復合隨機振動系統的動力可靠性矩獨立重要性測度及態(tài)相關參數解法

張屹尚，劉永壽，趙 彬，翟紅波

(西北工業(yè)大學 工程力學系 飛行器可靠性工程研究所，西安 710129)

可靠性靈敏度反映設計參數改變對可靠度影響程度。工程中可用于確定結構可靠性優(yōu)化設計的最優(yōu)解搜索方向。隨機荷載作用的機械、結構系統需同時考慮結構隨機性與激勵隨機性復合隨機，其動力可靠性靈敏度求解難度較大[1]。喬紅威等[2]采用基于加權非線性響應面法的Monte-Carlo可靠性靈敏度分析方法求解動力可靠性靈敏度。唐帆等[3]基于攝動法分析多源激勵下隨機結構靈敏度。Valdebenito等[4]據Bootstrap方法求解隨機激勵下線性系統可靠性靈敏度。以上主要研究隨機激勵下隨機結構的局部靈敏度，即某個輸入變量取名義值(一般為均值)時動力可靠度的偏導數，因而考慮某變量靈敏度時無法考慮其它變量變異性所致影響，具有一定局限性。

基本變量的重要性測度(Importance Measure, IM)又稱全局靈敏度分析, 研究輸入變量不確定性對模型輸出響應不確定性(數值或其他)的貢獻程度，可依次確定其實驗或研究的優(yōu)先級別,能綜合考慮輸入變量在值域內取值時對輸出響應的平均影響，因而廣受重視[5-7]。為有效定量度量隨機激勵下隨機結構輸入變量對動力可靠度影響大小，對輸入變量進行全局靈敏度分析。已有的重要性測度可分為非參數方法重要度[8]、基于方差方法重要度[9]及矩獨立方法重要度[10]。Cui等[11]提出矩獨立基本變量對系統失效概率的重要性測度，并分析其性質。

本文用分布信息損失少的矩獨立重要性測度指標(Moment-Independent Importance Measure)，結合隨機激勵下首超可靠性分析方法提出度量輸入變量對隨機結構動力可靠度概率影響的矩獨立重要性測度。其結果可定量反映隨機結構參數對隨機激勵下動力可靠性影響程度, 提高結構可靠性優(yōu)化設計。針對可靠性矩獨立重要性測度Monte-Carlo法求解效率，采用高效模型估計法-態(tài)相關參數法(SDP)計算動力測度指標[12-13]，用算例說明方法的合理性及正確性。并以Monte-Carlo數值模擬法結果為標準，檢驗SDP方法計算重要性測度精度及效率。

1 隨機變量對結構動力可靠性重要性測度

1.1 基于首超準則的動力可靠性分析

基于首次超越破壞準則的動力可靠性一般指結構控制點動力響應(如位移、應力等) 首次超越安全界限值的可靠性，簡稱結構首超動力可靠性。首超破壞可靠性主要有單側界限、雙側界限兩種。其中雙側界限定義為若結構動力響應y(τ)絕對值在時間[0,t]內不超過安全界限值b的概率，即

R(t)=Pr{-b≤y(τ)≤b,0<τ

(1)

動力首超破壞分析基礎為響應y(τ)與安全界限的交叉次數。采用基于交叉次數為Markov過程的雙側首超動力可靠度計算公式[14]為

(2)

譜矩ak計算式為

(3)

式中：Syy(ω)為動力響應y(τ)的自功率譜密度函數。

考慮結構隨機性與激勵隨機性的復合動力學可靠性時，采用無條件可靠度分析公式考慮復合隨機情況下動力參數隨機性[15-16]。設結構參數隨機變量向量X反映質量矩陣M、剛度矩陣K、阻尼矩陣C的隨機性，則隨機結構無條件動力可靠度表達式為

Rf(t)=∫XR(t)xfX(x)dx

(4)

式中：R(t)x為在結構參數x時的可靠度；fX(x)為X的聯合概率密度函數。

1.2 隨機結構動力可靠性重要性測度指標定義

設系統有n個不確定性基本變量X=[X1,X2,…Xn]及隨機結構動力可靠度R(t)x。將隨機振動結構的基本輸入變量XI對動力可靠性重要性測度指標[11]定義為

(5)

式中：XI為單個基本變量或一組基本變量；Rf(t)為隨機結構無條件動力可靠度；Rf|XI(t)為XI為某一值時Rf(t)的條件動力可靠度；fXI(xI)為基本輸入變量XI的聯合概率密度函數。

