小小思想 引領方法

賈彬

證明有利于培養(yǎng)人的思維品質(zhì)，培養(yǎng)人的推理意識，形成分析事物之間因果聯(lián)系的習慣；有利于培養(yǎng)人的優(yōu)化意識，形成從事物發(fā)展的眾多可能性中尋找最佳可能性的習慣；使人思考問題更合乎邏輯，更嚴密精確，更深入簡潔，更善于創(chuàng)造……

數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為方式，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段. 數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得.

證明中的邏輯推理離不開數(shù)學思想，數(shù)學思想有助于尋找邏輯推理的依據(jù)和途徑.

二、 分類討論思想

例2 小明是一個數(shù)學迷. 一天，他與同學一起研究質(zhì)數(shù)時得到這樣一個猜想：“若P為質(zhì)數(shù)，P 3+5也為質(zhì)數(shù)，則P 5+7一定為合數(shù). ”你能肯定他的這個猜想是正確的嗎？

【思路分析】我們不妨從質(zhì)數(shù)的分類（奇質(zhì)數(shù)、偶質(zhì)數(shù)）入手，將質(zhì)數(shù)分為奇質(zhì)數(shù)和偶質(zhì)數(shù)兩類來思考. 若P為奇質(zhì)數(shù)，則P 3為奇數(shù)，可得P 3≥27，∴P 3+5≥32，即P 3+5為大于或等于32的偶質(zhì)數(shù)，這是不存在的，則P為偶質(zhì)數(shù)，則P=2，∴P 5+7=39為一個合數(shù)，問題變得很簡單了.

三、 轉化思想

1. 將非常規(guī)圖形問題轉化為三角形問題來解決.

（2） 連接AD，構造出兩個第（1）小題的基本圖形，將陌生未知的第（2）小題轉化為已知的第（1）小題的結論來解決，由第（1）小題的結論可知∠F+∠2+∠3=∠DEF，∠1+∠4+∠C=∠ABC，兩式相加即可得出結論.

【規(guī)律總結】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出三角形是解答第（1）小題的關鍵. 而第（2）小題構造出第（1）小題中的基本圖形，可直接運用第（1）小題中的結論解決問題.另外，在有關計算角度的問題中，要靈活運用外角知識，構建圖中各角之間的聯(lián)系，使角度計算問題得以順利解決.

四、 數(shù)學建模思想

例5 地面上有10條公路（假設公路是筆直的，并且可以無限延伸），無任何三條公路交于同一個岔口，現(xiàn)有31位交警剛好滿足每個岔口有且只有一位交警執(zhí)勤，請你畫出公路的示意圖.

【思路分析】把公路抽象成10條直線，岔口抽象成點，由交警的人數(shù)及題意可知這10條直線剛好有31個交點，而平面上的10條直線，若兩兩相交，最多可出現(xiàn)45個交點（=45），按題目要求只出現(xiàn)了31個交點，即要減少14個交點，通常有如下兩種方法：①多條直線共點；②出現(xiàn)平行線.

其中①不符合題意，故考慮方法②. 若在同一方向上有5條直線互相平行，則可減少10個交點，若有6條直線平行，則可減少15個交點，故在這個方向上最多可取5條平行線，這時還需要減去4個點，轉一個方向取3條平行線，即可減少3個交點，這時還剩下2條直線和1個需要減去的點，只需讓其在第三個方向上互相平行. 如圖7所示的三組平行線即為所求公路的示意圖.

【規(guī)律總結】

1. 平面上n條直線，最多有n（n-1）個交點；

2. 平面內(nèi)兩直線不相交則平行，是兩直線平行的又一判定方法.

3. 很多實際問題可以通過構建數(shù)學模型來解決.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）

證明有利于培養(yǎng)人的思維品質(zhì)，培養(yǎng)人的推理意識，形成分析事物之間因果聯(lián)系的習慣；有利于培養(yǎng)人的優(yōu)化意識，形成從事物發(fā)展的眾多可能性中尋找最佳可能性的習慣；使人思考問題更合乎邏輯，更嚴密精確，更深入簡潔，更善于創(chuàng)造……

數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為方式，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段. 數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得.

證明中的邏輯推理離不開數(shù)學思想，數(shù)學思想有助于尋找邏輯推理的依據(jù)和途徑.

