力等矢量的問題，可運用矢量合成與分解的平行四邊形定則建立由表示已知量與未知量的矢量構成的矢量三角形，運用三角形的知識進行求解與分析.

例3如圖2(a)所示，用細繩AB懸吊一質量為ｍ的物體，現在AB中的某點O處再結一細繩用力F拉細繩，使細繩的AO部分偏離豎直方向的夾角為θ后保持不動，則F的最小值是多少？

分析與求解以Ｏ點為研究對象，則它在AO繩的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三個力的作用下處于靜止狀態，因此，這三個力平衡.這樣，表示這三個力的矢量，首尾相接應該組成一個封閉三角形.由于繩BO對O點的拉力FBO=mg恒定不變，繩AO 對O點的拉力方向不變.所以，當F方向變化時，由圖2（b)可以看出，當F方向與AO垂直時，F最小，F=mgsinθ.

四、圖象模型

圖象模型就是，在平面直角坐標系中，建立起有某種關系的物理量間的關系圖象，利用圖象與坐標軸圍成的面積，圖象與坐標軸的交點，圖象間的交點的物理意義進行分析和求解.這類問題求解時，準確畫出圖象是關鍵.

例4如圖3（a)所示，兩光滑斜面的總長度相等，高度也相同，兩球由靜止從頂端滑下，若球在右圖斜面上的轉折處無能量損失，則兩球誰先滑至底端？

分析與求解由于兩斜面光滑，高度相等.因此，兩球滑至底端時的速度大小相等.ｂ球在C點之前的加速度大于ａ球的加速度，在C點之后的加速度小于a球加速度.又因為兩斜面長度相等，即兩球下滑的路程相等，故兩圖象下的面積相等.這樣，做出速度圖象如圖3(b)所示，由圖可看出：tb

五、不等式模型

所謂不等式模型，就是根據題意或解題要求，就所求量和題中已知量建立起不等關系式，通過不等式的求解和分析，完成物理問題的求解.

例5如圖4（a）所示，用一水平力F使質量為ｍ的物體靜止于傾角為θ的斜面上，已知斜面對物體的最大靜摩擦力為它們接觸面間壓力的μ倍，求水平力F的大小？

分析與求解物體恰要上滑時，受力如圖4（ｂ）所示，物體恰要下滑時受力如圖（ｃ）所示.不管是上滑還是下滑，物體和斜面間的壓力都為：

N＝mgcosθ+Fsinθ.

欲使物體不上滑，應有：

Fcosθ≤mgsinθ+μN.

欲使物體不下滑，應有：

Fcosθ+μN≥mgsinθ.

解以上幾式得F的取值范圍為：

sinθ+μcosθcosθ-μcosθmg≥F≥sinθ-μcosθcosθ+μsinθmg.

六、一元二次方程模型

一元二次方程模型，就是使題中涉及的已知量和未知量構成一個一元二次方程，利用解根的判別式或韋達定理進行求解或分析.

例6甲、乙兩汽車相距s，甲在前，乙在后，沿著同一條直線同時開始向前運動，甲以速度v0勻速運動，乙由靜止開始以加速度a勻加速運動.問什么情況下甲能追上乙？什么情況下甲追不上乙？

分析與求解設從運動開始到甲追上乙的時間為t，則這段時間里甲、乙輛車的位移分別為：s甲=v0t，s乙=12at2，這一過程中，兩車的位移應有：s乙+s=s甲，由這三式得：

at2-2v0t+2s=0

這是關于t的一元二次方程，解此方程得：t=2v0±4v20-8as2a，由此可知：

(1)當4v20-8ax＜０即v0<2as時方程無解，甲追不上乙.

(2)當4v20-8as=0即v0=2as時方程有一解，運動開始后t=v0a時刻，甲追上乙，此時兩車速度相等.

(3)當4v20-8as>0即v0>2as時方程有兩解t1=2v0+4v20-8as2a，t2=2v0-4v20-8as2a，運動開始后t1時刻甲追上乙，此后甲超過乙，t2時刻乙又趕上并超過甲.

故，若v0<2as，甲不能追上乙.若v0≥2as，甲能追上乙.

例7豎直上拋的物體，分別在t1秒末和t2秒末兩次通過空中某一點，求該點離地面的高度和拋出時的速度.（不計空氣阻力）

分析與求解設物體先后兩次通過的這一點離地面的高度為H，物體被拋出時的速度為v0.由豎直上拋運動的位移公式可知，從物體被拋出到經過這一位置應有：H=v0t-12gt2，此時可變形為關于t的一元二次方程：t2-2v0gt+2Hg=0，物體通過高度為H的點的時刻t1、t2就是該方程的兩個解.由韋達定理知：t1+t2=2v0g，t1t2=2Hg，由此兩式可得：v0=12g(t1+t2)，H=12gt1t2.(收稿日期：2013-12-30)

數學不僅是解決物理問題的工具，數學方法更是物理學的研究方法之一.在物理解題中，可以運用數學方法，將物理問題轉化為數學問題，將“物理模型”轉化成“數學模型”，然后運用數學的方法進行求解或論證，再將數學結論回歸到物理問題中進行驗證，完成物理問題的求解.

