考慮摩擦的擺線錐齒輪參數激勵振動特性研究

劉志峰，郭春華, 楊文通，張志民，蔡力鋼, Jorge Angeles

(1.北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院，北京 100124; 2. Mc Gill University, Canada)

擺線錐齒輪作為傳動部件經常工作在高速、重載、摩擦等復雜工況中。已有諸多以非線性振動理論為基礎、以齒輪嚙合過程中時變剛度、齒側間隙等非線性因素為核心對齒輪系統非線性振動進行的研究[1-3]；但嚙合齒間摩擦也會影響齒輪非線性振動。He等[4-5]通過計入實際時變剛度、比較計算多個齒面潤滑模型摩擦系數發現，不同潤滑模型對傳動誤差影響較小。Liu等[6]建立考慮輪齒間滑動摩擦力、嚙合阻尼兩級齒輪傳動非線性模型，用Peano-Bake 級數及攝動多尺度法研究摩擦因子、阻尼等參數對系統動力學影響。Velex等[7]通過不同摩擦力模型建立三維齒輪動力學模型求解方程，采用接觸算法、分步積分法預測切向力、法向力，通過對比瞬間直、斜齒輪獲知，齒面摩擦對系統傳遞誤差有較大影響。Vaishya等[8-9]建立的考慮齒面摩擦單自由度動力學模型，將時變嚙合剛度簡化為矩形波，會影響齒間載荷分布、齒面摩擦力。Feng等[10]建立的考慮時變摩擦系數準雙曲面齒輪14自由度非線性動力學模型，通過對恒定、時變摩擦系數對齒輪系統動力學行為影響分析表明，時變摩擦系數對準雙曲面齒輪系統動力學行為影響輕微。Chen等[11-12]研究考慮摩擦、時變剛度時直齒輪間隙對齒輪系統動力學響應影響，分析發現低速時，隨摩擦因數的增大系統響應均方值及平均分量增大。林騰蛟等[13]以正交面齒輪為研究對象，建立含時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒面摩擦及齒側間隙等彎-扭耦合非線性動力學模型。結果表明，摩擦系數較小時對系統非線性振動特性影響不大；逐漸增大時系統運動狀態由單周期經倍周期分叉進入混沌運動。王三民等[14]建立計及摩擦、間隙及時變剛度等因素的直齒輪副非線性動力學模型發現，計及摩擦時系統超諧與次諧響應成分增多，且摩擦使混沌吸引子變大，導致系統提前進入混沌狀態。田行斌等[15]提出柔度張量概念,推導弧齒錐齒輪有摩擦承載接觸的數學規劃解法。王延忠等[16]針對高速重載螺旋錐齒輪建立點接觸熱彈流潤滑分析數學模型，采用數值方法求解彈流潤滑狀態下齒面摩擦因數。衛一多等[17]研究摩擦系數、嚙合剛度因子及齒間載荷分配系數等周期雙參變激勵對齒輪系統非線性振動影響。李文良等[18]運用多尺度方法分析考慮摩擦時齒輪系統主共振，并研究摩擦系數、靜態載荷、動態載荷及阻尼系數對主共振頻率響應影響。

以上研究主要為建立齒輪摩擦模型，用實驗方法確定摩擦因數或由摩擦、間隙及剛度進行齒輪動力學分析，均未涉及考慮有無摩擦時參數激勵使齒輪產生振動差異特性的對比分析研究。本文以一對擺線錐齒輪副為研究對象，綜合考察摩擦因子、阻尼、剛度、外載荷、傳遞誤差及激勵頻率等因素對齒輪振動特性影響，對比分析有無摩擦時產生的響應差異性，探索齒輪傳動嚙合特性影響規律，為輪齒減振降噪提供理論支持。

1 數學模型

圖1 擺線錐齒輪嚙合動力學模型

齒輪傳動系統具有明顯的質量集中特點。本文采用集中質量法建立齒輪傳動嚙合模型，見圖1。設系統由僅有彈性無慣性彈簧與僅有慣性無彈性阻尼器組成，并考慮齒面摩擦Ff、時變嚙合剛度K(t)、時變嚙合阻尼C(t)及齒側間隙b等非線性因素。兩相互嚙合的擺線齒輪安裝于空間交錯角90°的兩軸上，主動輪固定坐標系為xp，yp，zp；從動輪固定坐標系為xg，yg，zg。

