例說v-t圖象在解物理題中的妙用

徐克田++王玉潔

在求解運動學中的某些問題時，我們時常用速度圖象來處理，這樣能使問題的處理變得簡單、直觀；而在解某些動力學問題時，我們也可以利用速度圖象來處理，以下列兩題為例來說明.

一、在動力學問題中的應用

圖1例1如圖1所示，質量相同的木塊A、B，用輕彈簧連接，置于光滑的水平面上，開始時彈簧處于自然狀態.今用水平恒力F推木塊A，則彈簧在第一次被壓縮到最短的過程中，下列說法正確的為（ ）.

A．A、B速度相同時，加速度aA=aB

B．A 、B速度相同時，加速度aA>aB

C．A、B加速度相同時，速度vA>vB

D．A、B加速度相同時，速度vA

解析假設物體的質量為m，彈簧的勁度系數為k，彈簧的壓縮量為x，則在壓縮過程中，由牛頓第二定律得：A物體的加速度aA=F-kxm，B物體的加速度aB=kxm，由此可得：隨著彈簧壓縮量的增加，A物體的加速度變小，B物體的加速度變大，且它們均做變加速直線運動，這樣，我們就難以用勻變速直線運動的公式進行定量計圖2算，但我們可根據A、B運動的規律做出它們的速度圖象，如圖2所示，這樣，我們就可以進行定量的分析了，在t1時刻，兩圖線的斜率相同，即兩物體的加速度相同，但速度卻不同，即vA>vB，故選項C對選項D錯；在t2時刻，兩物體的速度相同，但兩圖線的斜率不相同，即aA

例2如圖3所示，質量為2 m的長木板圖3靜止放在光滑的水平面上，一質量為m的小鉛塊（可視為質點）以水平初速v0由木板左端恰好滑至木板的右端與木板相對靜止，小鉛塊在運動中所受到摩擦力始終不變，現將木板分成長度和質量均相等的兩段后緊挨著仍放在該水平面上，讓小鉛塊仍以相同的初速度v0由左端開始滑動，則小鉛塊將（）.

A．滑到右端與木板保持相對靜止

B．在滑到右端前就與木板保持相對靜止

C．滑過右端后飛離木板

D．上述答案均有可能

解析本題如果用運動學和牛頓第二定律的知識去求解，運算過程十分繁瑣，在此不再贅述；但如果利圖4用速度圖象的方法來處理，則變得非常簡單.即我們可分別做出小鉛塊和木板的速度圖象，如圖4所示，利用木板在分開前后加速度的不同和圖象的物理意義進行分析.

木板在分開前：小鉛塊和木板的速度圖象分別對應圖線的AB、OB；三角形ABO的面積為兩者的相對距離，即木板的長度L；

木板在分開后：木板的速度在開始時為OC，當小鉛塊進入另一半木板時，木板的加速度變大，其圖線為CD，小鉛塊的加速度不變，其圖線變為AD，則它們的相對距離，即四邊行AOCD的面積小于三角形ABO的面積，由此可得：把木板分成兩段后，小鉛塊和木板的相對距離變小，即鉛塊未滑到右端就相對木板靜止，正確答案為B.

二、在運動學中的應用

例3某物體做變速直線運動，其加速度方向不變，大小逐漸減小到零，該物體的運動情況不可能是（）.

A．速度不斷增大，最后達到最大，并以此速度做勻速直線運動

B．速度不斷減小，最后達到最小，并以此速度做勻速直線運動

C．速度不斷減小，又不斷增大，最后做勻速直線運動

D．速度不斷增大，又不斷減小，最后做勻速直線運動

解析我們對物體的運動情況做出v-t圖象，如圖5所示，根據題意和圖象的物理意義，由圖a知A項是可能的；由圖b知，B項是可能的；由圖c知，C項是可能的；故D項是不可能的.

