多跨體外預應力連續梁動力特性研究-模態解析解

石魯寧，閆維明，何浩祥，陳彥江

(北京工業大學 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京 100124)

結構動力特性的重要指標為頻率、振型，對其進行數值求解或求得解析表達具有重要工程意義。現有求解方法主要有兩類，即離散方法與連續方法。前者將結構視為多自由度離散體系，其計算精度取決于結構離散自由度數量；后者將結構視為分布參數體系，建立無限自由度體系運動方程，將模態參數求解歸結為超越方程問題求解。對簡支梁等簡單結構，連續方法可求得解析解[1-2]，但連續梁等復雜結構解析解較難求得；連續梁有預應力作用時，預應力與模態參數關系較難確定，僅依靠有限元方法對具體結構求解無法獲得規律性結果。因此需研究多跨預應力連續梁模態解析解。Ayaho等[2]研究體外預應力加固組合梁的動力特性，推導出雙折線形式體外預應力簡支梁振動方程，并分析預應力及預應力鋼筋轉角等參數對組合梁自振頻率影響。Hamed等[3]通過試驗研究有、無粘結預應力對簡支梁自振頻率影響。Hamed等[4-5]研究帶裂縫預應力梁的動力特性，分析軸向力對頻率振型影響。宗周紅等[6]通過試驗研究預應力對混凝土簡支梁動力特性影響。方德平等[7]用能量法分析體外預應力對簡支梁動力特性影響。Li[8]基于漸進Timoshenko梁理論研究軸向荷載作用下彈性支承及梁段集中質量剪切梁的振動特性。以上研究均未考慮預應力對連續梁動力特性影響。Luo[9]研究軸向力作用下無限長等間距支承梁的橫向振動問題，分析不同軸向載荷對梁振動特性影響。王小崗等[10-11]利用狄拉克函數建立的多跨連續梁振動方程求解異常復雜，工程實踐中較難普及。熊學玉等[12]研究兩等跨體外預應力連續梁動力特性，引入狄拉克函數建立兩跨連續梁振動方程，而求解三跨及三跨以上連續梁振動方程較困難，且未給出具有普遍意義多跨體外預應力多跨連續梁的頻率方程解析解。

關于三跨及三跨以上預應力連續梁振動特性研究多限于數值模擬，理論研究尚不成熟。本文基于Ayaho等[2,12]理論研究方法，據多跨預應力連續梁結構特點及力法基本原理建立體外預應力變化量與位移的函數關系，將連續梁視為滿足邊界條件的多個單跨梁，采用分段聯立方法建立多跨體外預應力連續梁振動方程組，簡化預應力連續梁振動方程求解，求得多跨預應力連續梁頻率方程與多跨體外預應力連續梁自振頻率及振型。

1 多跨預應力連續梁振動方程

1.1 預應力簡支梁振動方程

圖1 受動力荷載體外預應力簡支梁

非均勻預應力簡支梁見圖1，沿梁長x方向變化的等效抗彎剛度為EI(x)，單位長度質量為m(x)，作用于梁上預應力為N。梁橫向荷載P(x,t)及橫向位移μ(x,t)隨位置、時間任意變化。設梁的運動為平面彎曲，預應力N沿x向無損失，簡支梁在預應力作用下彎曲振動方程[2,12-13]為

(1)

式中：Nx為預應力N水平分量；ΔN為隨振動位移變化所致預應力改變量；H為預應力鋼筋等效偏心距，預應力鋼筋在不同梁橫截面位置上偏心距不相同，需按彎矩圖面積相等原則計算。

1.2 多跨預應力連續梁振動方程

n(n≥2)跨預應力連續梁材料為均勻、連續各向同性且變形滿足平面假，見圖2。設第i跨等效抗彎剛度為EIi(x)，單位長度質量為mi(x)，作用于第i跨上預應力為Ni，橫向荷載為Pi(x,t)，梁的橫向位移為μi(x,t)。

圖2 受動力荷載多跨預應力連續梁

圖3 受動力荷載第i跨梁段

以第i跨梁段為研究對象，見圖3。設第i跨梁段起點i的轉角為θi,i+1，彎矩為Mi,i+1，終點i+1處轉角為θi+1,i，彎矩為Mi+1,i。第i跨振動方程為

(2)

多跨預應力連續梁第i(1≤i≤n)跨自由振動方程為

(3)

第i(2≤i≤n-1 )跨梁段與相鄰跨彎矩、轉角需滿足：

(4)

首跨及末跨與其相鄰跨彎矩、轉角需滿足：

(5)

等截面多跨預應力連續梁第i(1≤i≤n)跨自由振動方程可簡化為

(6)

顯然，n跨預應力連續梁振動方程為滿足彎矩、轉角條件的n個單跨振動方程組成的方程組。本文公式推導以等截面多跨體外預應力連續梁為例。為求解多跨預應力連續梁自由振動方程組需先求得振動過程中預應力變化量ΔN與梁體振動位移μ(x,t)之關系。

