減元巧解高考題

侯立剛

問題：設x,y,z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14，則x+y+z=.

這是2013年湖北理科試題. 由于已知條件中含有三個變量 ，而只有兩個方程，因此，要求出三個未知數，必須再找一個關系式. 如果不能巧妙的利用三維的柯西不等式，將會陷入復雜的代數運算中，甚至無功而返.而如果把其中的一個變量當成常數，那么已知條件就可以看成含兩個變量的方程組：x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z，這便是很熟悉的問題了.

解法：

思路一利用幾何意義

把方程x2+y2=1-z2看成是圓心在原點，半徑是1-z2的圓，方程x+2y=14-3z看成是一條直線.于是由方程組知，直線與圓有公共點，所以|14-3z|5≤1-z2，從而得到14z2-614z+9≤0.

即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此時方程組變成x2+y2=514

x+2y=51414，

可以解得x=1414

y=147.

所以x+y+z=1414+21414+31414=3147.

注：如圖，當z=31414時，直線x+2y=51414與圓x2+y2=514相切，切點A的坐標就是方程組x2+y2=514

x+2y=51414的解， 也是方程組y=2x

x+2y=51414的解.

（其中y=2x是過切點A與直線x+2y=51414垂直的直線），從而容易解得x=1414

y=147.

思路二利用柯西不等式

由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2知，(12+22)(x2+y2)≥(x+2y)2，當且僅當x=y2時等號成立. 把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得5(1-z2)≥(14-3z)2，整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.而z=31414時恰好等號成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z, 解得x=1414，y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路三利用三角換元

因為x2+y2=1-z2，所以可設x=1-z2cosα

y=1-z2sinα（α∈［0,2π)），代入方程x+2y=14-3z得x+2y=5(1-z2)(15cosα+25sinα)=5(1-z2)sin(θ+α)=14-3z(其中sinθ=15,cosθ=25）.

因為|sin(θ+α)|≤1，所以5(1-z2)≥|14-3z|.

整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.此時恰好等號成立.因為θ∈(0,π2),α∈［0,2π),所以θ+α∈(0,5π2).所以|sin(θ+α)|≤1中等號成立的條件是θ+α=π2或θ+α=3π2. 而把z=31414代入x+2y=14-3z得x+2y=51414>0,所以θ+α=3π2不成立.

由θ+α=π2，可知α=π2-θ.于是x=1-z2cosα=514cosα=514sinθ=514·15=1414;

y=1-z2sinα=514sinα=514cosθ=514·25=21414.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路四利用向量不等式

設a=(1,2),b=(x,y). 由向量不等式|a·b|≤|a||b|知,|x+2y|≤5(x2+y2), 當且僅當x=y2時等號成立. 于是把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得|14-3z|≤5(1-z2). 整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此時恰好等號成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z，解得x=1414，y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路五利用判別式

把x=14-3z-2y代入方程x2+y2=1-z2，可得5y2-4(14-3z)y+(14-3z)2+z2-1=0. 因為y∈R, 所以Δ=［4(14-3z)］2-4×5×［(14-3z)2+z2-1］≥0.

整理得14z2-614z+9≤0, 即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

把z=31414 代入上述二次方程，整理可得y2-4y14+414=0. 即(y-214)2=0，所以y=147.

又x=14-3z-2y=14-3×31414-2×147=1414，所以 x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路六利用配方法

方程組x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z①

②中，②兩邊同除以14再乘以2可得x2+y2=1-z2

2x14+4y14=2-6z14,兩式相減得x2-2x14+y2-4y14=-z2-1+6z14.湊常數項得 x2-2x14+114+y2-4y14+414=-z2+6z14-914

配方即得(x-114)2+(y-214)2=-(z-314)2,所以-(z-314)2≥0，故只有-(z-314)2=0.

所以z=31414. 同時(x-114)2=0且(y-214)2=0，即x=1414， y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

體會：本文通過把方程中的一個變量看成常數，達到了減元的目的，從而使復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化，在解題陷入困境的時候，柳暗花明. 這里提供的六種常見思路，各具特色殊途同歸， 從不同視角探究了知識之間的相互聯系，體現了代數、三角、幾何等知識之間的有機統一.

