基于雙樹復小波和奇異差分譜的齒輪故障診斷研究

胥永剛， 孟志鵬， 陸 明， 付 勝

(北京工業大學 機電學院 先進制造技術北京市重點實驗室， 北京 100124)

齒輪是機械設備中應用十分廣泛的零部件之一，惡劣的工作環境使其非常容易出現故障。而齒輪故障直接影響設備運行的可靠性以及產品質量和生產效率，因此對齒輪故障診斷進行研究具有十分重要的意義。由于其破壞形式極其復雜, 且通過傳感器提取出來的齒輪振動加速度信號具有非平穩特征，反映狀態信息的能量也很微弱，給故障診斷帶來了困難。如何從非平穩的振動信號中提取出故障特征信息是齒輪故障診斷的關鍵[1]。

近年來，國內外的學者對齒輪的診斷研究做了大量的工作，主要集中在典型故障特征的提取研究上，并取得很多的成績。對于實際對象的齒輪故障診斷，如用單一的方法，有時難以準確快速地完成對復雜對象的故障診斷。因此，往往將多種信號處理方法結合來提取故障特征信息，李輝等[2]將EMD和功率譜結合；程軍圣等[3]將LMD與譜峭度結合；袁海英等[4]將提升小波變換和Hilbert解調結合；孫偉等[5]將小波包與LMD 結合等用于齒輪故障診斷中都取得了較好的效果。

為構建具有平移不變性的小波，有效消除信號分析中的頻率混疊，Kingsbury[6]首先提出雙樹復小波變換的概念，Selesnick等[7]進一步提出了雙樹復小波變換的分解與重構算法。雙樹復小波變換不僅保持了傳統小波變換的時頻局部化分析能力，還具有近似平移不變性、良好的方向選擇性、完全重構性、有限的數據冗余性和高效的計算效率等優良性質。目前雙樹復小波變換已經廣泛的應用于圖像處理[8]、信號降噪[9]和故障診斷等領域[10]。

奇異值分解具有理想的去相關特性[11], 基于奇異值分解的信號分析方法可以對信號進行重構, 較好的從背景噪聲中分離出有用信號的特征信息。在故障診斷領域中，奇異值分解技術主要用于降噪和提取信號中的周期成分[12-15]。奇異值差分譜用來描述信號中有用成分和噪聲的奇異值的本質差異，根據差分譜的最大突變位置可以準確地確定有效奇異值的個數。

本文提出了基于雙樹復小波和奇異差分譜的故障診斷方法，并將其成功應用于機械故障診斷中。實驗和工程案例均表明，該方法可以有效的提取齒輪的故障特征頻率。

1 雙樹復小波變換

雙樹復小波變換(Dual-Tree Complex Wavelet Transform, DT-CWT)是基于實數小波變換實現的復數小波變換, 它通過兩個并行的實數濾波器組來實現, 分別稱為實部樹和虛部樹，DT-CWT的三層分解與重構過程如圖1所示[6-7]。其中低通濾波器h0和高通濾波器h1構成實部樹的分析濾波器組,低通濾波器g0和高通濾波器g1構成虛部樹的分析濾波器組。為了實現實部樹和虛部樹的信息互補，在信號的分解與重構過程中，始終保持虛部樹的采樣位置位于實部樹的中間，使雙樹復小波變換能有效綜合利用實部樹和虛部樹的小波分解系數。這種小波分解算法使雙樹復小波變換具有近似平移不變性，并減少了有用信息的丟失。雙樹復小波變換在各層的分解過程中，利用小波系數二分法減少了多余的計算，從而提高了計算速度。從雙樹復小波變換的分解和重構圖中，可以看出實部樹和虛部樹之間沒有數據流動，因此雙樹復小波算法的計算時間只是傳統小波變換的兩倍。

根據雙樹復小波的構造方法，復小波可表示為：

φ(t)=φh(t)+iφg(t)

(1)

式中：φh(t)，φg(t)表示兩個實小波；i為復數單位。

由于雙樹復小波變換由兩個并行的小波變換組成，因此，根據小波理論，上面實部樹小波變換的小波系數和尺度系數可由式(2)和式(3)計算：

(2)

(3)

同理，下面虛部樹小波變換的小波系數和尺度系數可由式(4)和式(5)計算：

(4)

(5)

因此，雙樹復小波變換的小波系數和尺度系數：

(6)

圖1 雙樹復小波變換的分解和重構過程

(7)

最后，雙樹復小波變換的小波系數和尺度系數可由式(8)和式(9)進行重構：

(8)

(9)

雙樹復小波變換后的重構信號可表示為：

x(t)=dj(t)+cJ(t)

(10)

