直線和圓中的最值求解方法

趙建勛

直線和圓是解析幾何的重要內(nèi)容，而最值問題是其重要題型，解這類題不僅要靈活用到直線和圓的有關(guān)知識，而且還要用到求最值的各種方法，解法相當(dāng)靈活，現(xiàn)舉例方法說明，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考.

一、建立二次函數(shù)用頂點法

例1在直線L∶y=2x上求一點P，使P點到兩定點A（3，0）、B（0，4）的距離的平方和為最小.

解設(shè)P（x,2x)，則有

|PA|2+|PB|2

=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2

=10x2-22x+25

∵a=10>0,∴拋物線開口向上，

∴函數(shù)在頂點處取得最小值.

∴當(dāng)x=-b2a=--222×10=1110時，|PA|2+|PB|2取最小值，故P點坐標(biāo)為（1110，115）.

點評二次函數(shù)求最值一般用配方法，本題只求x的值，所以用頂點法要簡單.

二、設(shè)角為自變量用三角法

例2過點P（2，1）作直線l交x軸、y軸的正向于A、B兩點，求|PA|·|PB|最小時的直線l的方程.

分析此直線過已知點，求出斜率即可，若直接設(shè)斜率為k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.設(shè)角為自變量即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，易求斜率.

圖1解如圖1，過P做PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，設(shè)∠BAO=θ，則∠BPD=θ,則|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.

要使|PA|·|PB|最小，只需sin2θ最大，即sin2θ=1,2θ=90°,∠BAO=θ=45°，∴kAB=kl=tan135°=-1.

故直線l的方程為y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.

三、建立一元二次方程用判別式法

例3已知直線l1∶y=4x，和點P（6，4），在直線l1上求一點Q，使過P、Q的直線與l1以及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形面積最小.

圖2解如圖2，設(shè)Q（x1,4x1)，則直線PQ的方程y-44x1-4=x-6x1-6.

令y=0，得x=5x1x1-1,故點A的坐標(biāo)為（5x1x1-1,0).

∴S=12·4x1·5x1x1-1=10x21x1-1.

即10x21-Sx1+S=0(1)

∵x1為實數(shù)，∴Δ=S2-40S≥0,∵S>0,

∴S≥40，將S=40代入（1）得x21-4x1+4=0.

解方程得x1=2,y1=4x1=4×2=8.

故點Q（2，8）.

點評問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)后為分式函數(shù)，可考慮用判別式法求最值.

四、注意變元為正，用均值不等式法

例4過已知點P（1，4）引一條直線，要使它在兩坐標(biāo)軸上的截距都為正，且它們的和為最小，求這條直線的方程.

解設(shè)在兩個坐標(biāo)軸上的截距分別為a、b，則所求直線方程為xa+yb=1.(1)

將P（1，4）代入方程（1）得

1a+4b=1，

解得a=bb-4,∵a>0,b>0,∴b>4.

設(shè)截距之和為L，則

L=a+b=bb-4+b=b-4+4b-4+b-4+4

=1+4b-4+(b-4)+4=5+(b-4)+4b-4

≥5+2(b-4)·4b-4

=5+24=5+4=9.

當(dāng)且僅當(dāng)b-4=4b-4時取等號，即b=6或b=2.此時a=3或a=-1.又a>0,b>0,∴a=-1舍去.

故所求直線方程是x3+y6=1，即2x+y-6=0.

點評構(gòu)造變元積為定值，求和的最小值.關(guān)鍵是作b=b-4+4的技巧性的變形.

五、注意轉(zhuǎn)化，巧用函數(shù)的單調(diào)性

圖3例5如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸正半軸上（坐標(biāo)原點除外）給定兩點A、B，C點在x軸正半軸上移動，問C點在何處時∠ACB最大，并求最大值.

分析要求角的最值，先取一個函數(shù)，求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是用函數(shù)的單調(diào)性.

解設(shè)A（0，a)、B（0，b),00.令∠ACB=α，于是

tanα=kBC-kAC1+kBCkAC=-bx+ax1+abx2

=a-bx+abx=a-bab(xab+abx)

記y=xab+abx≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=ab時，y取最小值2.

