SH波在界面孔上散射的遠(yuǎn)場(chǎng)解

陳志剛

(1.暨南大學(xué) 力學(xué)與土木工程系，廣州 510632；2.暨南大學(xué) 重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510632)

界面缺陷對(duì)彈性波散射的研究與許多工程實(shí)際問題密切相關(guān)，因此多年來(lái)一直倍受國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注[1-7]。對(duì)于界面非裂紋型缺陷，劉殿魁等[3]首先用Green法求解了兩種介質(zhì)交界面上圓孔對(duì)SH波的散射，此后劉殿魁等[4-6]進(jìn)一步研究了界面多圓孔、界面夾雜和界面襯砌對(duì)SH波的散射問題。何鐘怡等[7]則應(yīng)用波函數(shù)展開法求解了界面孔對(duì)SH波的繞射問題。但以上的研究均著眼于界面孔附近動(dòng)應(yīng)力集中現(xiàn)象，對(duì)界面孔遠(yuǎn)場(chǎng)特性的關(guān)注很少，而已有關(guān)于遠(yuǎn)場(chǎng)特性的研究成果都是針對(duì)界面圓形缺陷的[8-10]。彈性波在界面孔附近產(chǎn)生的散射波場(chǎng)既能夠引起局部的應(yīng)力集中現(xiàn)象，同時(shí)也攜帶有孔洞的形狀、尺寸和位置等特征信息。由于彈性波散射場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)信息中也可以提取出缺陷自身的一些特征信息，對(duì)于材料和工程結(jié)構(gòu)的無(wú)損檢測(cè)有重要的意義，是反問題研究中的基本課題之一。本文將研究SH波在兩種介質(zhì)交界面處的非圓形孔洞上散射的遠(yuǎn)場(chǎng)解，考察不同形狀的界面孔對(duì)波散射的遠(yuǎn)場(chǎng)特性的影響。

1 計(jì)算模型

在彈性介質(zhì)Ⅰ和Ⅱ的界面處，存在有邊界為S的任意形狀的孔洞，直線L為兩種介質(zhì)的交界，介質(zhì)Ⅰ的剪切模量為μ1，密度為ρ1，介質(zhì)Ⅱ的剪切模量為μ2，密度為ρ2，界面上任意形孔洞的SH波散射模型如圖1所示，圖中r和θ為復(fù)平面z(xoy坐標(biāo)系)上的極坐標(biāo)。

圖1 SH波入射界面孔模型

研究界面上孔洞對(duì)SH波的散射，可按“契合”問題進(jìn)行處理，首先考慮由具有兩種不同材料常數(shù)(μ1，ρ1)和(μ2，ρ2)的彈性半空間Ⅰ、Ⅱ“契合”而成的無(wú)孔洞全空間中SH波的入射問題，穩(wěn)態(tài)諧和的平面SH波入射于契合的全空間，入射波w(i)在復(fù)平面z上可寫成

(1)

由于界面的存在，在介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ中分別存在反射波w(r)和折射波w(f)在復(fù)平面z上可寫成

(2)

(3)

把入射波w(i)、反射波w(r)和折射波w(f)分別作為入射波入射到含有任意形孔洞的全空間介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中，因此,產(chǎn)生的散射波場(chǎng)在映射平面η上[11],可分別表示為

(4)

(5)

(6)

式(4)、(5)和(6)中未知系數(shù)分別應(yīng)用孔邊應(yīng)力自由的邊界條件確定。映射函數(shù)z=ω(η)將在復(fù)平面z中任意形孔洞的外域映射到復(fù)平面η上單位圓的外域。將映射函數(shù)z=ω(η)代入式(1)，經(jīng)整理入射波作用的含孔洞的全空間介質(zhì)Ⅰ邊界條件可表示為

(7)

式中：

n=0,1,2,…,m

(8)

2 Green函數(shù)

為了求解界面孔洞在SH波作用下的散射場(chǎng)，需構(gòu)造一個(gè)含任意形凹陷的彈性半空間在水平表面上任意一點(diǎn)承受時(shí)間諧和的反平面線源荷載作用時(shí)的位移解，該位移函數(shù)即為適合于求解本文問題Green函數(shù)。Green函數(shù)的詳細(xì)的推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[12]，其表達(dá)式為

(9)

3 定解積分方程

w(t1)=w(i)+w(is)+w(r)+w(rs)

(10)

(11)

w(t2)=w(f)+w(fs)

(12)

(13)

然后，將介質(zhì)Ⅰ構(gòu)成的下半空間和介質(zhì)Ⅱ構(gòu)成的上半空間“契合”在一起，構(gòu)成界面孔模型，如圖1所示。為了滿足剖面上的連續(xù)條件，需分別在介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的剖分面上施加待定的外力系f1(r0,θ0),f2(r0,θ0)，在剖面上應(yīng)滿足應(yīng)力連續(xù)條件

(14)

