滾動軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦擺耦合動力學特性研究

梁明軒，袁惠群,，蔡穎穎

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819；2.東北大學 理學院，沈陽 110819)

旋轉(zhuǎn)機械的廣泛應用使得滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學研究和振動分析顯得越來越重要，為了滿足滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速與高精度設(shè)計要求，轉(zhuǎn)子偏置位置、圓盤擺振以及軸承游隙變化逐漸成為不可忽視的影響因素。

滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學建模過程中最基礎(chǔ)的一步在于對軸承非線性分析模型的建立。Yamamoto等[1-2]研究了滾動軸承VC振動，將對稱剛性轉(zhuǎn)子簡化為受旋轉(zhuǎn)載荷作用的滾動軸承，對軸承徑向游隙引起非線性振動進行了研究；Harris[3]完善并發(fā)展了滾動軸承的擬動力學分析理論，成為目前絕大多數(shù)滾動軸承非線性分析模型的首選；Jedrzejewski等[4]亦在Harris的基礎(chǔ)上，著重分析了離心力和陀螺效應對角接觸球軸承剛度及變形的影響規(guī)律。張耀強等[5]利用滾動軸承-Jeffcott剛性轉(zhuǎn)子模型研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應；陳果[6-7]重點研究了含多故障的滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性；鄧四二等[8]建立了航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子-滾動軸承耦合動力學模型，考慮了低壓轉(zhuǎn)子與高壓轉(zhuǎn)子之間的中介軸承游隙以及支承軸承參數(shù)，運用Newmark有限元法求解了系統(tǒng)響應。然而，這些研究主要側(cè)重于軸承VC振動以及轉(zhuǎn)子非線性響應，忽略了轉(zhuǎn)子偏置和圓盤擺振的影響。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合振動方面，沈松等[9]考慮圓盤擺振的影響，研究了非穩(wěn)態(tài)油膜力支承下的非對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速的分岔規(guī)律；李永強等[10]研究了滑動軸承支承下的碰摩轉(zhuǎn)子彎扭擺耦合非線性振動，但未考慮轉(zhuǎn)子偏置引起的系統(tǒng)剛度變化；袁惠群等[11]通過對磁懸浮軸承非線性力的線性化，建立了磁懸浮軸承彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學非線性電流控制模型。然而這些轉(zhuǎn)子模型中雖然計入了圓盤擺振因素，但沒有深入分析不同圓盤偏置位置對系統(tǒng)渦擺耦合振動的影響規(guī)律，且大多為滑動軸承支承或者對軸承非線性力做線性化處理，有的則直接采用剛性支承模型。

基于上述原因，本文通過引入轉(zhuǎn)子偏置量和圓盤擺振，推導了滾動軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程，基于滾動軸承非線性赫茲接觸力模型，對不同偏置量下系統(tǒng)動力學響應進行數(shù)值計算與比較，結(jié)合非線性理論，詳細討論了轉(zhuǎn)子偏置、圓盤擺振和滾動軸承游隙之間的相互影響規(guī)律。該研究可為滾動軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速與高精度設(shè)計提供參考依據(jù)。

1 滾動軸承-偏置轉(zhuǎn)子動力學建模

考慮轉(zhuǎn)子圓盤偏置引起的陀螺效應和滾動軸承非線性力，基于Jeffcott轉(zhuǎn)子建立滾動軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型如圖1所示，忽略軸的質(zhì)量，軸長為l，直徑為d，偏置剛性薄圓盤距左軸承A的距離為a，設(shè)a為轉(zhuǎn)子偏置量，圓盤質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動慣量和直徑轉(zhuǎn)動慣量分別為md、Jp和Jd，質(zhì)量偏心距為e，所受重力為W，兩端滾動軸承A和B的集中質(zhì)量分別為mA和mB。

圖1 滾動軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型

圖2 歐拉角示意圖

以轉(zhuǎn)子左側(cè)支承的靜平衡位置為原點建立坐標系Oxyz，轉(zhuǎn)子軸向方向為Oz軸，垂直方向為Oy軸，水平方向為Ox軸。在轉(zhuǎn)子運動的任意瞬時，兩支承中心坐標分別為(xA,yA)和(xB,yB)，圓盤形心坐標為O’(x,y)，質(zhì)心為O’e，當轉(zhuǎn)軸變形后，圓盤軸線與支點AB連線的夾角為ψ，圓盤繞x，y軸的偏擺角分別為β和α，設(shè)轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角速度為ω，渦動角速度為Ω，則圓盤的陀螺力矩為[12]：

Mg=JpωΩsinψ

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，E為轉(zhuǎn)軸彈性模量，I為轉(zhuǎn)軸截面慣性矩，則Kc=a-1。