因此，當(dāng)x=ab時，tanα取最大值a-b2ab.

∵在(0,π2)內(nèi)y=tanα是增函數(shù)，

∴C點在（ab,0)時，α取最大值arctana-b2ab.

即C點在（ab,0）時，∠ACB取最大值，這個最大值為arctana-b2ab.

點評此題是求角的最大值，形式新穎，解法靈活、技巧性強(qiáng)，值得一學(xué).

六、注意數(shù)形結(jié)合，巧用對稱法

例6已知圓C：（x-3)2+(y-1)2=4和直線l:x-y-5=0，在C上求兩點，使它們和l的距離分別是最近和最遠(yuǎn).

解已知圓的圓心為C（3，1），過C點作直線l′⊥l于D，且l′交圓C于A1、A2，又圓是中心對稱圖形，所以A1、A2是與l的距離分別是最近和最遠(yuǎn)的點.離垂足近者為最近距離點，離垂足遠(yuǎn)者為最遠(yuǎn)距離點.

∵直線l的方程為y=x-5,∴kl=1,則kl′=-1.故直線l′的方程為y-1=-(x-3),即y=-x+3+1,解方程組

y=-x+3+1

(x-3)2+(y-1)2=4①

②

把①代入②后，化簡整理，得

2（x-3)2=4,即(x-3)2=2,

∴x-3=±2,x=3±2，代入①得

y1=1-2,y2=1+2.

故所求兩點是（3+2,1-2),(3-2,1+2).

七、注意轉(zhuǎn)化，巧用公式a2+b2≥2ab法

例7設(shè)滿足：（1）截y軸所得弦長為2；（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

解設(shè)圓的圓心為P（a,b)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.

由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧的圓心角為90°，知圓截x軸所得弦長為2r，故r2=2b2.

又圓P截y軸所得長為2,所以有r2=a2+1.從而2b2-a2=1.

又點P（a,b)到直線x-2y=0的距離為d=|a-2b|5.

所以5d2=|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=a2+4b2-2a2-2b2=2b2-a2=1.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，上式等號成立，此時5d2=1，從而d有最小值.此時a=b

2b2-a2=1,解方程組得a=1

b=1,或a=-1

b=-1.由于r2=2b2=2,∴r=2.

于是所求圓的方程是（x-1)2+(y-1)2=2,或（x+1)2+(y+1)2=2.

八、巧變形，用一次函數(shù)的單調(diào)性法

例8在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且c=10,cosAcosB=ba=43,P為△ABC內(nèi)切圓上的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值.

解由cosAcosB=ba，根據(jù)正弦定理，有

cosAcosB=sinBsinA,sinAcosA=sinBcosB,

sin2A=sin2B.

∵A≠B,2A≠2B,∴A+B=π2,故△ABC是直角三角形.由c=10，ba=43,a2+b2=102及a>0,b>0,得a=6,b=8.

圖4如圖4，設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為O′，切點為D、E、F，內(nèi)切圓半徑為r，則2r=a+b-c=6+8-10=4,∴r=2.

建立如圖4的直角坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為

（x-2)2+(y-2)2=4.

設(shè)圓上動點P的坐標(biāo)為（x,y),則P點到A、B、C的距離的平方和為

W=|PA|2+|PB|2+|PC|2

=（x-8)2+y2+x2+(6-y)2+x2+y2

=3［(x-2)2+(y-2)2］-4x+76

=88-4x

∵P點在內(nèi)切圓上，故必有0≤x≤4.

∴W最大值=88；W最小值=72.

點評解此題的關(guān)鍵是證明△ABC為直角三角形，寫出內(nèi)切圓方程（x-2)2+(y-2)2=4,在建立函數(shù)式中湊出（x-2)2+(y-2)2=4，整體代入4，為用一次函數(shù)單調(diào)性創(chuàng)造條件，方法靈活、技巧性強(qiáng)，值得一學(xué).