滿足剖面上的位移連續(xù)條件，得到求解外力系f1(r0,θ0)的定解積分方程組

f1(r0,0)[G1(r,π,r0,0)+G2(r,π,r0,0)]=

G2(r,π,r0,π)dr0-

f1(r0,0)[G1(r,0,r0,0)+G2(r,0,r0,0)]dr0=

G2(r,0,r0,π)dr0-

(15)

式中，G1,G2分別為介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ中的Green函數(shù)，由式(9)所定義。

定解積分方程屬于半無(wú)限域上含弱奇異性的第一類Fredholm積分方程，其奇異性表現(xiàn)為Green函數(shù)的像點(diǎn)與源點(diǎn)重合時(shí)，被積核函數(shù)呈對(duì)數(shù)奇異性。可采用求解弱奇異積分方程組的直接離散法，利用散射波的衰減特性，將積分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，求解出在一系列離散點(diǎn)上附加外力系的值，使問題獲得解答。

4 遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式

散射波場(chǎng)的各個(gè)分量包括幾何波場(chǎng)對(duì)孔產(chǎn)生的散射波w(is)、w(rs)和w(fs)以及界面附加外力系產(chǎn)生的散射波w(f1)和w(f2)，介質(zhì)Ⅰ中，總的散射位移場(chǎng)為

wⅠs(r,θ)=w(is)(r,θ)+w(rs)(r,θ)+w(f1)(r,θ)=

(16)

介質(zhì)Ⅱ中，總的散射位移場(chǎng)為

wⅡs(r,θ)=w(fs)(r,θ)+w(f2)(r,θ)=

(17)

將式(9)表述的Green函數(shù)首項(xiàng)中的Hankel函數(shù),利用Bessel函數(shù)的Graf加法公式展開為

上述公式右邊的F(Ⅰ)和F(Ⅱ)即分別為介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的散射波遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式

F(Ⅰ)(θ)=F(is)(θ)+F(rs)(θ)+F(f1)(θ)=

(18)

F(Ⅱ)(θ)=F(fs)(θ)+F(f2)(θ)=

(19)

5 界面孔對(duì)SH波散射的散射截面

對(duì)于承受穩(wěn)態(tài)波SH波作用的界面孔，在一個(gè)周期T=2π/ω的時(shí)間間隔內(nèi)，能流通量的時(shí)間平均值為：

(20)

式中:

散射界面是指散射波遠(yuǎn)場(chǎng)的總能量與入射波在單位面積上的時(shí)間平均能通量之比，將上述總散射能量與入射波在單位面積上的時(shí)間平均能通量

(21)

用γ表示這兩個(gè)能量之比

(22)

6 算例和討論

本文計(jì)算和分析界面上橢圓形和帶有圓角的方形孔的散射遠(yuǎn)場(chǎng)，映射函數(shù)ω(η)分別為

(23)

(24)

式中：a和b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸，R=(a+b)/2，m=(a-b)/(a+b)，c為正方形邊長(zhǎng)的一半。按式(23)和(24)將含橢圓孔和方孔介質(zhì)的外域映射為映射平面上單位圓外域，給出了不同材料組合時(shí)界面孔引起的散射波遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式隨角度的變化以及散射截面隨入射波數(shù)的變化曲線。上下介質(zhì)不同材料的組合用兩個(gè)與材料常數(shù)有關(guān)的無(wú)量綱參數(shù)μ*=μ2/μ1和k*=k2/k1表示。

圖2給出了SH波垂直界面入射時(shí)，界面橢圓孔引起的散射波場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式的分布圖。圖2中μ*=1.0和k*=1.0的參數(shù)組合對(duì)應(yīng)于均勻介質(zhì)中橢圓孔對(duì)SH波散射的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式，與文獻(xiàn)[13]中的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式的結(jié)果一致。由于兩種介質(zhì)交界面的存在，界面橢圓孔引起的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式的幅值在某個(gè)方向上明顯高于均勻介質(zhì)情況，隨入射波數(shù)k1a的增加，遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式幅值的空間分布趨于復(fù)雜，并表現(xiàn)出很強(qiáng)的方向性。SH波垂直界面入射時(shí)，由于幾何邊界的對(duì)稱性，其遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式幅值圖像對(duì)稱于y軸。在相同的介質(zhì)參數(shù)μ*和k*組合下，當(dāng)垂直界面的入射波數(shù)k1a相同時(shí)，界面橢圓孔的遠(yuǎn)場(chǎng)位移幅值要高于界面圓孔[8]的遠(yuǎn)場(chǎng)位移幅值，這說明波垂直于橢圓孔的長(zhǎng)軸，在波傳播方向上橢圓扁平，引起了波在這個(gè)方向上更多的散射能量。從圖2也可以看出，在相同入射波數(shù)k1a作用下，在波傳播速度小的一側(cè)介質(zhì)中散射波的遠(yuǎn)場(chǎng)位移幅值比波速大的一側(cè)高，這說明介質(zhì)的軟硬及其組合對(duì)散射波輻射有著顯著地影響。

圖2 SH波垂直界面入射時(shí)界面橢圓孔散射的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式

圖3 SH波垂直界面孔入射時(shí)界面橢圓孔散射的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式(μ*=5.0)