式(5)表征輸入變量XI在隨機分布域內變化對結構動力可靠度影響程度。由于式(5)定義中絕對值符號不利于運算，本文將其等價轉換為平方運算，等價轉換后輸入變量XI的動力可靠度重要性測度記為δXI：

(6)

由式(6)看出，等價轉換后動力可靠重要性測度可有效反映輸入變量對可靠性模型分布概率影響程度。動力可靠性精確表達式可表示為輸入變量聯合概率密度函數在安全域中的積分，其數學期望形式為

Rf(t)=∫XR(t)xfX(x)dx=E[R(t)x]

(7)

式中：E[·]為數學期望算子。

相對無條件動力可靠性概率函數，給定輸入變量XI時響應量條件動力可靠度可表達為

Rf|XI(t)=E[R(t)x|XI]

(8)

式中：R(t)x|XI為相應條件動力可靠度響應函數。

將式(7)、(8)分別代入式(6)，利用概率統計中數學期望與方差間關系，可得動力可靠性概率矩獨立重要性測度為

δXI=EXI{[E(R(t)x)-E[R(t)x|XI]]2}

(9)

全期望公式為

(10)

式中：V[·]為方差算子。

至此，本文所提δXI能有效反映基本變量不確定性對輸出動力可靠度影響程度，可為有效增加輸出動力可靠度提供更多參考信息。

2 動力可靠性矩獨立重要性測度求解方法

2.1 動力可靠性矩獨立重要性測度狀態(tài)相關參數法(SDP)

狀態(tài)相關參數法(State Dependent Parameter，SDP)模型由Young[17]提出，為基于遞歸濾波及平滑估計的非參數光滑方法。Ratto等[12]成功將其應用于參數重要性分析中。采用SDP 方法求解響應量的條件期望E(Y|Xi)，給定單個基本輸入變量條件下功能響應輸出值Y=g(X)，條件期望E(Y|Xi)(i=1,2,…n)可據一階函數高維分解模型(HDMR)求出，具體過程[13,18]為：據輸入變量聯合概率密度函數采用一定抽樣策略隨機抽取N個樣本Xt(t=1,2,…N)，獲得相應輸出Yt(t=1,2,…N)，考慮Y=g(X)的一階截斷HDMR[13]可表示為

Yt-g0=g1(X1,t)+g2(X2,t)+

…+gk(Xk,t)+o(XX′)

(11)

式中：Yt表示(t=1,2,…N)時刻響應量Y的狀態(tài)；g0=E(Y)；gi(Xi,t)=E(Y|Xi,t)-g0(t=1,2,…,N)為樣本標號；o(XX′)為高階誤差。

設所有高階項近似服從正態(tài)分布的高斯白噪聲，即將截斷HDMR視為隨機非線性系統[13]。每項gi(Xi,t)均依賴于輸入變量Xi,t，因此可將其視為狀態(tài)相關參數進行估計。考慮基本變量Xt(t=1,2,…N)對響應量Y的作用，估計響應輸出條件期望E(Y|Xi,t)的態(tài)相關模型[13]可表示為

Yt=E(Y|Xi,t)+ei,t=

pi,t(X1,t)+ei,tei,t～N(0,σ2)

(12)

式中：et為觀測干擾，即不能用E(Y|Xi,t)表示的項；pi,t為隨狀態(tài)變量X1變化的SDP狀態(tài)相關參數，為基本變量X1的函數。

據控制理論相關內容，狀態(tài)空間SDP模型為

(13)

求解SDP模型(13)中狀態(tài)相關參數pi,t(i=1,…,k)等價于求解HDMR中一階項。SDP模型參數pi,t(i=1,…,k)求解步驟[17]為

(1) 以某種隨機形式描述pi,t的變化，即采用通用隨機步(GRW)類如GRW中隨機步(RW)或積分隨機步(IRW)過程。

(3) 在循環(huán)向后擬合過程(backfitting procedure)中用遞歸Kalman濾波(Kalman Filtering, KF)及相應遞歸固定區(qū)間光滑(Fixed Interval Smoothing, FIS)法則估計各狀態(tài)相關參數(式(12))。