(收稿日期：2013-06-15)

直線和圓是解析幾何的重要內(nèi)容，而最值問題是其重要題型，解這類題不僅要靈活用到直線和圓的有關(guān)知識，而且還要用到求最值的各種方法，解法相當(dāng)靈活，現(xiàn)舉例方法說明，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考.

一、建立二次函數(shù)用頂點法

例1在直線L∶y=2x上求一點P，使P點到兩定點A（3，0）、B（0，4）的距離的平方和為最小.

解設(shè)P（x,2x)，則有

|PA|2+|PB|2

=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2

=10x2-22x+25

∵a=10>0,∴拋物線開口向上，

∴函數(shù)在頂點處取得最小值.

∴當(dāng)x=-b2a=--222×10=1110時，|PA|2+|PB|2取最小值，故P點坐標(biāo)為（1110，115）.

點評二次函數(shù)求最值一般用配方法，本題只求x的值，所以用頂點法要簡單.

二、設(shè)角為自變量用三角法

例2過點P（2，1）作直線l交x軸、y軸的正向于A、B兩點，求|PA|·|PB|最小時的直線l的方程.

分析此直線過已知點，求出斜率即可，若直接設(shè)斜率為k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.設(shè)角為自變量即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，易求斜率.

圖1解如圖1，過P做PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，設(shè)∠BAO=θ，則∠BPD=θ,則|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.

要使|PA|·|PB|最小，只需sin2θ最大，即sin2θ=1,2θ=90°,∠BAO=θ=45°，∴kAB=kl=tan135°=-1.

故直線l的方程為y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.

三、建立一元二次方程用判別式法

例3已知直線l1∶y=4x，和點P（6，4），在直線l1上求一點Q，使過P、Q的直線與l1以及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形面積最小.

圖2解如圖2，設(shè)Q（x1,4x1)，則直線PQ的方程y-44x1-4=x-6x1-6.

令y=0，得x=5x1x1-1,故點A的坐標(biāo)為（5x1x1-1,0).

∴S=12·4x1·5x1x1-1=10x21x1-1.

即10x21-Sx1+S=0(1)

∵x1為實數(shù)，∴Δ=S2-40S≥0,∵S>0,

∴S≥40，將S=40代入（1）得x21-4x1+4=0.

解方程得x1=2,y1=4x1=4×2=8.

故點Q（2，8）.

點評問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)后為分式函數(shù)，可考慮用判別式法求最值.

四、注意變元為正，用均值不等式法

例4過已知點P（1，4）引一條直線，要使它在兩坐標(biāo)軸上的截距都為正，且它們的和為最小，求這條直線的方程.

解設(shè)在兩個坐標(biāo)軸上的截距分別為a、b，則所求直線方程為xa+yb=1.(1)

將P（1，4）代入方程（1）得

1a+4b=1，

解得a=bb-4,∵a>0,b>0,∴b>4.

設(shè)截距之和為L，則

L=a+b=bb-4+b=b-4+4b-4+b-4+4

=1+4b-4+(b-4)+4=5+(b-4)+4b-4

≥5+2(b-4)·4b-4

=5+24=5+4=9.

當(dāng)且僅當(dāng)b-4=4b-4時取等號，即b=6或b=2.此時a=3或a=-1.又a>0,b>0,∴a=-1舍去.

故所求直線方程是x3+y6=1，即2x+y-6=0.

點評構(gòu)造變元積為定值，求和的最小值.關(guān)鍵是作b=b-4+4的技巧性的變形.

五、注意轉(zhuǎn)化，巧用函數(shù)的單調(diào)性

圖3例5如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸正半軸上（坐標(biāo)原點除外）給定兩點A、B，C點在x軸正半軸上移動，問C點在何處時∠ACB最大，并求最大值.

分析要求角的最值，先取一個函數(shù)，求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是用函數(shù)的單調(diào)性.

解設(shè)A（0，a)、B（0，b),00.令∠ACB=α，于是

tanα=kBC-kAC1+kBCkAC=-bx+ax1+abx2

=a-bx+abx=a-bab(xab+abx)

記y=xab+abx≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=ab時，y取最小值2.