圖3給出了SH波垂直界面入射時(shí)，在μ*=5.0和不同的k*時(shí)，界面橢圓孔的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式分布。在剪切模量和密度大的一側(cè)介質(zhì)中遠(yuǎn)場(chǎng)位移的幅值明顯偏小，這說明散射波的遠(yuǎn)場(chǎng)位移受介質(zhì)特性的影響很大，界面孔的散射遠(yuǎn)場(chǎng)特性既受孔洞幾何形狀的影響，也受到介質(zhì)特性和兩種介質(zhì)組合參數(shù)特性的影響。

圖4給出SH波與界面成45°角傾斜入射時(shí)，界面橢圓孔的遠(yuǎn)場(chǎng)位移分布。由于入射波傳播方向不垂直于界面，界面橢圓孔的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式分布圖形不再對(duì)稱于y軸或其它方向，且遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式分布圖趨于復(fù)雜。

圖4 SH波傾斜界面入射時(shí)界面橢圓孔的散射遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式

圖5給出了SH波垂直界面入射時(shí)，界面方孔引起的散射波場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式的分布。從圖可以看出，在不同參數(shù)組合下，在正方四角方向上可能會(huì)出現(xiàn)更高的遠(yuǎn)場(chǎng)位移幅值，與界面圓孔和橢圓孔相比，遠(yuǎn)場(chǎng)位移輻射方向發(fā)生了很大的變化。

圖5 SH波垂直界面入射時(shí)界面方孔散射的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式

圖6和圖7給出SH波垂直入射兩種不同材料界面橢圓孔時(shí)，散射截面隨入射波數(shù)k1a的變化曲線。當(dāng)μ*=1.0和k*=1.0時(shí)，圖中實(shí)線表示均勻介質(zhì)中橢圓孔的散射截面值，從圖中可以看出，界面橢圓孔散射產(chǎn)生的總散射能量明顯有別于均勻介質(zhì)的情況，隨著入射波數(shù)k1a的增大，在某些頻段出現(xiàn)散射截面值會(huì)明顯增大，且上下介質(zhì)材料的性質(zhì)相差越大，這種現(xiàn)象越明顯。當(dāng)k*=1.0，而μ*變化時(shí)，界面橢圓孔的散射截面值隨著入射波數(shù)的變化圍繞著均勻介質(zhì)時(shí)對(duì)應(yīng)的散射截面值呈波動(dòng)變化，在μ*>1和μ*<1時(shí)，散射截面曲線的波峰和波谷相互交替出現(xiàn)。在k*=1.0的情況下，當(dāng)材料組合參數(shù)μ*變化時(shí)，散射截面曲線交替變化點(diǎn)的位置基本不變，與界面圓孔[8]相比，散射截面曲線交替變化點(diǎn)的位置發(fā)生移動(dòng)。

圖6 SH波垂直界面橢圓孔入射在k*不同時(shí)散射截面隨入射波數(shù)的變化

圖9 SH波垂直界面方孔入射在k*不同時(shí)散射截面隨入射波數(shù)的變化

圖8和圖9給出SH垂直界面入射時(shí)，界面方孔的散射截面值隨入射波數(shù)k1c的變化曲線。散射截面曲線的變化規(guī)律與界面橢圓的相似，在某個(gè)頻段內(nèi)散射截面值明顯增大，但出現(xiàn)這種現(xiàn)象的頻段與界面橢圓有很大的不同。當(dāng)k*=1.0，而μ*變化時(shí)，散射截面曲線交替變化點(diǎn)的位置與界面橢圓時(shí)有很大差別，說明這時(shí)孔洞的形狀對(duì)散射截面值產(chǎn)生了很大的影響。

7 結(jié) 論

采用Green函數(shù)和復(fù)變函數(shù)方法研究了平面SH波在界面孔上散射問題的遠(yuǎn)場(chǎng)解，通過算例分析了界面橢圓孔和方孔散射的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式和散射截面值隨介質(zhì)特性、入射方向和入射波數(shù)的變化規(guī)律，從數(shù)據(jù)分析中可以得到以下結(jié)果：

(1) 界面孔對(duì)SH波散射，其散射波的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式和散射截面的變化，與無(wú)量綱入射波數(shù)、兩種介質(zhì)的剪切模量比μ*、兩種介質(zhì)的波數(shù)比k*和波的入射角度，且孔的形狀的影響非常顯著。

(2) 對(duì)于界面孔的遠(yuǎn)場(chǎng)解答，入射波數(shù)起重要作用，隨入射波數(shù)的增加，遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式的分布曲線變化趨于復(fù)雜，且表現(xiàn)出很強(qiáng)的方向性。界面孔散射界面值的變化明顯有別于均勻介質(zhì)情況下的規(guī)律，在某個(gè)頻段內(nèi)散射截面值會(huì)明顯增大。

(3) 在界面處介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生急劇的變化，界面孔的散射能量在某個(gè)頻段內(nèi)會(huì)出現(xiàn)明顯增大的現(xiàn)象，特別是在低頻段能量異常增大，應(yīng)予以充分的重視。

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