圖5例4一水平的淺色長傳送帶上放置一煤塊（可視為質點），煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ.初始時，傳送帶與煤塊都是靜止的．現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動，當其速度達到v0后，便以此速度做勻速運動．經過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動，求此黑色痕跡的長度．

本題若用常規解法，比較復雜，即：根據“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發生了相對滑動，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0，對煤塊：由牛頓第二定律，可得a=μg, 設經歷時間t，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0，則：

v0=a0t①

煤塊達到的速度v0的時間為t1，v0=(μg)t1②由于傳送帶的加速度大于煤的加速度，故傳送帶最先達到v0，然后便勻速運動，傳送帶勻速運動的時間為t′=t1-t③

則：x=［v202a0+v0t′］-v202μg④

由①②③④解得：x=v20(a-μg)2a0μg，即此黑色痕跡的長度為v20(a-μg)2a0μg ；

圖6若用v-t圖象法，就簡單了，即：由題意得：傳送帶加速時間t1=v0a0，煤塊加速時間t2=v02μg，由題意做出v-t圖象，如圖6所示，黑色痕跡的長度即為陰影的面積，x=12v0（t2-t1）=v20(a-μg)2a0μg .

由此可知：我們在解物理問題的過程中，靈活選擇不同的解題方法，能使問題的解決變得簡單、直觀，從而達到事半功倍的解題效果.

(收稿日期：2013-12-20)

在求解運動學中的某些問題時，我們時常用速度圖象來處理，這樣能使問題的處理變得簡單、直觀；而在解某些動力學問題時，我們也可以利用速度圖象來處理，以下列兩題為例來說明.

一、在動力學問題中的應用

圖1例1如圖1所示，質量相同的木塊A、B，用輕彈簧連接，置于光滑的水平面上，開始時彈簧處于自然狀態.今用水平恒力F推木塊A，則彈簧在第一次被壓縮到最短的過程中，下列說法正確的為（ ）.

A．A、B速度相同時，加速度aA=aB

B．A 、B速度相同時，加速度aA>aB

C．A、B加速度相同時，速度vA>vB

D．A、B加速度相同時，速度vA

解析假設物體的質量為m，彈簧的勁度系數為k，彈簧的壓縮量為x，則在壓縮過程中，由牛頓第二定律得：A物體的加速度aA=F-kxm，B物體的加速度aB=kxm，由此可得：隨著彈簧壓縮量的增加，A物體的加速度變小，B物體的加速度變大，且它們均做變加速直線運動，這樣，我們就難以用勻變速直線運動的公式進行定量計圖2算，但我們可根據A、B運動的規律做出它們的速度圖象，如圖2所示，這樣，我們就可以進行定量的分析了，在t1時刻，兩圖線的斜率相同，即兩物體的加速度相同，但速度卻不同，即vA>vB，故選項C對選項D錯；在t2時刻，兩物體的速度相同，但兩圖線的斜率不相同，即aA

例2如圖3所示，質量為2 m的長木板圖3靜止放在光滑的水平面上，一質量為m的小鉛塊（可視為質點）以水平初速v0由木板左端恰好滑至木板的右端與木板相對靜止，小鉛塊在運動中所受到摩擦力始終不變，現將木板分成長度和質量均相等的兩段后緊挨著仍放在該水平面上，讓小鉛塊仍以相同的初速度v0由左端開始滑動，則小鉛塊將（）.

A．滑到右端與木板保持相對靜止

B．在滑到右端前就與木板保持相對靜止

C．滑過右端后飛離木板

D．上述答案均有可能

解析本題如果用運動學和牛頓第二定律的知識去求解，運算過程十分繁瑣，在此不再贅述；但如果利圖4用速度圖象的方法來處理，則變得非常簡單.即我們可分別做出小鉛塊和木板的速度圖象，如圖4所示，利用木板在分開前后加速度的不同和圖象的物理意義進行分析.

