基于變尺度法的進給系統結構參數辨識方法研究

吳子英，劉宏昭，王 勝，劉麗蘭，姚美倩

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

進給伺服系統是數控機床的核心組成部分，是一種精密的位置跟蹤與定位系統。一般由控制單元、伺服電機、機械傳動部件、執行元件和檢測反饋環節等組成。其中，機械傳動部件是指將電機的旋轉運動變為工作臺的直線運動的整個機械傳動鏈，包括絲杠螺母副、齒輪裝置等中間傳動機構。在進行進給系統動力學研究過程中，其結構參數的準確與否對系統動力學建模與動態特性分析均有著重要的影響。因此，準確合理地識別出系統結構參數是實現系統動態分析與控制的一個關鍵問題。

目前機械結構的參數辨識多依靠系統的輸入輸出信息，而且往往需要系統輸入是斜坡或簡諧等規則信號，然而對于大多數工況運行機器而言，尤其是閉環控制下的進給系統，其輸入信息的準確獲得具有一定難度。

本文針對數控機床進給系統提出了一種簡單有效的結構參數辨識方法。該方法將進給系統簡化為單自由度系統模型，建立了進給系統臨界爬行速度與其結構參數間的非線性函數關系，并結合優化理論，提出了利用臨界爬行速度和BFGS變尺度法辨識進給系統結構參數的新思路。該方法不依賴于系統輸入信息，僅需要工作臺臨界爬行速度數據就可以辨識出相關的結構參數，方法簡單易于實施。

1 進給系統結構描述

進給系統的一般結構如圖1所示，主要由伺服電機、齒輪箱、滾珠絲杠、螺母副、支撐軸承、工作臺和導軌等組成。絲杠通過螺母帶動工作臺，將伺服電機的旋轉運動轉換成工作臺的直線運動。目前，隨著伺服電機技術的發展，在負載不大的情況下通常取消了齒輪箱，采用電機和滾珠絲杠直連的方式，縮短了機械傳動鏈，提高了控制精度。而對于重型數控車床來說，該齒輪箱為減速箱，用于提高傳動軸的轉矩。

2 進給系統力學建模

對于圖1所示的進給系統進行建模時作如下兩點假設：①螺母的質量相對于工作臺的質量忽略不計；②電機軸與軸1之間的聯軸器多采用撓性聯軸器，在錐套充分鎖緊情況下，忽略其變形影響，假設為剛性連接?；诒疚哪康暮退岢龅姆治龇椒?，需將整個進給系統等效為一個單自由度系統，如圖2所示。

在圖2中，Me為等效質量，Ke為等效剛度，Ce為等效粘性阻尼，Ff為導軌滑動摩擦力，v為等效質量的驅動速度，x為等效質量的位移。在假設驅動速度為常數的情況下，根據文獻[4]可得到質量塊Mc發生臨界爬行運動時的驅動速度的表達式為

(1)

式中，μs為靜摩擦系數，μc為動摩擦系數，ξ為阻尼比。

2.1 等效質量計算

針對圖1所示進給系統，根據動能等效原則，將電機轉子、中間各軸及軸上齒輪、絲杠軸及絲杠軸上齒輪的轉動慣量都向工作臺等效，得到系統的等效質量為

(2)

式中，Jm為電機轉子轉動慣量,J1為軸1轉動慣量,J2為軸2轉動慣量,Jbs為絲杠軸轉動慣量,Jgi為軸上各齒輪轉動慣量(i=1,2,3,4),M′為工作臺質量,λ為絲杠的導程，r為旋轉運動與線性運動的轉換系數[7]r=λ/2πm/rad;i1,i2為各級嚙合齒輪的傳動比。

2.2 等效剛度計算

在圖1所示的進給系統中，主要存在傳動軸扭轉剛度、齒輪嚙合剛度、絲杠的扭轉剛度和軸向剛度、絲杠螺母副軸向接觸剛度及絲杠支承軸承的軸向支承剛度。通常情況下，絲杠支承軸承的軸向剛度都較其他剛度要大得多，可按剛性支承來處理。在圖2的等效單自由度力學模型中，為了獲得系統等效剛度Ke，首先需要計算出傳動鏈中的各子環節剛度。

(1)軸的扭轉剛度

根據材料力學中軸的扭轉剛度計算公式，傳動軸扭轉剛度Kθ及絲杠軸的扭轉剛度Kθbs可按下式計算

(3)

(4)

式中，G為剪切彈性模量;d為齒輪軸軸徑;dbs為絲杠直徑;l為軸長或者絲杠跨距。

(2)絲杠的軸向剛度

對于兩端止推支承的絲杠，其軸向剛度為[4]

(5)

式中，a為工作臺位置到絲杠左端支承點的距離;E為彈性模量。

(3)齒輪嚙合剛度

雖然齒輪在嚙合過程中存在雙齒嚙合區和單齒嚙合區，其嚙合剛度在運行過程中有時變特征，但為了簡化齒輪嚙合剛度計算，根據國家標準[5]，每一對齒輪的嚙合剛度可按下式計算