(收稿日期：2013-12-04)12

問題：設x,y,z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14，則x+y+z=.

這是2013年湖北理科試題. 由于已知條件中含有三個變量 ，而只有兩個方程，因此，要求出三個未知數，必須再找一個關系式. 如果不能巧妙的利用三維的柯西不等式，將會陷入復雜的代數運算中，甚至無功而返.而如果把其中的一個變量當成常數，那么已知條件就可以看成含兩個變量的方程組：x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z，這便是很熟悉的問題了.

解法：

思路一利用幾何意義

把方程x2+y2=1-z2看成是圓心在原點，半徑是1-z2的圓，方程x+2y=14-3z看成是一條直線.于是由方程組知，直線與圓有公共點，所以|14-3z|5≤1-z2，從而得到14z2-614z+9≤0.

即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此時方程組變成x2+y2=514

x+2y=51414，

可以解得x=1414

y=147.

所以x+y+z=1414+21414+31414=3147.

注：如圖，當z=31414時，直線x+2y=51414與圓x2+y2=514相切，切點A的坐標就是方程組x2+y2=514

x+2y=51414的解， 也是方程組y=2x

x+2y=51414的解.

（其中y=2x是過切點A與直線x+2y=51414垂直的直線），從而容易解得x=1414

y=147.

思路二利用柯西不等式

由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2知，(12+22)(x2+y2)≥(x+2y)2，當且僅當x=y2時等號成立. 把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得5(1-z2)≥(14-3z)2，整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.而z=31414時恰好等號成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z, 解得x=1414，y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路三利用三角換元

因為x2+y2=1-z2，所以可設x=1-z2cosα

y=1-z2sinα（α∈［0,2π)），代入方程x+2y=14-3z得x+2y=5(1-z2)(15cosα+25sinα)=5(1-z2)sin(θ+α)=14-3z(其中sinθ=15,cosθ=25）.

因為|sin(θ+α)|≤1，所以5(1-z2)≥|14-3z|.

整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.此時恰好等號成立.因為θ∈(0,π2),α∈［0,2π),所以θ+α∈(0,5π2).所以|sin(θ+α)|≤1中等號成立的條件是θ+α=π2或θ+α=3π2. 而把z=31414代入x+2y=14-3z得x+2y=51414>0,所以θ+α=3π2不成立.

由θ+α=π2，可知α=π2-θ.于是x=1-z2cosα=514cosα=514sinθ=514·15=1414;

y=1-z2sinα=514sinα=514cosθ=514·25=21414.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路四利用向量不等式

設a=(1,2),b=(x,y). 由向量不等式|a·b|≤|a||b|知,|x+2y|≤5(x2+y2), 當且僅當x=y2時等號成立. 于是把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得|14-3z|≤5(1-z2). 整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此時恰好等號成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z，解得x=1414，y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路五利用判別式

把x=14-3z-2y代入方程x2+y2=1-z2，可得5y2-4(14-3z)y+(14-3z)2+z2-1=0. 因為y∈R, 所以Δ=［4(14-3z)］2-4×5×［(14-3z)2+z2-1］≥0.

整理得14z2-614z+9≤0, 即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

把z=31414 代入上述二次方程，整理可得y2-4y14+414=0. 即(y-214)2=0，所以y=147.

又x=14-3z-2y=14-3×31414-2×147=1414，所以 x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路六利用配方法

方程組x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z①

②中，②兩邊同除以14再乘以2可得x2+y2=1-z2

2x14+4y14=2-6z14,兩式相減得x2-2x14+y2-4y14=-z2-1+6z14.湊常數項得 x2-2x14+114+y2-4y14+414=-z2+6z14-914

配方即得(x-114)2+(y-214)2=-(z-314)2,所以-(z-314)2≥0，故只有-(z-314)2=0.

所以z=31414. 同時(x-114)2=0且(y-214)2=0，即x=1414， y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

體會：本文通過把方程中的一個變量看成常數，達到了減元的目的，從而使復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化，在解題陷入困境的時候，柳暗花明. 這里提供的六種常見思路，各具特色殊途同歸， 從不同視角探究了知識之間的相互聯系，體現了代數、三角、幾何等知識之間的有機統一.