木板在分開前：小鉛塊和木板的速度圖象分別對應圖線的AB、OB；三角形ABO的面積為兩者的相對距離，即木板的長度L；

木板在分開后：木板的速度在開始時為OC，當小鉛塊進入另一半木板時，木板的加速度變大，其圖線為CD，小鉛塊的加速度不變，其圖線變為AD，則它們的相對距離，即四邊行AOCD的面積小于三角形ABO的面積，由此可得：把木板分成兩段后，小鉛塊和木板的相對距離變小，即鉛塊未滑到右端就相對木板靜止，正確答案為B.

二、在運動學中的應用

例3某物體做變速直線運動，其加速度方向不變，大小逐漸減小到零，該物體的運動情況不可能是（）.

A．速度不斷增大，最后達到最大，并以此速度做勻速直線運動

B．速度不斷減小，最后達到最小，并以此速度做勻速直線運動

C．速度不斷減小，又不斷增大，最后做勻速直線運動

D．速度不斷增大，又不斷減小，最后做勻速直線運動

解析我們對物體的運動情況做出v-t圖象，如圖5所示，根據題意和圖象的物理意義，由圖a知A項是可能的；由圖b知，B項是可能的；由圖c知，C項是可能的；故D項是不可能的.

圖5例4一水平的淺色長傳送帶上放置一煤塊（可視為質點），煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ.初始時，傳送帶與煤塊都是靜止的．現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動，當其速度達到v0后，便以此速度做勻速運動．經過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動，求此黑色痕跡的長度．

本題若用常規解法，比較復雜，即：根據“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發生了相對滑動，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0，對煤塊：由牛頓第二定律，可得a=μg, 設經歷時間t，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0，則：

v0=a0t①

煤塊達到的速度v0的時間為t1，v0=(μg)t1②由于傳送帶的加速度大于煤的加速度，故傳送帶最先達到v0，然后便勻速運動，傳送帶勻速運動的時間為t′=t1-t③

則：x=［v202a0+v0t′］-v202μg④

由①②③④解得：x=v20(a-μg)2a0μg，即此黑色痕跡的長度為v20(a-μg)2a0μg ；

圖6若用v-t圖象法，就簡單了，即：由題意得：傳送帶加速時間t1=v0a0，煤塊加速時間t2=v02μg，由題意做出v-t圖象，如圖6所示，黑色痕跡的長度即為陰影的面積，x=12v0（t2-t1）=v20(a-μg)2a0μg .

由此可知：我們在解物理問題的過程中，靈活選擇不同的解題方法，能使問題的解決變得簡單、直觀，從而達到事半功倍的解題效果.

(收稿日期：2013-12-20)

在求解運動學中的某些問題時，我們時常用速度圖象來處理，這樣能使問題的處理變得簡單、直觀；而在解某些動力學問題時，我們也可以利用速度圖象來處理，以下列兩題為例來說明.

一、在動力學問題中的應用

圖1例1如圖1所示，質量相同的木塊A、B，用輕彈簧連接，置于光滑的水平面上，開始時彈簧處于自然狀態.今用水平恒力F推木塊A，則彈簧在第一次被壓縮到最短的過程中，下列說法正確的為（ ）.

A．A、B速度相同時，加速度aA=aB

B．A 、B速度相同時，加速度aA>aB

C．A、B加速度相同時，速度vA>vB

D．A、B加速度相同時，速度vA

解析假設物體的質量為m，彈簧的勁度系數為k，彈簧的壓縮量為x，則在壓縮過程中，由牛頓第二定律得：A物體的加速度aA=F-kxm，B物體的加速度aB=kxm，由此可得：隨著彈簧壓縮量的增加，A物體的加速度變小，B物體的加速度變大，且它們均做變加速直線運動，這樣，我們就難以用勻變速直線運動的公式進行定量計圖2算，但我們可根據A、B運動的規律做出它們的速度圖象，如圖2所示，這樣，我們就可以進行定量的分析了，在t1時刻，兩圖線的斜率相同，即兩物體的加速度相同，但速度卻不同，即vA>vB，故選項C對選項D錯；在t2時刻，兩物體的速度相同，但兩圖線的斜率不相同，即aA

