均勻熱環(huán)境下四邊固支矩形PCB薄板的自由振動

高 軍，黃再興

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016)

表面貼裝技術(shù)(SMT)以其成本低、集成度高、電子組件重量輕、易于自動化等優(yōu)點廣泛應(yīng)用于微電子電路[1-2]。影響表面貼裝電子產(chǎn)品可靠性的主要環(huán)境因素是熱和振動沖擊,特別是在環(huán)境振動和熱載荷的復(fù)雜環(huán)境下，兩類載荷共同影響貼裝形式元器件的內(nèi)力情況，導(dǎo)致振動產(chǎn)生的動態(tài)應(yīng)力和熱疲勞應(yīng)力相互疊加引起封裝的失效，從而影響整個封裝形式可靠性與壽命。同時，這兩種載荷相互間產(chǎn)生耦合，并非僅僅只表現(xiàn)為兩種載荷作用的簡單疊加。目前，已發(fā)現(xiàn)大型的工作站隨工作溫度升高到一定程度會產(chǎn)生共振，從而會影響其正常工作。明顯地，這是由熱環(huán)境溫度的變化導(dǎo)致封裝結(jié)構(gòu)固有頻率改變帶來的問題。該問題涉及封裝結(jié)構(gòu)固有頻率與環(huán)境溫度的相互耦合，但目前還缺乏定量的研究。

已有學(xué)者分別對振動和熱環(huán)境下表面貼裝形式電子元器件的結(jié)構(gòu)和可靠性進(jìn)行了一些研究[3-6]。但是，由于與熱循環(huán)載荷相比，振動載荷具有高頻特性，兩者的周期相差較遠(yuǎn)，在處理這兩種載荷同時作用時具有較大的困難，所以綜合考慮環(huán)境振動和熱載荷共同作用下電子封裝可靠性以及壽命預(yù)測的研究較少。如朱繼元[7]等利用ANSYS軟件,通過考慮材料參數(shù)隨溫度變化的因素對振動的影響來分析熱和振動耦合的問題。Barker 等[8-9]提出線性疊加的方法考慮熱和振動耦合載荷對可靠性的影響，分別計算振動載荷和熱載荷引起的損傷，然后將兩者線性疊加。鄧定宇等[10]考慮溫度產(chǎn)生的平均應(yīng)力對振動損傷計算的影響，采用遞增損傷累積方法計算疲勞壽命。從目前研究現(xiàn)狀來看，并未從根本物理機(jī)制上去確定熱和振動耦合作用對電子封裝結(jié)構(gòu)的影響。

因表面貼裝的封裝結(jié)構(gòu)中PCB板為鑲嵌于上一級封裝結(jié)構(gòu)，或者沿邊界完全固定于其他裝置中[3-6]，其中PCB薄板可以認(rèn)為是四邊固支的矩形薄板。為此本文忽略表面貼裝形式中PCB板上其他元件，將PCB板簡化為四邊固支矩形薄板，通過對熱載下薄板自由振動的分析來確定表面貼裝結(jié)構(gòu)中PCB薄板的熱和振動載荷的相互影響。文中基于剛性板的小撓度理論，推導(dǎo)了熱載下矩形PCB薄板的自由振動微分方程，進(jìn)而利用虛位移理論得出了四邊固支矩形薄板基本頻率和自由振動撓度值的計算方法。并討論了薄板的幾何尺寸、溫度等對PCB薄板自由振動固有頻率的影響。

1 熱載下PCB薄板振動微分方程

在目前的研究中，PCB板可考慮為連續(xù)、均勻的各向同性彈性薄板，同時PCB板的變形和內(nèi)力狀態(tài)均認(rèn)為不影響結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)過程和溫度場的變化。現(xiàn)取一尺寸為a×b×h的PCB矩形薄板進(jìn)行分析，坐標(biāo)如圖1所示。

圖1 PCB薄板模型

根據(jù)剛性板和小撓度理論的基本假設(shè)[11-12]，有

u=-zw,xv=-zw,y

(1)

式中，u,v和w分別為沿x,y和z軸方向的位移。

所以薄板的幾何方程為：

(2)