(收稿日期：2013-12-04)12

問題：設x,y,z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14，則x+y+z=.

這是2013年湖北理科試題. 由于已知條件中含有三個變量 ，而只有兩個方程，因此，要求出三個未知數，必須再找一個關系式. 如果不能巧妙的利用三維的柯西不等式，將會陷入復雜的代數運算中，甚至無功而返.而如果把其中的一個變量當成常數，那么已知條件就可以看成含兩個變量的方程組：x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z，這便是很熟悉的問題了.

解法：

思路一利用幾何意義

把方程x2+y2=1-z2看成是圓心在原點，半徑是1-z2的圓，方程x+2y=14-3z看成是一條直線.于是由方程組知，直線與圓有公共點，所以|14-3z|5≤1-z2，從而得到14z2-614z+9≤0.

即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此時方程組變成x2+y2=514

x+2y=51414，

可以解得x=1414

y=147.

所以x+y+z=1414+21414+31414=3147.

注：如圖，當z=31414時，直線x+2y=51414與圓x2+y2=514相切，切點A的坐標就是方程組x2+y2=514

x+2y=51414的解， 也是方程組y=2x

x+2y=51414的解.

（其中y=2x是過切點A與直線x+2y=51414垂直的直線），從而容易解得x=1414

y=147.

思路二利用柯西不等式

由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2知，(12+22)(x2+y2)≥(x+2y)2，當且僅當x=y2時等號成立. 把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得5(1-z2)≥(14-3z)2，整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.而z=31414時恰好等號成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z, 解得x=1414，y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路三利用三角換元

因為x2+y2=1-z2，所以可設x=1-z2cosα

y=1-z2sinα（α∈［0,2π)），代入方程x+2y=14-3z得x+2y=5(1-z2)(15cosα+25sinα)=5(1-z2)sin(θ+α)=14-3z(其中sinθ=15,cosθ=25）.

因為|sin(θ+α)|≤1，所以5(1-z2)≥|14-3z|.

整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.此時恰好等號成立.因為θ∈(0,π2),α∈［0,2π),所以θ+α∈(0,5π2).所以|sin(θ+α)|≤1中等號成立的條件是θ+α=π2或θ+α=3π2. 而把z=31414代入x+2y=14-3z得x+2y=51414>0,所以θ+α=3π2不成立.

由θ+α=π2，可知α=π2-θ.于是x=1-z2cosα=514cosα=514sinθ=514·15=1414;

y=1-z2sinα=514sinα=514cosθ=514·25=21414.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路四利用向量不等式

設a=(1,2),b=(x,y). 由向量不等式|a·b|≤|a||b|知,|x+2y|≤5(x2+y2), 當且僅當x=y2時等號成立. 于是把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得|14-3z|≤5(1-z2). 整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此時恰好等號成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z，解得x=1414，y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路五利用判別式

把x=14-3z-2y代入方程x2+y2=1-z2，可得5y2-4(14-3z)y+(14-3z)2+z2-1=0. 因為y∈R, 所以Δ=［4(14-3z)］2-4×5×［(14-3z)2+z2-1］≥0.

整理得14z2-614z+9≤0, 即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

把z=31414 代入上述二次方程，整理可得y2-4y14+414=0. 即(y-214)2=0，所以y=147.

又x=14-3z-2y=14-3×31414-2×147=1414，所以 x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路六利用配方法

方程組x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z①

②中，②兩邊同除以14再乘以2可得x2+y2=1-z2

2x14+4y14=2-6z14,兩式相減得x2-2x14+y2-4y14=-z2-1+6z14.湊常數項得 x2-2x14+114+y2-4y14+414=-z2+6z14-914

配方即得(x-114)2+(y-214)2=-(z-314)2,所以-(z-314)2≥0，故只有-(z-314)2=0.

所以z=31414. 同時(x-114)2=0且(y-214)2=0，即x=1414， y=147.

從而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

體會：本文通過把方程中的一個變量看成常數，達到了減元的目的，從而使復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化，在解題陷入困境的時候，柳暗花明. 這里提供的六種常見思路，各具特色殊途同歸， 從不同視角探究了知識之間的相互聯系，體現了代數、三角、幾何等知識之間的有機統一.

(收稿日期：2013-12-04)12