圖1模型中設兩齒輪支承剛度較大，不考慮支承部件彈性變形及支承軸承等參數對齒輪系統影響。各參量意義見表1。

表1 物理量索引

由Lagrange原理分別得主、從動齒輪扭轉振動平衡方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

輪齒嚙合過程中會產生單對齒嚙合及多對齒嚙合交替變化，使嚙合剛度亦在不斷變化。單齒嚙合區齒輪嚙合綜合剛度較小，嚙合彈性變形較大；雙齒對嚙合區由于兩對齒同時承受載荷，齒輪嚙合綜合剛度較大，嚙合彈性變形較小。隨齒輪副連續運轉輪齒彈性變形呈周期性變化，致齒輪副角速度周期性變化，進而導致齒輪副振動?？紤]摩擦時應將常數嚙合阻尼描述為非線性時變嚙合阻尼，即阻尼項亦含時變參數。將剛度、阻尼及靜態傳遞誤差按傅里葉級數展開，且僅考慮主諧波形式[19]為

(7)

令：

(8)

聯立式(6)～式(8)得無量綱化形式為

(1+μ)[1+ρcos(ωt+φk)]f(x)=

F+γω2cos(ωt+φe)

模型見圖2。

圖2 間隙模型

2 算例分析

以一對擺線錐齒輪副為研究對象，其具體參數見表2。分別研究參變激勵：摩擦因子μ、阻尼因子ξ，α、剛度因子ρ、外載荷F、誤差傳遞系數γ及激勵頻率ω對嚙合振動特性影響。

表2 擺線錐齒輪系統參數

2.1 摩擦因子μ

圖3 μ 影響位移均方根曲線

定義參數ξ=0.1，α=0.01，ρ=0.1，γ=0.2，F=2，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。摩擦因子μ影響嚙合點振動曲線見圖3。由圖3看出，不考慮摩擦(即μ=0)，位移響應曲線幅值為3.33，峰值頻率在ω=0.9～1.0之間；μ=0.1時位移響應曲線幅值為3.18，峰值頻率在ω=1.0處；隨μ增加至0.2、0.3，響應幅值分別為3.02、2.84，峰值頻率分別為ω=1.0、ω=1.1。由此可知，隨摩擦因子增大嚙合點位移振動幅值隨之降低，峰值頻率出現漂移，且有增大趨勢，其它頻率點響應值均隨摩擦因子增大而減小。

2.2 常數阻尼因子ξ

定義參數α=0.01，ρ=0.1，γ=0.2，F=2，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦時阻尼因子ξ對嚙合點振動位移影響曲線見圖4、圖5。由圖4知，μ=0，ξ=0.1、0.2、0.3時振動位移響應幅值分別為3.33、3.21、3.12，峰值頻率在ω=0.9～1之間；由圖5知μ=0.3，ξ=0.1、0.2、0.3時振動位移響應曲線幅值分別為2.84、2.72、2.63，峰值頻率均在ω=1.1處。由此可見，常數阻尼因子可有效降低振動位移幅值、減小輪齒變形。考慮摩擦較不考慮摩擦時位移響應幅值降低，峰值頻率出現漂移。

2.3 諧波阻尼因子α

定義參數ξ=0.1，ρ=0.1，γ=0.2，F=3，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦時諧波阻尼因子α對嚙合點振動位移影響曲線見圖6、圖7。由圖6看出，μ=0，α=0.00、0.01、0.05時振動位移響應曲線幅值在峰值頻率ω=1處分別為4.52、4.50、4.44；峰值頻率ω=2處分別為4.12、4.13、4.19；由圖7看出，μ=0.3，α=0.00、0.01、0.05時振動位移響應曲線幅值在峰值頻率ω=1.1處分別為3.82、3.80、3.76；峰值頻率ω=2.3處分別為3.37、3.38、3.40。由此可見，諧波阻尼因子可影響振動位移峰值，在某些頻率點處隨諧波阻尼因子增大響應幅值降低，在某些頻率點處則隨其增大而增大。考慮摩擦較不考慮摩擦時位移響應幅值降低，峰值頻率出現漂移。

圖4 μ=0 時 ξ 影響位移均方根曲線

圖7 μ=0.3時 α 影響位移均方根曲線

2.4 剛度因子ρ

定義參數ξ=0.1，α=0.01，γ=0.2，F=2，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦時剛度因子ρ對嚙合點振動位移影響曲線見圖8、圖9。由圖8看出，μ=0，ρ=0.1、0.2、0.3時有2個峰值域，分別為ω=0.9，ω=1.8～2。ω=0.9對應振動位移響應曲線幅值分別為3.3、3.9、5.3；ω=1.8～2對應振動位移響應曲線幅值分別為3.1、3.5、5.8；由圖9看出，μ=0.3，ρ=0.1、0.2、0.3時，亦有2個峰值域，分別為ω= 0.9 ～1.1，ω=2.1～2.3。ω=0.9～1.1處振動位移響應曲線幅值分別為2.84、2.96、3.76；ω=2.1～2.3處振動位移響應曲線幅值分別為2.59、2.73、2.92。由此可見，隨剛度因子的增大位移響應曲線幅值增大，輪齒發生彈性變形增大，不利于齒輪副平穩傳動?？紤]摩擦較不考慮摩擦時位移響應幅值降低，峰值頻率出現漂移。