1.3 預應力變化量與梁位移關系

多跨體外預應力連續梁在自由振動過程中預應力變化量ΔN隨梁體振動位移μ(x,t)變化而變化，梁體自由振動處于小變形狀態，幾何變形上可近似認為預應力變化量ΔN與梁體豎向振動位移μ(x,t)成正比[2,12]。設跨中作用集中力F，先求F與ΔN關系，再求F與μ(x,t)關系，由代換求ΔN與μ(x,t)關系。

圖4 連續梁邊跨簡化模型及內力圖

多跨預應力連續梁邊跨(i=1、n)近似簡化結構見圖4。設梁跨中作用集中力F，將預應力變化量與中間支座彎矩作為多余未知力X1，X2，去掉多余聯系獲得基本體系，求單位力X1=1，X2=1及集中力F作用下彎矩圖(圖4)。建立變形協調方程為

(7)

由式(7)解得：

(8)

邊跨梁段在跨中集中力F作用下，跨中豎向位移μF為

(9)

整理式(8)、(9)得ΔN與μF關系為

(10)

梁體內預應力鋼筋產生的次內力作用使預應力產生改變量ΔN，而次內力作用使梁段產生與μF方向相反的豎向位移μΔN。求出邊跨次內力產生的豎向位移μΔN為

(11)

邊跨梁段在F作用下產生的豎向位移μ為

μ=μF-μΔN

(12)

將式(10)、(11)代入式(12)整理得：

ΔN=φμ

(13)

(14)

圖5 連續梁中間跨簡化模型及內力圖

多跨預應力連續梁中間跨(2≤i≤n-1)可近似簡化為圖5結構。設梁段跨中作用集中力F，將預應力變化量與支座彎矩作為多余未知力X1，X2，X3，求得單位力X1=X2=X3=1及集中力F作用下彎矩圖(圖5)，建立變形協調方程為

(15)

式中：δij，ΔiF按式(7)計算。由式(15)解得：

(16)

式中：

中間跨梁段在F作用下豎向位移μF為

(17)

中間跨梁段在F作用下由次內力產生的豎向位移μΔN為

(18)

中間跨梁段在F作用下產生的豎向位移μ與預應力變化量ΔN的函數關系式同式(12)。同理求得：

(19)

1.4 等效偏心距求解

H為等效偏心距，將預應力作用彎矩按面積相等原則等效為沿梁長均布求得H[2,12]。由圖5可求得中間跨預應力效應引起的彎矩MN為

(20)

MN彎矩圖面積為

(21)

由式(21)得：

(22)

同理，由圖4可求得邊跨等效偏心距H為

(23)

將式(14)、(19)代入式(6)可得多跨體外預應力連續梁自由振動方程組為

(24)

2 多跨預應力連續梁頻率及振型

2.1 振動方程求解

文獻[7,12,14]利用狄拉克函數建立的連續梁振動方程不易求得三跨及以上連續梁頻率方程，因此本文將多跨預應力連續梁振動方程求解轉化為滿足彎矩、轉角條件的多個單跨振動方程求解，且可方便獲得頻率方程。據式(24)多跨體外預應力連續梁第i跨振動方程可化簡為

(25)

該方程采用分離變量法求解[13,15]，設定解形式為

ui(x，t)=φi(x)Y(t)

(26)

將解的形式代入式(32)得：

φ″″i(x)+g2φ″i(x)-a4φi(x)=0

(27)

Y″(t)+ω2Y(t)=0

(28)

式(27)為四階常系數微分方程，設解的形式為Φi(x)=Gesx，代入方程得：

s1，2=±ihi,s3，4=±ini

(29)

式中：

代入Φi(x)=Gesx得方程通解為

φi(x)=G1eihix+G2e-ihix+G3enix+G4e-nix

(30)

式中：G1，G2，G3，G4為復常數。

用三角函數、雙曲函數等價替換指數函數，并令式(30)中虛部為零，得：

φi(x)=Asin(hix)+Bcos(hix)+

Csinh(nix)+Dcosh(nix)

(31)

式中：A，B，C，D為實常數，可由梁端邊界條件(位移、轉角、彎矩等)求出，從而獲得預應力梁自振頻率及振型。

2.2 振型方程求解

圖3中第i(1≤i≤n)跨梁段兩端位移、彎矩需滿足：

(32)

利用式(31)及對x二階偏導數，由式(32)求得：

(33)

將系數A，B，C，D代入式(31)可得第i(1≤i≤n)跨振型函數表達式。

2.3 頻率方程求解

第i(1≤i≤n)跨梁段由振型函數式(33)微分一次得轉角方程：

θi(x)=[Mi+1，i-Mi，i+1cos(hiLi)]cos(hix)-

[Mi+1，i-cosh(niLi)Mi，i+1]cosh(nix)-

Mi，i+1sin(hiLi)sin(hix)-

Mi，i+1sinh(niLi)sinh(nix)

(34)

式中：

因Mi=Mi,i+1=Mi,i-1，支座i(2≤i≤n)兩側轉角為

θi，i+1=[ψicosh(hiLi)-

ηicos(hiLi)]Mi-(ψi-ηi)Mi+1

(35)