例2如圖3所示，質量為2 m的長木板圖3靜止放在光滑的水平面上，一質量為m的小鉛塊（可視為質點）以水平初速v0由木板左端恰好滑至木板的右端與木板相對靜止，小鉛塊在運動中所受到摩擦力始終不變，現將木板分成長度和質量均相等的兩段后緊挨著仍放在該水平面上，讓小鉛塊仍以相同的初速度v0由左端開始滑動，則小鉛塊將（）.

A．滑到右端與木板保持相對靜止

B．在滑到右端前就與木板保持相對靜止

C．滑過右端后飛離木板

D．上述答案均有可能

解析本題如果用運動學和牛頓第二定律的知識去求解，運算過程十分繁瑣，在此不再贅述；但如果利圖4用速度圖象的方法來處理，則變得非常簡單.即我們可分別做出小鉛塊和木板的速度圖象，如圖4所示，利用木板在分開前后加速度的不同和圖象的物理意義進行分析.

木板在分開前：小鉛塊和木板的速度圖象分別對應圖線的AB、OB；三角形ABO的面積為兩者的相對距離，即木板的長度L；

木板在分開后：木板的速度在開始時為OC，當小鉛塊進入另一半木板時，木板的加速度變大，其圖線為CD，小鉛塊的加速度不變，其圖線變為AD，則它們的相對距離，即四邊行AOCD的面積小于三角形ABO的面積，由此可得：把木板分成兩段后，小鉛塊和木板的相對距離變小，即鉛塊未滑到右端就相對木板靜止，正確答案為B.

二、在運動學中的應用

例3某物體做變速直線運動，其加速度方向不變，大小逐漸減小到零，該物體的運動情況不可能是（）.

A．速度不斷增大，最后達到最大，并以此速度做勻速直線運動

B．速度不斷減小，最后達到最小，并以此速度做勻速直線運動

C．速度不斷減小，又不斷增大，最后做勻速直線運動

D．速度不斷增大，又不斷減小，最后做勻速直線運動

解析我們對物體的運動情況做出v-t圖象，如圖5所示，根據題意和圖象的物理意義，由圖a知A項是可能的；由圖b知，B項是可能的；由圖c知，C項是可能的；故D項是不可能的.

圖5例4一水平的淺色長傳送帶上放置一煤塊（可視為質點），煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ.初始時，傳送帶與煤塊都是靜止的．現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動，當其速度達到v0后，便以此速度做勻速運動．經過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動，求此黑色痕跡的長度．

本題若用常規解法，比較復雜，即：根據“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發生了相對滑動，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0，對煤塊：由牛頓第二定律，可得a=μg, 設經歷時間t，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0，則：

v0=a0t①

煤塊達到的速度v0的時間為t1，v0=(μg)t1②由于傳送帶的加速度大于煤的加速度，故傳送帶最先達到v0，然后便勻速運動，傳送帶勻速運動的時間為t′=t1-t③

則：x=［v202a0+v0t′］-v202μg④

由①②③④解得：x=v20(a-μg)2a0μg，即此黑色痕跡的長度為v20(a-μg)2a0μg ；

圖6若用v-t圖象法，就簡單了，即：由題意得：傳送帶加速時間t1=v0a0，煤塊加速時間t2=v02μg，由題意做出v-t圖象，如圖6所示，黑色痕跡的長度即為陰影的面積，x=12v0（t2-t1）=v20(a-μg)2a0μg .

由此可知：我們在解物理問題的過程中，靈活選擇不同的解題方法，能使問題的解決變得簡單、直觀，從而達到事半功倍的解題效果.

(收稿日期：2013-12-20)