2.5 外載荷F

定義參數ξ=0.1，α=0.01，ρ=0.1，γ=0.2，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦時外載荷F對嚙合點振動位移影響曲線見圖10、圖11。由圖10看出，μ=0，F=1、2、3時振動位移響應曲線幅值分別為2.2、3.3、4.5，峰值頻率在ω=0.9～1之間；由圖11看出，μ=0.3，F=1、2、3時振動位移響應曲線幅值分別為1.86、2.84、3.81，峰值頻率均在ω=1.1處。由此可見，隨外載荷的增大位移響應曲線幅值增大，輪齒變形量增大?？紤]摩擦較不考慮摩擦時位移響應幅值降低，峰值頻率出現漂移。

2.6 傳遞誤差因子γ

定義參數ξ=0.1，α=0.01，ρ=0.1，F=3，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦時傳遞誤差因子γ對嚙合點振動位移影響曲線見圖12、圖13。由圖12看出，μ=0，γ=0.2、0.4、0.6時振動位移響應曲線幅值分別為4.5、4.85、5.7，峰值頻率在ω=0.9～1之間；由圖13看出，μ=0.3，γ=0.2、0.4、0.6時振動位移響應曲線幅值分別為3.81、3.88、4.63，峰值頻率在ω=1～1.1之間。由此可見，隨傳遞誤差增大位移響應曲線幅值增大，輪齒變形量增大，從而加劇輪齒振動，不利于齒輪平穩傳動?？紤]摩擦較不考慮摩擦時位移響應幅值降低，峰值頻率出現漂移。

圖10 μ=0時 F 影響位移均方根曲線

圖13 μ=0.3時 γ 影響位移均方根曲線

2.7 激勵頻率ω

定義參數ξ=0.03，α=0.01，ρ=0.01，F=1，γ=0.1，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦時激勵頻率ω對嚙合點振動時間-位移曲線及時間-速度曲線見圖14、圖15。由圖14看出，不同激勵頻率引起的位移響應不同。不考慮摩擦時，以ω=0.1、1.0、1.5為例，ω=0.1時位移響應迅速衰減，在t=250后步入穩態，振幅在x=2附近上下波動；ω=1.0時位移曲線呈現周期變化；ω=1.5時位移曲線漸近衰減，經t=150后保持一定幅值水平。考慮摩擦時時間歷程曲線均經一段時間后進入穩態，且幅值水平較不考慮摩擦時低。由圖15看出，振蕩幅值衰減速度考慮摩擦較不考慮摩擦時快。

不考慮摩擦時激勵頻率ω=1.0、2.0、3.0對應的嚙合點軌跡相圖序列見圖16。由圖16看出，不同激勵頻率下運動軌跡呈現差異，但軌跡均為倍周期運動。考慮摩擦μ=0.3時，激勵頻率ω=1.0、2.0、3.0對應的嚙合點軌跡相圖序列見圖17。由圖17看出，不同激勵頻率對應不同運動軌跡，ω=1.0時系統為倍周期運動狀態；ω=2.0、3.0時由倍周期運動進入混沌運動。無摩擦時系統為有序運動狀態；考慮摩擦時系統運動狀態由有序進入無序。由此可見，激勵頻率與摩擦均會改變系統運動狀態，增加系統運動的復雜性。

圖14 不同 μ 時ω 影響時間-位移曲線

圖15 不同 μ 時ω 影響時間-速度曲線

圖16 μ=0時不同ω下相圖序列

圖17 μ=0.3時不同ω下相圖序列

3 結 論

本文考慮摩擦及參數激勵影響建立擺線錐齒輪副嚙合模型，并推導、求解動力學方程，給出齒輪副振動響應關系曲線。通過分析結論如下：

(1) 常數阻尼可單方向降低振動幅值，減小輪齒變形，增強齒輪傳動平穩性；諧波阻尼在主峰值點可降低幅值，在次峰值點趨勢相反。

(2) 剛度、外載荷及傳遞誤差升高均可增大位移響應幅值及輪齒變形，不利于輪齒平穩嚙合。

(3) 摩擦可有效降低位移響應幅值。有摩擦較無摩擦時阻尼、剛度、外載荷及傳遞誤差等變參量所致幅值響應明顯降低；峰值頻率出現漂移。本文仿真結果最大響應幅值降幅比為49.7%，最小響應幅值降幅比為13.9%；峰值頻率漂移0.1～0.3個單位。

(4) 不同激勵頻率會使系統呈現不同穩態響應，且步入穩態過程收斂速度與步調有差異。

(5) 摩擦及激勵頻率均可能改變系統運動狀態，增加系統運動的復雜性。

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