因不計應(yīng)力分量σz引起的應(yīng)變，所以熱環(huán)境下薄板物理方程可寫為：

(3)

式中α為材料的線膨脹系數(shù)，E為材料的彈性模量，μ為材料的泊松比，T=T(x,y,z)是薄板中任意一點的變溫。由式(2)和式(3)求解應(yīng)力分量得：

(4)

薄板單位寬度上的內(nèi)力和內(nèi)力矩可以用應(yīng)力沿厚度方向積分得到：

(5)

將式(4)代入(5)得：

(6)

根據(jù)經(jīng)典薄板的小撓度理論，其動力平衡方程為[13-14]：

(7)

式(7)中前兩式是獨立的，將式(6)代入式(7)的第三式得：

D4w+(φ,xx+φ,yy)-

N(w,xx+w,yy)+ρhw,tt=0

(8)

式中：

由于溫度在面內(nèi)均勻變化，則

φ,xx+φ,yy=0

(9)

將式(9)代入式(8)得：

D4w-N(w,xx+w,yy)+ρhw,tt=0

(10)

式(10)即為PCB薄板在熱載作用下基于小撓度理論的自由振動微分方程。從微分方程中可以看出，熱載下的薄板振動等效于面內(nèi)受均布張力N的薄板振動。

2 PCB薄板熱載下溫度場分析

為了分析溫度作用下PCB薄板的振動規(guī)律，必須確定薄板溫度場的分布。PCB板表面正常工作中的電子芯片產(chǎn)生熱量，使得薄板一側(cè)溫度升高。為簡單起見認(rèn)為電子芯片的熱量均勻傳到所在一側(cè)的表面，表面各處的溫度均相等。薄板熱量從高溫面?zhèn)飨虻蜏孛妫瑴囟葍H沿厚度方向均勻線性變化。設(shè)薄板各點初始溫度均相同，則熱環(huán)境下薄板各點溫度可表示為：

(11)

式中，T1表示上表面的變溫值，T2表示下表面的變溫值。

將式(11)代入式(6)第一式得，

(12)

薄板內(nèi)力N表達(dá)式中負(fù)號表示當(dāng)薄板溫度增加時，薄板內(nèi)產(chǎn)生壓應(yīng)力；當(dāng)溫度降低時，薄板內(nèi)產(chǎn)生拉應(yīng)力。

將式(12)代入式(10)得熱載下PCB薄板自由振動微分方程：

當(dāng)由于電子封裝結(jié)構(gòu)的工作環(huán)境整體溫度升高，引起PCB薄板溫度變化時，薄板上下表面變溫相等，即T1=T2，此時：

N=-EαhT1

(14)

此時自由振動微分方程為：

D4w+EαhT1(w,xx+w,yy)+ρhw,tt=0

(15)

3 PCB薄板熱載下自由振動

按照結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法，四邊固支的薄板等效于四邊為簡支的基本系統(tǒng)，同時四條邊上作用著連續(xù)分布的彎矩[15]。熱載下四邊固支的PCB薄板如圖2(a)可等效為圖2(b)所示四邊簡支基本系統(tǒng)，同時作用著均布張力和連續(xù)分布的彎矩。在y=0,y=b這兩條邊上作用著隨各點位置x而變化的彎矩M(x)，在x=0,x=a這兩條邊上作用著隨各點位置y而變化的彎矩M(y)。

圖2 四邊固支PCB薄板簡化模型

設(shè)薄板等效基本系統(tǒng)在振動時瞬時撓度[16]為：

(16)

式中，ω為薄板的自振頻率，系數(shù)amn可用虛位移原理來計算。當(dāng)板作對稱形式的振動時，其固定邊上所作用的彎矩各為M(x)sin(ωt),M(y)sin(ωt)。根據(jù)虛位移原理，當(dāng)amn增為amn+δamn時，慣性力所做的功為：

(17)

沿板邊界上作用的彎矩所作的功為：

(18)

式中Em和Fn分別為將彎矩M(x)和M(y)展成正弦級數(shù)時的系數(shù)，即

(19)

于是當(dāng)虛位移進(jìn)行時，外力所作的功為：

(20)