設(shè)圓盤各方向阻尼互不耦合，大小為c，滾動軸承在x和y方向的阻尼為cb，圓盤與兩端支承總耗散能為

(5)

穩(wěn)態(tài)渦動時滾動軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有8個自由度，由Lagrange方程得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性有阻尼渦擺耦合運動微分方程

(6)

Q為轉(zhuǎn)子不平衡力向量，F(xiàn)為軸承非線性赫茲接觸力向量，W為重力場向量。

2 滾動軸承非線性赫茲接觸力模型

圖3 滾動球軸承動力學模型

滾動球軸承動力學模型如圖3所示，假設(shè)軸承滾動體等距排列且做純滾動，外圈滾道半徑為Ro，內(nèi)圈滾道半徑為Ri，軸承游隙為μ0，滾動體數(shù)目為Nb，外圈角速度為ωout，內(nèi)圈角速度為ωin，保持架角速度為ωcage。由軸承的運動關(guān)系得ωout=0，ωin=ω，則

(7)

設(shè)φj為任意t時刻第j個滾動體角位置

(8)

式中，j=1,2,3…Nb，φ0為滾動體初始角位置，取φ0=0。滾動體的接觸變形量可表示為

δj=xAcosφj+yAsinφj-μ0

(9)

根據(jù)滾動軸承非線性赫茲接觸理論[3]，滾動體與滾道發(fā)生接觸時產(chǎn)生的非線性接觸力為

(10)

式中，kb為滾動體與滾道之間的赫茲接觸剛度，λ為滾動體與滾道接觸類型相關(guān)的系數(shù)，點接觸λ取3/2，線接觸λ取10/9。考慮到接觸力的非負性，當δj≤0時，表示無接觸力產(chǎn)生，當δj>0時表示有接觸力產(chǎn)生。軸承A非線性赫茲接觸力表示為

(11)

式中，H(·)表示亥維塞函數(shù)

3 滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦擺耦合振動特性分析

參數(shù)選?。簃d=34.6 kg，mA=mB=2 kg，e=30 μm，Jp=0.7 kg·m2，Jd=0.35 kg·m2，l=0.5 m，d=40 mm，E=2.09×105MPa，c=2 100 N·s/m，cb=1 050 N·s/m。滾動球軸承的參數(shù)選取參考了文獻[2,7]，具體參數(shù)如表1所示。

表1 滾動軸承主要參數(shù)

3.1 轉(zhuǎn)子偏置對系統(tǒng)響應的影響

圖4為轉(zhuǎn)子偏置量a=l/3，a=l/5和a=l/7時未考慮圓盤擺振和考慮圓盤擺振情況下圓盤x方向位移隨轉(zhuǎn)速ω的分岔圖。

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖

從圖4中各響應圖可以看出，轉(zhuǎn)子在某一轉(zhuǎn)速附近都有位移響應值突然增大的現(xiàn)象，此時對應著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速與共振峰值；通過對比發(fā)現(xiàn)，考慮圓盤擺振時系統(tǒng)的非線性動力學特征明顯增強，且轉(zhuǎn)子偏置程度越大(即a越小)，系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速下的非線性特征越明顯。

表2為a=l/7時未考慮圓盤擺振和考慮圓盤偏擺情況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應狀態(tài)。

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應狀態(tài)

圖5為轉(zhuǎn)子偏置量a=l/2和a=l/7時圓盤偏擺角α隨轉(zhuǎn)速ω響應圖，可以看出轉(zhuǎn)子對稱放置(a=l/2)時受支承兩端不同非線性軸承力的影響，圓盤亦會產(chǎn)生小幅擺振；圓盤偏擺角隨轉(zhuǎn)速的響應規(guī)律與圓盤位移的響應規(guī)律相似。

圖5 圓盤偏擺角α分岔圖

圖6(a)、(b)和(c)為偏置量a=l/7情況下，轉(zhuǎn)速ω=780 rad/s，ω=2 200 rad/s和ω=2 255 rad/s的相圖與Poincaré圖，可以看出三種轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)分別處于周期2、擬周期和周期5運動狀態(tài)。

3.2 轉(zhuǎn)子偏置對系統(tǒng)頻率的影響

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中包含兩個不同基本頻率成分，一個是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率，可表示為

(12)

另一個是滾動軸承VC振動頻率，這是由于滾動體通過載荷區(qū)，軸承徑向剛度不相等造成的，可表示為

(13)

式中，BN為滾動軸承VC振動參數(shù)，可由軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)求出，本文中BN=3.47。