Ki=(0.75εa+0.25)c′ (i=1,2,…,p)

(6)

且有

(7)

(4)綜合扭轉剛度

綜合扭轉剛度Kefθ主要由兩部分組成，一部分是由各軸的扭轉剛度等效后的扭轉剛度Kefθ1，另一部分是由各對嚙合齒輪的嚙合剛度等效后的扭轉剛度Kefθ2。即

(8)

各軸的等效扭轉剛度Kefθ1的計算是將各個軸的扭轉剛度向絲杠軸等效，即

(9)

式中，Kθi為各軸的扭轉剛度(i=1,2)。

同理，各級齒輪嚙合剛度的等效扭轉剛度Kefθ2為

(10)

式中，mni(i=1,2)為各級嚙合斜齒輪的法面模數。

(5)絲桿螺母副軸向接觸剛度

根據Hertz理論，可推導出滾珠絲杠螺母副的軸向剛度Knut計算公式[6]

Knut=Nz/δB

(11)

式中，Nz為工作載荷;δB為工作載荷沿軸向位移;

為了簡化計算，絲杠螺母副的軸向剛度通常按照定常值處理，其值可由出廠廠家提供。

綜上，在上述各剛度計算的基礎上，等效剛度Ke由絲杠螺母副的軸向接觸剛度、絲杠扭轉剛度、絲杠軸向剛度和綜合扭轉剛度組成，即:

(12)

3 結構參數辨識

3.1 誤差函數

將式(2)-式(12)代入式(1)可得到理論上臨界爬行速度vc是各齒輪的模數mn、螺旋角β、軸的等效直徑di、絲杠直徑dbs、絲杠跨度l以及絲杠導程λ等諸多系統結構參數的非線性函數，即

vc=vc(mn,β,di,dbs,l,λ,x)

(13)

通過對進給系統進行測試實驗，可以得到工作臺不同進給位置下的臨界爬行速度的測試數據，即Vcs。這樣可以建立理論計算量vc和測試量Vcs的誤差函數e，即

(14)

從而根據誤差最小原理，利用公式(14)，再借助無約束優化方法可將系統結構參數辨識出來。在諸多優化方法中，變尺度法是一種應用較為廣泛且易于實現的方法，本文采用了BFGS變尺度法進行最小尋優。

3.2 變尺度法

變尺度法[8]是在克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計算量大的缺點的基礎上發展起來的。其基本思想是：利用牛頓法的迭代形式，然而并不直接計算Hessian矩陣[H(x(k))]-1，而是用一個對稱正定矩陣A(k)近似的代替[H(x(k))]-1，在迭代過程中，不斷改進，最后逼近[H(x(k))]-1。

變尺度法最初的幾步迭代與梯度法類似，函數值的下降是最快的，而在最后的幾步迭代，變尺度法與牛頓法相近，可較快地收斂到極小點。同時變尺度法避免了計算Hessian矩陣及其逆矩陣，從而克服了牛頓法計算量大的缺點，但保留了較快的收斂速度。因而在目標函數的梯度容易計算的情況下，變尺度法是一種很有效的方法。

BFGS變尺度法迭代公式為

A(k+1)=A(k)+ΔA(k)

(15)

修正矩陣ΔA(k)的形式為

(16)

其中，Δg(k)=f(x(k+1))-f(x(k)),Δx(k)=x(k+1)-x(k)。

BFGS變尺度法具體迭代步驟如下：

步驟1：選定初始點x0，并給定控制精度；

步驟2：置k=0，A(k)=A(0)=I(單位矩陣)，從而得到搜索方向為：s(k)=-A(k)f(x(k))=-A(k)g(k)；

步驟4：計算g(k+1)=f(x(k+1))，如果，則x(k+1)為極小點，停止迭代，否則轉步驟5；

步驟5：檢查迭代次數，若k=n，則令x(0)?x(k+1)，轉步驟2，若k

步驟6：計算g(k+1)、Δg(k)=g(k+1)-g(k)，Δx(k)=x(k+1)-x(k)及A(k+1)=A(k)+ΔA(k)，

步驟7：構造新的搜索方向：s(k+1)=-A(k+1)f(x(k))=-A(k+1)g(k)，然后令k?k+1，并轉向步驟3。

4 數值仿真

本節以圖3所示的直連式進給系統為例進行數值仿真實驗，驗證所提辨識方法的可行性。該系統無齒輪箱減速環節，工作臺兩支撐點間的跨距為1 m，理論結構參數由表1給出。

圖3 直聯式進給系統結構簡圖

表1 進給系統理論結構參數

基于圖2所示的力學建模思想，將該系統簡化為單自由度系統，其動力學方程為

(16)

采用四階龍格庫塔法進行數值仿真，得到工作臺處在不同位置時的臨界爬行速度點，如圖4所示。為了增加優化分析的數據量，采用曲線擬合方法對離散的速度點進行擬合，通過比較發現四次多項式擬合的曲線與理論點吻合較好，因此將對四次多項式擬合出的曲線上的數據進行分析。