一、圓與切線模型

對于物體受三個共點力作用，其中兩個力是變化的這類問題，小船渡河問題等，可建立圓與切線模型，對原物理問題進行分析求解.

例1用絕緣細線懸掛一質量為ｍ，帶電量為+q的小球，豎直平面內有場強為E、方向不定的勻強電場，且qE

分析與求解由于小球處于靜止狀態，因此，所受重力mg、電場力qE、細線拉力T三力矢量首尾相接構成封閉三角形.三力中，重力mg大小、方向均不變，電場力大小不變，但方向不定，對應不同方向的電場力，細線拉力的大小、方向均不同.如圖1所示，以表示重力的矢量末端為圓心、表示電場力的矢量qE為半徑做圓，則當表示細線拉力的矢量T與圓相切時，細線與豎直方向的夾角最大，由圖可知，這個最大夾角為：θ=arcsinqEmg，這也是電場方向與水平方向的夾角，即，電場沿與水平方向成θ=arcsinqEmg角斜向上時，細線與豎直方向有最大夾角arcsinqEmg.

二、函數模型

函數模型就是建立起所求量或所研究量與已知量或決定量之間的函數關系，然后運用函數的運算或性質進行運算或判斷.這是物理解題中最常用的數學模型，一般用來解決最值問題或變量問題比較方便.

例2一輛汽車在十字路口等候紅綠燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6 m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車.求汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？最遠距離是多少？

分析與求解設汽車起動后經時間t還未追上自行車，則汽車的位移為：s1=12at2，自行車的位移為：s2=vt，二者間距為Δs=s2-s1=vt-12at2.

帶入已知數據，建立Δs與ｔ的函數關系式：

Δs=-33(t-2)2+6.

由此式可知：當ｔ＝2 s時，Δs最大為6 m.即汽車從路口開動后，在追上自行車之前2 s兩車相距最遠，最遠距離是6 m.

三、三角模型

有關涉及位移、速度、加速度、力等矢量的問題，可運用矢量合成與分解的平行四邊形定則建立由表示已知量與未知量的矢量構成的矢量三角形，運用三角形的知識進行求解與分析.

例3如圖2(a)所示，用細繩AB懸吊一質量為ｍ的物體，現在AB中的某點O處再結一細繩用力F拉細繩，使細繩的AO部分偏離豎直方向的夾角為θ后保持不動，則F的最小值是多少？

分析與求解以Ｏ點為研究對象，則它在AO繩的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三個力的作用下處于靜止狀態，因此，這三個力平衡.這樣，表示這三個力的矢量，首尾相接應該組成一個封閉三角形.由于繩BO對O點的拉力FBO=mg恒定不變，繩AO 對O點的拉力方向不變.所以，當F方向變化時，由圖2（b)可以看出，當F方向與AO垂直時，F最小，F=mgsinθ.

四、圖象模型

圖象模型就是，在平面直角坐標系中，建立起有某種關系的物理量間的關系圖象，利用圖象與坐標軸圍成的面積，圖象與坐標軸的交點，圖象間的交點的物理意義進行分析和求解.這類問題求解時，準確畫出圖象是關鍵.

例4如圖3（a)所示，兩光滑斜面的總長度相等，高度也相同，兩球由靜止從頂端滑下，若球在右圖斜面上的轉折處無能量損失，則兩球誰先滑至底端？

分析與求解由于兩斜面光滑，高度相等.因此，兩球滑至底端時的速度大小相等.ｂ球在C點之前的加速度大于ａ球的加速度，在C點之后的加速度小于a球加速度.又因為兩斜面長度相等，即兩球下滑的路程相等，故兩圖象下的面積相等.這樣，做出速度圖象如圖3(b)所示，由圖可看出：tb

五、不等式模型

所謂不等式模型，就是根據題意或解題要求，就所求量和題中已知量建立起不等關系式，通過不等式的求解和分析，完成物理問題的求解.

例5如圖4（a）所示，用一水平力F使質量為ｍ的物體靜止于傾角為θ的斜面上，已知斜面對物體的最大靜摩擦力為它們接觸面間壓力的μ倍，求水平力F的大小？

分析與求解物體恰要上滑時，受力如圖4（ｂ）所示，物體恰要下滑時受力如圖（ｃ）所示.不管是上滑還是下滑，物體和斜面間的壓力都為：

N＝mgcosθ+Fsinθ.