圖7為偏置量a=l/7，ω=30 rad/s時轉(zhuǎn)子x方向響應圖?？梢钥闯鲇捎谵D(zhuǎn)速較低，轉(zhuǎn)子不平衡引起的轉(zhuǎn)軸彎曲程度很小，在頻譜圖中對應的轉(zhuǎn)動頻率幅值很小，此時系統(tǒng)頻率成分主要表現(xiàn)為軸承VC振動頻率及其2倍頻。

圖6 相圖和Poincaré圖

圖7 轉(zhuǎn)子響應圖

圖8(a)和(b)為a=l/7，ω=2 040 rad/s時未考慮圓盤偏擺和考慮偏擺情況下轉(zhuǎn)子響應圖，此時轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較高，軸承VC振動相對于轉(zhuǎn)軸彎曲振動小很多，系統(tǒng)頻率主要為轉(zhuǎn)動頻率；但考慮圓盤擺振時系統(tǒng)出現(xiàn)了轉(zhuǎn)動頻率的分頻成分，可見此時系統(tǒng)的周期3運動主要是由于圓盤偏擺造成的。

為了分析轉(zhuǎn)子偏置程度對系統(tǒng)中各頻率成分的影響，選取ω=150 rad/s，該轉(zhuǎn)速不同頻率成分在各偏置量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中均有體現(xiàn)。圖9為ω=150 rad/s，偏置量分別為a=l/2，a=l/3，a=l/5，a=l/7和a=l/9情況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)頻譜圖。

從圖9可以看出該轉(zhuǎn)速下不同偏置量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中同時存在轉(zhuǎn)動頻率fω和軸承VC頻率fVC以及它們和或者差的組合頻率；通過對比可以發(fā)現(xiàn)，隨著偏置程度的增大，轉(zhuǎn)動頻率幅值逐漸減小，VC頻率與轉(zhuǎn)動頻率的差頻率逐漸消失，而兩者的和頻率逐漸出現(xiàn)；當a=l/9時，系統(tǒng)中又出現(xiàn)了2倍VC頻率與轉(zhuǎn)動頻率的和頻率。

3.3 軸承游隙對系統(tǒng)渦擺耦合振動的影響

取軸承游隙μ0在-10-40 μm內(nèi)變化，分析軸承游隙對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦擺耦合振動的影響規(guī)律。圖10為不同偏置量下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速ωn隨軸承游隙μ0的變化情況。

圖9 不同偏置量下頻譜圖

圖10 臨界轉(zhuǎn)速隨軸承游隙變化情況

從圖10可以看出，隨滾動軸承游隙的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速呈遞減趨勢，且接近線性遞減。通過圖10可知不同偏置量下系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速隨軸承游隙的遞減速率，如表3所示。

表3 臨界轉(zhuǎn)速隨軸承游隙遞減速率

從表3可知，轉(zhuǎn)子偏置程度越大，系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速隨軸承游隙增加而遞減速率越大，表明臨界轉(zhuǎn)速對軸承游隙變化的敏感度越高，主要是由于增加軸承游隙相當于減小了轉(zhuǎn)子的支承剛度，且圓盤偏置量越大，系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速受支承剛度的影響越大。圖11為不同偏置量下系統(tǒng)共振峰值X與圓盤最大偏擺角αmax隨滾動軸承游隙μ0變化情況。

從圖11可以看出，隨滾動軸承游隙的增加，對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng) (a=l/2) 的共振峰值X并非單調(diào)變化，而是先增大后減小，圓盤最大偏擺角αmax呈增大趨勢；偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)(a=l/3，a=l/5，a=l/7) 的共振峰值X接近線性遞增，圓盤最大偏擺角αmax則先增大后減小。

4 結(jié) 論

為了分析轉(zhuǎn)子偏置，圓盤擺振以及軸承游隙等對滾動軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性的影響，建立了滾動軸承支承下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦擺耦合運動微分方程，通過對一定參數(shù)范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性的對比分析，得出如下主要結(jié)論：

(1) 轉(zhuǎn)子偏置引起的圓盤擺振使系統(tǒng)的非線性動力學特性顯著增強，且偏置程度越大，圓盤擺振對系統(tǒng)非線性響應的影響越明顯。

(2) 一定轉(zhuǎn)速下，不同偏置量下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在不同的頻率成分。隨著偏置程度的增大，轉(zhuǎn)動頻率幅值會相對減小，軸承VC頻率與轉(zhuǎn)動頻率的差頻率逐漸消失，兩者的和頻率逐漸出現(xiàn)。

(3) 軸承游隙變化對不同偏置量的轉(zhuǎn)子渦擺耦合振動規(guī)律的影響不同。轉(zhuǎn)子偏置程度越大，系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速對軸承游隙的敏感度越高；隨著軸承游隙的增加，對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振峰值呈非單調(diào)性變化，而偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振峰值接近線性遞增。

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