θi，i-1=(ψi-1-ηi-1)Mi-1-[ψi-1cosh(ni-1Li-1)-

ηi-1cos(hi-1Li-1)]Mi

(36)

n跨連續梁相鄰兩跨轉角需滿足θi,i-1=θi,i+1，其中2≤i≤n，由式(35)、(36)得：

Xi-1Mi-1+(Yi-1+Yi)Mi+XiMi+1=0

(37)

式中：Xi=ψi-ηi;Yi=ηicos(hiLi)-ψicosh(niLi)。

以上方程組共有n-1個方程、n+1個未知數，整理成矩陣形式為

CM=0

(38)

式中：M=[M1,M2,…,Mn+1]T

n跨連續梁需滿足M1=Mn+1=0，整理式(38)得：

C0M0=0

(39)

式中：M0=[M2,M3,…,Mn]T

式(39)系數矩陣為稀疏帶狀矩陣；n跨預應力連續梁在任意激勵下式(39)必存在非零解，且恒成立：

(40)

式(40)即n跨體外預應力連續梁頻率方程。通過計算可得該方程前n個正根，即該n跨體外預應力連續梁豎向前n階頻率。n跨體外預應力連續梁橫向振動頻率按本文方法可同樣求得，參數φ，H為考慮預應力鋼筋橫向作用效應時求得。由式(40)可得兩跨體外預應力連續頻率方程為

η1cos(h1L1)-ψ1cosh(n1L1)+

η2cos(h2L2)-ψ2cosh(n2L2)

(41)

三跨體外預應力連續梁頻率方程為

[η1cos(h1L1)-ψ1cosh(n1L1)+

η2cos(h2L2)-ψ2cosh(n2L2)]×

[η2cos(h2L2)-ψ2cosh(n2L2)+η3cos(h3L3)-

ψ3cosh(n3L3)]-[ψ2-η2]2=0

(42)

3 公式、試驗與有限元分析

3.1 兩跨體外預應力連續梁頻率方程驗證

文獻[16]對一矩形截面體外預應力兩跨連續梁進行試驗，并測得自振頻率。試驗梁高0.36 m，寬0.17 m，材料彈性模量用實測值2.68×104MPa，預應力鋼筋彈性模量為1.98×105MPa，預應力鋼筋用2根1860級φ15.2鋼絞線，每根預應力鋼絞線有效預應力為140 kN，計算跨度(4.3+4.3) m。由式(41)所得自振頻率及試驗梁自振頻率、實測頻率及有限元結果[12]見表1。

由表1知，本文公式計算所得兩跨體外預應力連續梁基頻與試驗結果吻合較好；與有限元及文獻[12]計算連續梁基頻及有限元結果相對誤差分別在2.62%，2.9%以內，從而驗證本文利用分段聯立方法建立多跨體外預應力連續梁動力方程及所得的頻率方程的正確性；利用本文方法所求兩跨體外預應力連續梁自振頻率具有足夠精度。本文方法亦可求解多跨體外預應力連續梁自振頻率。

表1 兩跨體外預應力連續梁自振頻率公式、試驗及有限元結果

3.2 三跨體外預應力連續梁頻率方程驗證

利用推導的三跨體外預應力連續梁頻率方程式(42)求解三跨體外預應力連續梁自振頻率及振型，并與有限元分析結果對比。三跨體外預應力連續梁見圖6，高1.0 m，寬0.7 m，計算跨度(10+ 16+10)m；混凝土等級C35；預應力鋼筋為4根1860級φ15.2鋼絞線，每根預應力鋼絞線有效預應力140 kN，預應力鋼筋布置簡化為多折線形式。

圖6 三跨體外預應力連續梁示意圖

求解式(42)，頻率方程根分布情況見圖7，三跨體外預應力連續梁前四階振型見圖8，三跨體外預應力連續梁自振頻率、有限元結果見表2。

圖7 三跨體外預應力連續梁頻率方程根分布

圖8 三跨體外預應力連續梁振型圖

表2 三跨體外預應力連續梁分析結果

由表2知，本文方法所求三跨體外預應力連續梁基頻與有限元結果相對誤差為1.22%，連續梁前四階頻率與有限元分析結果平均誤差在3%內，滿足工程需要。利用本文推導方程可準確求得結構動力參數、有效指導工程實踐。

4 結 論

(1) 詳細推導多跨體外預應力連續梁的振動方程，給出多跨體外預應力連續梁頻率方程解析解。

(2) 給出多跨體外預應力連續梁振動過程中預應力變化量ΔN與位移μ(x,t)關系計算式及等效偏心距H計算式。

(3) 對兩、三跨體外預應力連續梁，本文公式計算結果與文獻[12]、實測及有限元結果吻合較好；驗證本文推導的多跨體外預應力連續梁頻率方程的正確性。本文公式也適用三跨以上體外預應力連續梁動力參數求解，將本文理論成果編寫程序予以推廣，可有效指導工程實踐，具有重要工程意義。

(4) 本文基于Bernoulli-Euler梁理論推導的多跨體外預應力連續梁的振動方程適用于梁撓度遠小于梁長度情況，且計算精度足夠。

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