因此，當(dāng)x=ab時，tanα取最大值a-b2ab.

∵在(0,π2)內(nèi)y=tanα是增函數(shù)，

∴C點在（ab,0)時，α取最大值arctana-b2ab.

即C點在（ab,0）時，∠ACB取最大值，這個最大值為arctana-b2ab.

點評此題是求角的最大值，形式新穎，解法靈活、技巧性強(qiáng)，值得一學(xué).

六、注意數(shù)形結(jié)合，巧用對稱法

例6已知圓C：（x-3)2+(y-1)2=4和直線l:x-y-5=0，在C上求兩點，使它們和l的距離分別是最近和最遠(yuǎn).

解已知圓的圓心為C（3，1），過C點作直線l′⊥l于D，且l′交圓C于A1、A2，又圓是中心對稱圖形，所以A1、A2是與l的距離分別是最近和最遠(yuǎn)的點.離垂足近者為最近距離點，離垂足遠(yuǎn)者為最遠(yuǎn)距離點.

∵直線l的方程為y=x-5,∴kl=1,則kl′=-1.故直線l′的方程為y-1=-(x-3),即y=-x+3+1,解方程組

y=-x+3+1

(x-3)2+(y-1)2=4①

②

把①代入②后，化簡整理，得

2（x-3)2=4,即(x-3)2=2,

∴x-3=±2,x=3±2，代入①得

y1=1-2,y2=1+2.

故所求兩點是（3+2,1-2),(3-2,1+2).

七、注意轉(zhuǎn)化，巧用公式a2+b2≥2ab法

例7設(shè)滿足：（1）截y軸所得弦長為2；（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

解設(shè)圓的圓心為P（a,b)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.

由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧的圓心角為90°，知圓截x軸所得弦長為2r，故r2=2b2.

又圓P截y軸所得長為2,所以有r2=a2+1.從而2b2-a2=1.

又點P（a,b)到直線x-2y=0的距離為d=|a-2b|5.

所以5d2=|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=a2+4b2-2a2-2b2=2b2-a2=1.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，上式等號成立，此時5d2=1，從而d有最小值.此時a=b

2b2-a2=1,解方程組得a=1

b=1,或a=-1

b=-1.由于r2=2b2=2,∴r=2.

于是所求圓的方程是（x-1)2+(y-1)2=2,或（x+1)2+(y+1)2=2.

八、巧變形，用一次函數(shù)的單調(diào)性法

例8在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且c=10,cosAcosB=ba=43,P為△ABC內(nèi)切圓上的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值.

解由cosAcosB=ba，根據(jù)正弦定理，有

cosAcosB=sinBsinA,sinAcosA=sinBcosB,

sin2A=sin2B.

∵A≠B,2A≠2B,∴A+B=π2,故△ABC是直角三角形.由c=10，ba=43,a2+b2=102及a>0,b>0,得a=6,b=8.

圖4如圖4，設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為O′，切點為D、E、F，內(nèi)切圓半徑為r，則2r=a+b-c=6+8-10=4,∴r=2.

建立如圖4的直角坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為

（x-2)2+(y-2)2=4.

設(shè)圓上動點P的坐標(biāo)為（x,y),則P點到A、B、C的距離的平方和為

W=|PA|2+|PB|2+|PC|2

=（x-8)2+y2+x2+(6-y)2+x2+y2

=3［(x-2)2+(y-2)2］-4x+76

=88-4x

∵P點在內(nèi)切圓上，故必有0≤x≤4.

∴W最大值=88；W最小值=72.

點評解此題的關(guān)鍵是證明△ABC為直角三角形，寫出內(nèi)切圓方程（x-2)2+(y-2)2=4,在建立函數(shù)式中湊出（x-2)2+(y-2)2=4，整體代入4，為用一次函數(shù)單調(diào)性創(chuàng)造條件，方法靈活、技巧性強(qiáng)，值得一學(xué).