2 奇異值差分譜

設有Y=(y(1),y(2),…,y(N))為離散數字信號，應用奇異值分解時，首先需將信號構造為矩陣H，H多為Hankel矩陣，具體構造方式如下：

(12)

式中,1

奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)的定義：一個實矩陣H∈Rm×n, 不管其行列是否相關，必定存在一對正交矩陣U=(u1,u2,…,um)∈Rm×m和V=(v1,v2,…,vn)∈Rn×n,使得：

H=USVT

(13)

Hankel矩陣的特點是:矩陣的后一行總是比前一行滯后一個數據點，對于理想信號所構造的Hankel矩陣是一種病態矩陣，相鄰的行都是高度相關的。這種病態矩陣的前幾個奇異值比較大，后面的奇異值非常小，都近似于零，奇異值在某一點(即矩陣的秩所對應的點)處發生突變。而對含噪聲的信號，盡管前后兩行也滯后一個數據點，但卻互不相關，是一個良態滿秩的矩陣。

對于含噪信號構造的Hankel 矩陣有后面的q-k個奇異值明顯小于前k個奇異值，也就是說奇異值在第k個點發生突變，而前k個奇異值代表了要提取的理想信號。由于每一個奇異值對應著一個分量信號，因此，只要選擇前面k個分量進行簡單的疊加，就可獲得降低了噪聲的信號。

SVD降噪的關鍵問題就是需要合理地選擇出前面的若干個奇異值進行SVD逆運算，如果奇異值數目選擇過多，則會使處理結果混進一部分噪聲，而選擇過少卻又會丟掉信號中的有用成分，有時甚至會造成信號波形的畸變。

為了實現對有效奇異值個數的自動判斷，定義奇異值差分譜。設所有奇異值按照從大到小的順序形成的序列為S=σ1,σ2,…σq，則：

bi=σi-σi+1i=1,2,…,q-1

(14)

將所有bi組成的序列B=(b1,b2,…,bq-1)稱為奇異值的差分譜，它描述了兩兩相鄰奇異值的變化情況，當兩相鄰奇異值差別較大時，在差分譜中必將產生一個峰值，而在整個差分譜中必然存在一個最大峰值bk，根據差分譜的定義，這意味著奇異值序列在位置k處發生了最大突變。

奇異值在最大突變點處產生的最大差異根本原因就在于有用信號和噪聲的相關性不同而在奇異值上表現出來的自然反應。

3 DT-CWT和奇異差分譜診斷方法

基于DT-CWT和奇異差分譜診斷的方法首先將信號進行DT-CWT分解, 得到幾個不同頻段的分量。然后選擇某個含有故障特征信息的分量，對其SVD分解，求差分譜選擇奇異值個數, 進行SVD重構，從而實現信號的降噪,并求其希爾伯特包絡譜，找到故障頻率,進行更為準確的故障識別[15-18]。該方法實現流程如圖2所示。

圖2 基于DT-CWT和奇異差分譜的診斷方法

Fig.2 The method based on DT-CWT and different spectrum of singular value

其診斷具體步驟如下:

(1)通過對原始振動信號進行雙樹復小波分解, 得到幾個頻段不同的分量。

(2)對包含故障特征的分量, 構建Hankel矩陣。

(3)對Hankel矩陣進行奇異值分解。

(4)求奇異差分譜, 并畫出差分譜曲線圖。確定譜圖中最大突變點, 即需要保留奇異值的個數，其余的奇異值置為零。

(5)根據步驟(4)中確定的奇異值個數,進行奇異值重構, 從而消除噪聲，并求希爾伯特包絡譜。

(6)從希爾伯特包絡譜中確定故障特征信息。

4 實驗分析

實驗臺如圖3所示，實驗系統由齒輪故障模擬實驗臺、壓電式加速度傳感器、數據采集儀、筆記本電腦組成。將有故障的齒輪安裝在齒輪箱內，進行實驗數據的采集，數據采集儀將采集數據傳到電腦中，再進行數據處理分析。

該實驗中齒輪箱是一對齒輪，模數為2，材質是S45C，小齒輪為主動輪，齒數Z1為55；大齒輪為從動輪,齒數Z2為75。該故障實驗模擬了大齒輪一個齒齒根微小裂紋故障，電機轉速N為1 000 r/min，采樣頻率為12 800 Hz。

根據以上參數，按照以下公式：

(15)

可得大齒輪的故障特征頻率為fZ2為12.22 Hz。

圖3 故障實驗臺

圖4為齒輪裂紋故障的原始時域波形及幅值譜，從波形和幅值譜中基本看不出故障特征信息，同時有明顯的干擾成分。故利用DT-CWT對原始信號進行5層分解，然后進行單支重構，各層重構信號為a5、d5、d4、d3、d2和d1，得到如圖5所示的不同頻段的分量，可以看出第三個分量d3出現了微弱的周期性沖擊成分。