根據數值仿真實驗得到的數據，采用變尺度法辨識出直連式進給系統的結構參數如表2所示。

圖4 仿真的臨界爬行速度點及其擬合曲線

表2 辨識結果及相對誤差

從表2的相對誤差值可以看出，變尺度法能夠通過優化辨識出系統結構參數且具有較高的辨識精度。仿真中絲杠直徑的辨識精度最高，相對而言，絲杠的導程辨識精度略差，相對誤差達到3.5%。

5 實驗及結果分析

5.1 測試系統

以圖5所示的某重型數控車床橫向進給系統為實驗對象，結構簡圖如圖1所示。該系統為全閉環控制，含有二級斜齒輪減速機構，工作臺裝有光柵尺，可直接測量工作臺的直線位移，將信號反饋給伺服電機。

圖5 重型數控車床橫向進給系統及測量裝置

測試裝置如圖5所示，實驗中所使用的儀器有：英國Renishaw XL激光干涉系統測試軟件一套；XL-80激光器；三腳架；XC-80環境補償裝置；線性測量鏡組；用于將鏡組安裝到待測平臺上的安裝組件；筆記本電腦一臺。

5.2 臨界爬行速度測試結果

測試過程中令機床主軸停止轉動，橫向進給系統空載運行。由于所測試的橫向進給系統的行程為1 000 mm，為了測量工作臺在不同位置處的臨界爬行速度，本次測試共取了8個測點，如圖6所示。

利用圖5中的實驗測量裝置，通過反復多次測量取平均值，得到了在各個測點處工作臺發生臨界爬行運動時的速度值，具體數據列于表3中。并且圖7給出了工作臺位置與臨界爬行速度的關系曲線。

圖6 測點布置圖

表3 臨界爬行速度測量數據

圖7 臨界爬行速度測點及其擬合曲線

5.3 辨識結果及誤差分析

根據圖7中的四次擬合曲線的數據，采用變尺度法辨識得到圖5中進給系統的絲杠直徑、導程及斜齒輪法向模數等結構參數如表4所示。表中理論值為廠家提供。

表4 辨識結果及相對誤差

從表4中可以看出，絲杠軸和絲杠長度的辨識精度最低，誤差分別達到10%和9.5%。其原因可能在于：①圖5所示的結構較為復雜，力學模型建立過程中存在簡化，導致辨識精度變低。②由于實驗條件限制，該進給系統臨界爬行速度點測量較少，經四次曲線擬合后，一定程度上引入數據誤差；③多參數優化問題在一定程度上也受到初值的影響，初值的合理選取待進一步研究。

但總體來看，該方法對于其它結構參數的辨識可以給出較為滿意的辨識結果，其中斜齒輪的螺旋角辨識精度最高。

6 結 論

本文針對伺服電機驅動滾珠絲杠的進給系統，將其簡化為單自由度系統力學模型，借助臨界爬行速度計算公式，建立了進給系統臨界爬行速度與其結構參數間的非線性函數關系，結合無約束優化理論中的變尺度法，提出了利用臨界爬行速度辨識進給系統結構參數辨識的理論及算法。通過對直聯式進給系統的數值仿真及某重型數控車床的橫向進給系統的工況試驗，結果均驗證了該方法的可行性和準確性。本文工作為進給系統結構參數辨識及優化的相關研究提供了理論和實驗參考。

[1] Brian Armstrong-Hélouvry.Control of Machines with Friction [M].New York: Kluwer，1991.

[2] 吳子英，劉宏昭，劉麗蘭.考慮摩擦影響的重型車床橫向進給伺服系統建模與分析[J].機械工程學報，2012，48(7): 86-93.

WU Zi-ying，LIU Hong-zhao，LIU Li-lan.Modeling and analysis of cross feed servo system of heavy duty lathe subjected to friction [J].Journal of Mechanical Engineerin，2012，48(7): 86-93.

[3] Naso D，Cupertino F，Turchiano B.NPID and adaptive approximation control of motion systems with friction [J].IEEE Transactions on Control Systems Technology，2012，20(1): 214-222.

[4] 戴曙.金屬切削機床[M].北京：機械工業出版社，2000.

[5] 《中國機械工業標準匯編/齒輪與齒輪傳動卷(上)》[M].中國標準出版社，2005，北京.

[6] 尹宜勇，祝莉平，賈志新，等.雙絲杠與直線導軌結合部靜剛度分析[J].農業機械學報，2012，43(6): 202-206.

YIN Yi-yong，ZHU Li-ping，JIA Zhi-xin，et al.Static stiffness analysis of joint of double screw and linear guides[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2012，43(6): 202-206.

[7] Varanasi K K，Nayfeh S A.The dynamics of lead-screw drives: low-order modeling and experiments[J].Transactions of ASME Journal of Dynamic Systems，Measurement，and control，2004，126(2): 388-395.

[8] 丹尼斯(美).等著.無約束最優化與非線性方程的數值方法 [M].北京：科學出版社，2009.