欲使物體不上滑，應有：

Fcosθ≤mgsinθ+μN.

欲使物體不下滑，應有：

Fcosθ+μN≥mgsinθ.

解以上幾式得F的取值范圍為：

sinθ+μcosθcosθ-μcosθmg≥F≥sinθ-μcosθcosθ+μsinθmg.

六、一元二次方程模型

一元二次方程模型，就是使題中涉及的已知量和未知量構成一個一元二次方程，利用解根的判別式或韋達定理進行求解或分析.

例6甲、乙兩汽車相距s，甲在前，乙在后，沿著同一條直線同時開始向前運動，甲以速度v0勻速運動，乙由靜止開始以加速度a勻加速運動.問什么情況下甲能追上乙？什么情況下甲追不上乙？

分析與求解設從運動開始到甲追上乙的時間為t，則這段時間里甲、乙輛車的位移分別為：s甲=v0t，s乙=12at2，這一過程中，兩車的位移應有：s乙+s=s甲，由這三式得：

at2-2v0t+2s=0

這是關于t的一元二次方程，解此方程得：t=2v0±4v20-8as2a，由此可知：

(1)當4v20-8ax＜０即v0<2as時方程無解，甲追不上乙.

(2)當4v20-8as=0即v0=2as時方程有一解，運動開始后t=v0a時刻，甲追上乙，此時兩車速度相等.

(3)當4v20-8as>0即v0>2as時方程有兩解t1=2v0+4v20-8as2a，t2=2v0-4v20-8as2a，運動開始后t1時刻甲追上乙，此后甲超過乙，t2時刻乙又趕上并超過甲.

故，若v0<2as，甲不能追上乙.若v0≥2as，甲能追上乙.

例7豎直上拋的物體，分別在t1秒末和t2秒末兩次通過空中某一點，求該點離地面的高度和拋出時的速度.（不計空氣阻力）

分析與求解設物體先后兩次通過的這一點離地面的高度為H，物體被拋出時的速度為v0.由豎直上拋運動的位移公式可知，從物體被拋出到經過這一位置應有：H=v0t-12gt2，此時可變形為關于t的一元二次方程：t2-2v0gt+2Hg=0，物體通過高度為H的點的時刻t1、t2就是該方程的兩個解.由韋達定理知：t1+t2=2v0g，t1t2=2Hg，由此兩式可得：v0=12g(t1+t2)，H=12gt1t2.(收稿日期：2013-12-30)

數學不僅是解決物理問題的工具，數學方法更是物理學的研究方法之一.在物理解題中，可以運用數學方法，將物理問題轉化為數學問題，將“物理模型”轉化成“數學模型”，然后運用數學的方法進行求解或論證，再將數學結論回歸到物理問題中進行驗證，完成物理問題的求解.

一、圓與切線模型

對于物體受三個共點力作用，其中兩個力是變化的這類問題，小船渡河問題等，可建立圓與切線模型，對原物理問題進行分析求解.

例1用絕緣細線懸掛一質量為ｍ，帶電量為+q的小球，豎直平面內有場強為E、方向不定的勻強電場，且qE

分析與求解由于小球處于靜止狀態，因此，所受重力mg、電場力qE、細線拉力T三力矢量首尾相接構成封閉三角形.三力中，重力mg大小、方向均不變，電場力大小不變，但方向不定，對應不同方向的電場力，細線拉力的大小、方向均不同.如圖1所示，以表示重力的矢量末端為圓心、表示電場力的矢量qE為半徑做圓，則當表示細線拉力的矢量T與圓相切時，細線與豎直方向的夾角最大，由圖可知，這個最大夾角為：θ=arcsinqEmg，這也是電場方向與水平方向的夾角，即，電場沿與水平方向成θ=arcsinqEmg角斜向上時，細線與豎直方向有最大夾角arcsinqEmg.

二、函數模型

函數模型就是建立起所求量或所研究量與已知量或決定量之間的函數關系，然后運用函數的運算或性質進行運算或判斷.這是物理解題中最常用的數學模型，一般用來解決最值問題或變量問題比較方便.

例2一輛汽車在十字路口等候紅綠燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6 m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車.求汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？最遠距離是多少？

分析與求解設汽車起動后經時間t還未追上自行車，則汽車的位移為：s1=12at2，自行車的位移為：s2=vt，二者間距為Δs=s2-s1=vt-12at2.

帶入已知數據，建立Δs與ｔ的函數關系式：

Δs=-33(t-2)2+6.

由此式可知：當ｔ＝2 s時，Δs最大為6 m.即汽車從路口開動后，在追上自行車之前2 s兩車相距最遠，最遠距離是6 m.

三、三角模型

有關涉及位移、速度、加速度、力等矢量的問題，可運用矢量合成與分解的平行四邊形定則建立由表示已知量與未知量的矢量構成的矢量三角形，運用三角形的知識進行求解與分析.