圖4 齒輪裂紋故障波形及頻譜

圖5 雙樹復小波分解圖

將第三個分量d3作為研究對象，構造Hankel矩陣,進行奇異值分解并求得奇異值序列，進而求得奇異值差分譜，奇異值差分譜峰突變在前段部分，后面的都趨于零。為了清楚的觀察差分譜的情況，將奇異值序列和差分譜前100個點繪在一個坐標系下, 如圖6所示。從圖中可以看到最大突變在第2個點,如果最大突變點發生在前兩個點，往往取第2個最大突變點，因為奇異值分量太少會丟失有效信息。第二最大突變點為第4點，故保留SVD分解的前4個奇異值，其余的奇異值為0，進行奇異值重構得到如圖7所示結果。信號呈現非常好的周期性沖擊，沖擊周期大約為0.080 3 s,對應的頻率為12.45 Hz,與大齒輪故障特征頻率非常接近。

圖6 奇異值和差分譜前100個點

圖7 重構SVD 前4個奇異值的信號波形

圖8 SVD重構后信號的希爾伯特包絡譜

對圖7所示的重構信號進行希爾伯特包絡解調，得到如圖8所示的包絡譜,可以很清楚的看到12.5 Hz和25 Hz的頻率，與大齒輪故障特征頻率的一倍和二倍頻非常接近，可以斷定該大齒輪已經發生故障。

圖9所示為直接對雙樹復小波分解和重構后得到的第3個分量d3作希爾伯特包絡譜，雖然也可以看到12.5 Hz和25 Hz的頻率，但同時還存在一系列明顯的干擾頻率成分,如9.3 Hz、17.19 Hz、20.31 Hz等，易造成誤診斷。上述結果表明，雙樹復小波和奇異值差分譜結合，可以有效的提取齒輪故障的特征頻率。

圖9 d3分量的希爾伯特包絡譜

5 工程案例

某鋼鐵公司一高線第25架精軋機于2007年8月1日出現齒輪箱Z5/Z6齒輪打齒故障，如圖10所示，其中故障特征頻率為76.172 Hz。圖11為早期故障數據(6月30日)波形圖和頻譜圖。從波形中基本看不出故障特征信息，在頻譜中可以看到一些邊頻的出現，但是特征不是很明顯，無法準確識別故障齒輪對應的特征頻率。

為了提取故障特征，本文首先利用雙樹復小波對原始信號進行5層分解并重構，得到如圖12所示結果，可以看出第二個分量d2有較為明顯的沖擊成分。故對d2求奇異值差分譜如圖13所示。

圖10 齒輪箱損壞圖

圖11 6月30日故障齒輪波形及頻譜

圖12 雙樹復小波分解圖

圖13 奇異值和差分譜前100個點

根據圖13所示，在第2點和第4點都出現了較大突變，如果最大突變點發生在前兩個點，往往取第2個最大突變點，因為奇異值分量太少會丟失有效信息；對于同時存在多個較大突變點，只需選擇最大突變點即可。圖13中最大突變點在第4個點，將奇異值分解的前4個奇異值重構，結果如圖14所示，信號呈現非常好的周期性沖擊，沖擊周期大約為0.013 s,對應的頻率為76.9 Hz,與齒輪故障特征頻率非常接近。再對圖14所示的重構信號進行希爾伯特包絡解調得到如圖15所示的包絡譜，可以很清楚的看到76.21 Hz，146.6 Hz和222.8倍頻，與齒輪故障特征頻率76.172 Hz的一倍、二倍和三倍頻非常接近。

圖14 重構前4個奇異值的信號波形

圖15 SVD重構后的希爾伯特包絡譜

圖16 d2的希爾伯特包絡譜

圖16所示為直接對雙樹復小波分解和重構后得到的第2個分量d2的希爾伯特包絡譜，也可找到76.21 Hz和152.3 Hz的頻率，但存在93.75 Hz和169.9 Hz的頻率干擾成分，不利于對故障部位做出準確判斷。

6 結 論

本文研究了將雙樹復小波分解與奇異值差分譜結合的方法，通過齒輪故障實驗和工程案例驗證了方法的有效性。

(1)利用雙樹復小波變換具有近似平移不變性、避免頻率混疊和有效降噪的優點，對齒輪故障振動信號進行雙樹復小波分解和重構，得到不同頻段的分量。

(2)根據奇異值差分譜理論，可以自動的判定SVD分解奇異值重構的個數，保留了信號中有用成分，同時又最大限度地消除了噪聲。

(3)將雙樹復小波分解與奇異值差分譜結合的方法應用于故障診斷中，可以有效和準確的找到故障特征信息。

參 考 文 獻

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