按以上求解條件期望SDP方法知，需一組輸入輸出樣本值便可將HDMR中所有一階項(動力可靠度的條件期望E(Y|XI)(I=1,2,…,n))一次性求解。該方法不僅適用于連續(xù)函數，亦適用于非光滑及不連續(xù)函數[17]。為給定單個基本輸入變量條件下動力可靠度的條件數學期望E(R(t)x|XI)求解提供了高效途徑。可將動力可靠度函數R(t)x視為隨機輸入變量函數。只需在條件期望求解中將動力可靠度函數R(t)x的值視為相應輸出值，用求解功能響應量Y條件期望相同思路求得動力可靠度條件期望E(R(t)x|XI) ，再據給定公式求出單個輸入變量動力可靠性重要性測度。

2.2 SDP法與MC法比較

高效的Monte-Carlo數值模擬法[19]可用于求解動力可靠性矩獨立重要性測度。求解給定單個基本輸入變量條件下動力可靠度條件數學期望E(R(t)x|XI)的過程為：

(1) 據聯合分布密度fX(x)隨機抽取N1個樣本形成矩陣A為

(14)

再隨機抽取N2個樣本形成矩陣B為

(15)

式中：n為變量個數。

相對普通的Monte-Carlo法，本文選偏差更小的擬Monte-Carlo法[20]進行矩陣A，B樣本抽樣。

(2) 求解條件動力可靠度指標(R(t)x|Xi)，固定矩陣A中第(k,i)(k≤N1,i≤n)個元素，且替換矩陣B中第i列，生成新矩陣C

(16)

(17)

隨機抽取樣本量N1，N2越大時擬Monte-Carlo 數值模擬法求解條件期望越準確。SDP 方法只需一組模型輸入輸出值，所有給定輸入條件下動力可靠度條件期望均可一次性進行估計。本文動力可靠度矩獨立重要性測度可通過式(10)求得，SDP方法計算量不依賴變量維數。該方法可用任何Monte-Carlo樣本，尤其用低偏差樣本時，實現過程簡單靈活。

3 算例分析

3.1 單自由度振子體系平穩(wěn)位移響應可靠性分析

單自由度線性體系受單源平穩(wěn)隨機激勵時運動方程[21]為

(18)

式中：m，k，c為質量、剛度、阻尼；ζ=c/(2mk)為系統阻尼，用無量綱參數；f(t) 為平穩(wěn)隨機過程，自譜為常值Sff(ω)=S0=1，取ω=[0,10]。

圖1 Monte-Carlo法抽樣次數與結果變化曲線

圖2 SDP法抽樣次數與結果變化曲線

表1 單自由度線性體系動力可靠性重要性測度

3.2 十六桿結構動力可靠性矩獨立重要性測度

圖3 十六桿桁架結構

表2 十六桿結構動力可靠性重要性測度

設結構參數E，ρ，a為互不相關、服從正態(tài)分布的基本隨機變量，變異系數v=0.1相同,分析第6節(jié)點y方向位移動力可靠性矩獨立重要性測度。圖1十六桿結構對輸出不確定性影響較大的隨機變量重要性排序為E,a,ρ。因此，在十六桿桁架結構動力學可靠性設計、優(yōu)化中需注重對輸出影響較大E,a重要變量信息的收集，最大程度減小結構整體不確定性水平。亦可在十六桿結構動力學可靠性設計中優(yōu)先考慮確定重要性程度高的隨機變量以改善系統可靠性，對某些重要性程度低的隨機變量降維以簡化分析過程。較t=1000 s，1100 s動力可靠性重要性測度，本例結構的可靠性重要性測度值隨時間的延長而增大。

分析以上兩算例知，本文SDP法只需求解2 000即可一次性獲得全部輸入變量的條件期望，進而進行動力可靠性重要性測度計算；用Monte-Carlo法計算全部輸入變量次數為n×108(n為變量維數)。本文方法調用功能函數的次數大大低于Monte Carlo法, 且兩種方法所得重要性指標誤差均在工程允許范圍內，表明用SDP方法計算輸入變量的重要性測度可行、高效。

4 結 論

(1) 研究隨機激勵下隨機結構動力學可靠性重要性測度，有效分析基本輸入變量對結構動力學可靠性影響，具有重要現實意義。

(2) 提出基于基本輸入變量對動力可靠性矩獨立重要性測度，給出各基本變量對可靠性貢獻度，建立矩獨立重要性測度求解的態(tài)相關參數(SDP)法。

(3) SDP法可避免計算過程對變量維數的依賴，能提高樣本利用率，減少變量矩獨立重要性指標求解計算量。并用算例證明該方法的可行性及高效性，可用于大型復雜工程結構動力可靠性重要性測度分析。

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