薄板內(nèi)變形能的增量為：

sin2ωtamnδamn

(21)

由虛位移原理δU=δT得：

(22)

將式(22)代入式(16)得薄板的振動撓度為：

(23)

當(dāng)薄板為正方形板時a=b，并且Nx=Ny=N，則彎矩沿四邊的分布相同，于是Fn=En，則式(23)變?yōu)椋?/p>

(24)

由于薄板的四邊固定，有：

(25)

將式(24)代入式(25)的第一式得：

(26)

于是：

(27)

利用文獻(xiàn)(15)附錄中式(28)，

(28)

方程(27)可寫作，

(29)

式中，

(30)

方程(29)為一組無窮聯(lián)立方程，且方程系數(shù)與薄板頻率ω有關(guān)，利用齊次方程組有非零解的條件，使它的系數(shù)矩陣等于零，就可得到無窮個根，其中最小的一個根就是振動的基本頻率。其中方程的個數(shù)在實際的計算中根據(jù)精度要求取有限項。將計算得到的基本頻率代回方程(29)解聯(lián)立方程可得Em，從而可由式(19)得到分布在固定邊上的彎矩值。將Em以及基本頻率代入式(24)即可計算振動中各點撓度值。

4 PCB薄板振動的影響分析

為了具體分析溫度以及其他因素對熱載下PCB板自由振動固有頻率的影響，取文獻(xiàn)[17]中PCB板材料以及尺寸數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值計算，參數(shù)如表1所示。其中PCB板為高度1 mm邊長10 mm的正方形板。

表1 PCB板材料參數(shù)

圖3 薄板頻率隨溫度變化曲線

假定電子封裝結(jié)構(gòu)的工作環(huán)境整體溫度從室溫25℃升高到125℃，即薄板變溫T從0℃到100℃。通過式(14)即可計算薄板在不同的變溫下引起的內(nèi)力N，內(nèi)力值此時為負(fù)值表示溫度升高薄板內(nèi)產(chǎn)生壓應(yīng)力。取方程組(29)的前四項，將內(nèi)力N的值代入方程，并取這四階系數(shù)矩陣等于零，即可得到四邊固支PCB薄板在不同溫度下自由振動的基本頻率ω，如圖3所示。

從圖中可以看出，隨著溫度的上升，薄板基本頻率近似呈線性下降。薄板內(nèi)的壓應(yīng)力降低了薄板的抗彎能力，進(jìn)而降低了薄板的固有頻率。反之當(dāng)溫度降低時，薄板內(nèi)拉應(yīng)力可使得薄板的抗彎能力提高，進(jìn)而提高薄板的固有頻率。

通過計算薄板邊長從10 mm到100 mm變化時的基本頻率值，分析PCB薄板的尺寸對熱載下薄板固有頻率的影響。假定PCB薄板的溫度從室溫25℃升高到45℃，即薄板的變溫T為20℃。圖5所示為薄板在不同邊長情況下的基本頻率變化曲線。從圖中可以看出，薄板的邊長對基頻影響很大，邊長從10 mm到20 mm之間急劇下降，之后趨于平緩變化。

圖4 薄板頻率隨邊長變化曲線

5 結(jié) 論

本文將PCB板簡化為四邊固支的矩形薄板，推導(dǎo)了熱環(huán)境下四邊固支矩形薄板的自由振動微分方程，將熱載下四邊固支薄板振動問題轉(zhuǎn)換為受面內(nèi)均布張力固支薄板振動問題。通過虛位移原理，得出了計算熱載下四邊固支PCB薄板自由振動固有頻率和撓度值的方法。

利用固有頻率計算方法，討論了熱載下溫度、薄板的幾何尺寸對PCB矩形薄板自由振動固有頻率的影響。隨薄板溫度升高基本頻率近似呈線性降低，溫度降低頻率則近似線性升高。正方形薄板固有頻率隨薄板的邊長增大而下降，在邊長到達(dá)某一值時，頻率變化趨于平緩。本文結(jié)果可為電子封裝結(jié)構(gòu)中矩形PCB板在熱載下的振動分析以及固有頻率的計算提供參考。

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