(收稿日期：2013-06-15)

直線和圓是解析幾何的重要內(nèi)容，而最值問題是其重要題型，解這類題不僅要靈活用到直線和圓的有關(guān)知識，而且還要用到求最值的各種方法，解法相當(dāng)靈活，現(xiàn)舉例方法說明，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考.

一、建立二次函數(shù)用頂點法

例1在直線L∶y=2x上求一點P，使P點到兩定點A（3，0）、B（0，4）的距離的平方和為最小.

解設(shè)P（x,2x)，則有

|PA|2+|PB|2

=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2

=10x2-22x+25

∵a=10>0,∴拋物線開口向上，

∴函數(shù)在頂點處取得最小值.

∴當(dāng)x=-b2a=--222×10=1110時，|PA|2+|PB|2取最小值，故P點坐標(biāo)為（1110，115）.

點評二次函數(shù)求最值一般用配方法，本題只求x的值，所以用頂點法要簡單.

二、設(shè)角為自變量用三角法

例2過點P（2，1）作直線l交x軸、y軸的正向于A、B兩點，求|PA|·|PB|最小時的直線l的方程.

分析此直線過已知點，求出斜率即可，若直接設(shè)斜率為k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.設(shè)角為自變量即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，易求斜率.

圖1解如圖1，過P做PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，設(shè)∠BAO=θ，則∠BPD=θ,則|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.

要使|PA|·|PB|最小，只需sin2θ最大，即sin2θ=1,2θ=90°,∠BAO=θ=45°，∴kAB=kl=tan135°=-1.

故直線l的方程為y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.

三、建立一元二次方程用判別式法

例3已知直線l1∶y=4x，和點P（6，4），在直線l1上求一點Q，使過P、Q的直線與l1以及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形面積最小.

圖2解如圖2，設(shè)Q（x1,4x1)，則直線PQ的方程y-44x1-4=x-6x1-6.

令y=0，得x=5x1x1-1,故點A的坐標(biāo)為（5x1x1-1,0).

∴S=12·4x1·5x1x1-1=10x21x1-1.

即10x21-Sx1+S=0(1)

∵x1為實數(shù)，∴Δ=S2-40S≥0,∵S>0,

∴S≥40，將S=40代入（1）得x21-4x1+4=0.

解方程得x1=2,y1=4x1=4×2=8.

故點Q（2，8）.

點評問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)后為分式函數(shù)，可考慮用判別式法求最值.

四、注意變元為正，用均值不等式法

例4過已知點P（1，4）引一條直線，要使它在兩坐標(biāo)軸上的截距都為正，且它們的和為最小，求這條直線的方程.

解設(shè)在兩個坐標(biāo)軸上的截距分別為a、b，則所求直線方程為xa+yb=1.(1)

將P（1，4）代入方程（1）得

1a+4b=1，

解得a=bb-4,∵a>0,b>0,∴b>4.

設(shè)截距之和為L，則

L=a+b=bb-4+b=b-4+4b-4+b-4+4

=1+4b-4+(b-4)+4=5+(b-4)+4b-4

≥5+2(b-4)·4b-4

=5+24=5+4=9.

當(dāng)且僅當(dāng)b-4=4b-4時取等號，即b=6或b=2.此時a=3或a=-1.又a>0,b>0,∴a=-1舍去.

故所求直線方程是x3+y6=1，即2x+y-6=0.

點評構(gòu)造變元積為定值，求和的最小值.關(guān)鍵是作b=b-4+4的技巧性的變形.

五、注意轉(zhuǎn)化，巧用函數(shù)的單調(diào)性

圖3例5如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸正半軸上（坐標(biāo)原點除外）給定兩點A、B，C點在x軸正半軸上移動，問C點在何處時∠ACB最大，并求最大值.

分析要求角的最值，先取一個函數(shù)，求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是用函數(shù)的單調(diào)性.

解設(shè)A（0，a)、B（0，b),00.令∠ACB=α，于是

tanα=kBC-kAC1+kBCkAC=-bx+ax1+abx2

=a-bx+abx=a-bab(xab+abx)

記y=xab+abx≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=ab時，y取最小值2.