例3如圖2(a)所示，用細繩AB懸吊一質量為ｍ的物體，現在AB中的某點O處再結一細繩用力F拉細繩，使細繩的AO部分偏離豎直方向的夾角為θ后保持不動，則F的最小值是多少？

分析與求解以Ｏ點為研究對象，則它在AO繩的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三個力的作用下處于靜止狀態，因此，這三個力平衡.這樣，表示這三個力的矢量，首尾相接應該組成一個封閉三角形.由于繩BO對O點的拉力FBO=mg恒定不變，繩AO 對O點的拉力方向不變.所以，當F方向變化時，由圖2（b)可以看出，當F方向與AO垂直時，F最小，F=mgsinθ.

四、圖象模型

圖象模型就是，在平面直角坐標系中，建立起有某種關系的物理量間的關系圖象，利用圖象與坐標軸圍成的面積，圖象與坐標軸的交點，圖象間的交點的物理意義進行分析和求解.這類問題求解時，準確畫出圖象是關鍵.

例4如圖3（a)所示，兩光滑斜面的總長度相等，高度也相同，兩球由靜止從頂端滑下，若球在右圖斜面上的轉折處無能量損失，則兩球誰先滑至底端？

分析與求解由于兩斜面光滑，高度相等.因此，兩球滑至底端時的速度大小相等.ｂ球在C點之前的加速度大于ａ球的加速度，在C點之后的加速度小于a球加速度.又因為兩斜面長度相等，即兩球下滑的路程相等，故兩圖象下的面積相等.這樣，做出速度圖象如圖3(b)所示，由圖可看出：tb

五、不等式模型

所謂不等式模型，就是根據題意或解題要求，就所求量和題中已知量建立起不等關系式，通過不等式的求解和分析，完成物理問題的求解.

例5如圖4（a）所示，用一水平力F使質量為ｍ的物體靜止于傾角為θ的斜面上，已知斜面對物體的最大靜摩擦力為它們接觸面間壓力的μ倍，求水平力F的大小？

分析與求解物體恰要上滑時，受力如圖4（ｂ）所示，物體恰要下滑時受力如圖（ｃ）所示.不管是上滑還是下滑，物體和斜面間的壓力都為：

N＝mgcosθ+Fsinθ.

欲使物體不上滑，應有：

Fcosθ≤mgsinθ+μN.

欲使物體不下滑，應有：

Fcosθ+μN≥mgsinθ.

解以上幾式得F的取值范圍為：

sinθ+μcosθcosθ-μcosθmg≥F≥sinθ-μcosθcosθ+μsinθmg.

六、一元二次方程模型

一元二次方程模型，就是使題中涉及的已知量和未知量構成一個一元二次方程，利用解根的判別式或韋達定理進行求解或分析.

例6甲、乙兩汽車相距s，甲在前，乙在后，沿著同一條直線同時開始向前運動，甲以速度v0勻速運動，乙由靜止開始以加速度a勻加速運動.問什么情況下甲能追上乙？什么情況下甲追不上乙？

分析與求解設從運動開始到甲追上乙的時間為t，則這段時間里甲、乙輛車的位移分別為：s甲=v0t，s乙=12at2，這一過程中，兩車的位移應有：s乙+s=s甲，由這三式得：

at2-2v0t+2s=0

這是關于t的一元二次方程，解此方程得：t=2v0±4v20-8as2a，由此可知：

(1)當4v20-8ax＜０即v0<2as時方程無解，甲追不上乙.

(2)當4v20-8as=0即v0=2as時方程有一解，運動開始后t=v0a時刻，甲追上乙，此時兩車速度相等.

(3)當4v20-8as>0即v0>2as時方程有兩解t1=2v0+4v20-8as2a，t2=2v0-4v20-8as2a，運動開始后t1時刻甲追上乙，此后甲超過乙，t2時刻乙又趕上并超過甲.

故，若v0<2as，甲不能追上乙.若v0≥2as，甲能追上乙.

例7豎直上拋的物體，分別在t1秒末和t2秒末兩次通過空中某一點，求該點離地面的高度和拋出時的速度.（不計空氣阻力）

分析與求解設物體先后兩次通過的這一點離地面的高度為H，物體被拋出時的速度為v0.由豎直上拋運動的位移公式可知，從物體被拋出到經過這一位置應有：H=v0t-12gt2，此時可變形為關于t的一元二次方程：t2-2v0gt+2Hg=0，物體通過高度為H的點的時刻t1、t2就是該方程的兩個解.由韋達定理知：t1+t2=2v0g，t1t2=2Hg，由此兩式可得：v0=12g(t1+t2)，H=12gt1t2.(收稿日期：2013-12-30)