因此，當(dāng)x=ab時，tanα取最大值a-b2ab.

∵在(0,π2)內(nèi)y=tanα是增函數(shù)，

∴C點在（ab,0)時，α取最大值arctana-b2ab.

即C點在（ab,0）時，∠ACB取最大值，這個最大值為arctana-b2ab.

點評此題是求角的最大值，形式新穎，解法靈活、技巧性強(qiáng)，值得一學(xué).

六、注意數(shù)形結(jié)合，巧用對稱法

例6已知圓C：（x-3)2+(y-1)2=4和直線l:x-y-5=0，在C上求兩點，使它們和l的距離分別是最近和最遠(yuǎn).

解已知圓的圓心為C（3，1），過C點作直線l′⊥l于D，且l′交圓C于A1、A2，又圓是中心對稱圖形，所以A1、A2是與l的距離分別是最近和最遠(yuǎn)的點.離垂足近者為最近距離點，離垂足遠(yuǎn)者為最遠(yuǎn)距離點.

∵直線l的方程為y=x-5,∴kl=1,則kl′=-1.故直線l′的方程為y-1=-(x-3),即y=-x+3+1,解方程組

y=-x+3+1

(x-3)2+(y-1)2=4①

②

把①代入②后，化簡整理，得

2（x-3)2=4,即(x-3)2=2,

∴x-3=±2,x=3±2，代入①得

y1=1-2,y2=1+2.

故所求兩點是（3+2,1-2),(3-2,1+2).

七、注意轉(zhuǎn)化，巧用公式a2+b2≥2ab法

例7設(shè)滿足：（1）截y軸所得弦長為2；（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

解設(shè)圓的圓心為P（a,b)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.

由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧的圓心角為90°，知圓截x軸所得弦長為2r，故r2=2b2.

又圓P截y軸所得長為2,所以有r2=a2+1.從而2b2-a2=1.

又點P（a,b)到直線x-2y=0的距離為d=|a-2b|5.

所以5d2=|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=a2+4b2-2a2-2b2=2b2-a2=1.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，上式等號成立，此時5d2=1，從而d有最小值.此時a=b

2b2-a2=1,解方程組得a=1

b=1,或a=-1

b=-1.由于r2=2b2=2,∴r=2.

于是所求圓的方程是（x-1)2+(y-1)2=2,或（x+1)2+(y+1)2=2.

八、巧變形，用一次函數(shù)的單調(diào)性法

例8在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且c=10,cosAcosB=ba=43,P為△ABC內(nèi)切圓上的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值.

解由cosAcosB=ba，根據(jù)正弦定理，有

cosAcosB=sinBsinA,sinAcosA=sinBcosB,

sin2A=sin2B.

∵A≠B,2A≠2B,∴A+B=π2,故△ABC是直角三角形.由c=10，ba=43,a2+b2=102及a>0,b>0,得a=6,b=8.

圖4如圖4，設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為O′，切點為D、E、F，內(nèi)切圓半徑為r，則2r=a+b-c=6+8-10=4,∴r=2.

建立如圖4的直角坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為

（x-2)2+(y-2)2=4.

設(shè)圓上動點P的坐標(biāo)為（x,y),則P點到A、B、C的距離的平方和為

W=|PA|2+|PB|2+|PC|2

=（x-8)2+y2+x2+(6-y)2+x2+y2

=3［(x-2)2+(y-2)2］-4x+76

=88-4x

∵P點在內(nèi)切圓上，故必有0≤x≤4.

∴W最大值=88；W最小值=72.

點評解此題的關(guān)鍵是證明△ABC為直角三角形，寫出內(nèi)切圓方程（x-2)2+(y-2)2=4,在建立函數(shù)式中湊出（x-2)2+(y-2)2=4，整體代入4，為用一次函數(shù)單調(diào)性創(chuàng)造條件，方法靈活、技巧性強(qiáng)，值得一學(xué).

(收稿日期：2013-06-15)