二、 分類討論思想

例2 小明是一個數(shù)學迷. 一天，他與同學一起研究質(zhì)數(shù)時得到這樣一個猜想：“若P為質(zhì)數(shù)，P 3+5也為質(zhì)數(shù)，則P 5+7一定為合數(shù). ”你能肯定他的這個猜想是正確的嗎？

【思路分析】我們不妨從質(zhì)數(shù)的分類（奇質(zhì)數(shù)、偶質(zhì)數(shù)）入手，將質(zhì)數(shù)分為奇質(zhì)數(shù)和偶質(zhì)數(shù)兩類來思考. 若P為奇質(zhì)數(shù)，則P 3為奇數(shù)，可得P 3≥27，∴P 3+5≥32，即P 3+5為大于或等于32的偶質(zhì)數(shù)，這是不存在的，則P為偶質(zhì)數(shù)，則P=2，∴P 5+7=39為一個合數(shù)，問題變得很簡單了.

三、 轉化思想

1. 將非常規(guī)圖形問題轉化為三角形問題來解決.

（2） 連接AD，構造出兩個第（1）小題的基本圖形，將陌生未知的第（2）小題轉化為已知的第（1）小題的結論來解決，由第（1）小題的結論可知∠F+∠2+∠3=∠DEF，∠1+∠4+∠C=∠ABC，兩式相加即可得出結論.

【規(guī)律總結】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出三角形是解答第（1）小題的關鍵. 而第（2）小題構造出第（1）小題中的基本圖形，可直接運用第（1）小題中的結論解決問題.另外，在有關計算角度的問題中，要靈活運用外角知識，構建圖中各角之間的聯(lián)系，使角度計算問題得以順利解決.

四、 數(shù)學建模思想

例5 地面上有10條公路（假設公路是筆直的，并且可以無限延伸），無任何三條公路交于同一個岔口，現(xiàn)有31位交警剛好滿足每個岔口有且只有一位交警執(zhí)勤，請你畫出公路的示意圖.

【思路分析】把公路抽象成10條直線，岔口抽象成點，由交警的人數(shù)及題意可知這10條直線剛好有31個交點，而平面上的10條直線，若兩兩相交，最多可出現(xiàn)45個交點（=45），按題目要求只出現(xiàn)了31個交點，即要減少14個交點，通常有如下兩種方法：①多條直線共點；②出現(xiàn)平行線.

其中①不符合題意，故考慮方法②. 若在同一方向上有5條直線互相平行，則可減少10個交點，若有6條直線平行，則可減少15個交點，故在這個方向上最多可取5條平行線，這時還需要減去4個點，轉一個方向取3條平行線，即可減少3個交點，這時還剩下2條直線和1個需要減去的點，只需讓其在第三個方向上互相平行. 如圖7所示的三組平行線即為所求公路的示意圖.

【規(guī)律總結】

1. 平面上n條直線，最多有n（n-1）個交點；

2. 平面內(nèi)兩直線不相交則平行，是兩直線平行的又一判定方法.

3. 很多實際問題可以通過構建數(shù)學模型來解決.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）

證明有利于培養(yǎng)人的思維品質(zhì)，培養(yǎng)人的推理意識，形成分析事物之間因果聯(lián)系的習慣；有利于培養(yǎng)人的優(yōu)化意識，形成從事物發(fā)展的眾多可能性中尋找最佳可能性的習慣；使人思考問題更合乎邏輯，更嚴密精確，更深入簡潔，更善于創(chuàng)造……

數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為方式，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段. 數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得.

證明中的邏輯推理離不開數(shù)學思想，數(shù)學思想有助于尋找邏輯推理的依據(jù)和途徑.

二、 分類討論思想

例2 小明是一個數(shù)學迷. 一天，他與同學一起研究質(zhì)數(shù)時得到這樣一個猜想：“若P為質(zhì)數(shù)，P 3+5也為質(zhì)數(shù)，則P 5+7一定為合數(shù). ”你能肯定他的這個猜想是正確的嗎？

【思路分析】我們不妨從質(zhì)數(shù)的分類（奇質(zhì)數(shù)、偶質(zhì)數(shù)）入手，將質(zhì)數(shù)分為奇質(zhì)數(shù)和偶質(zhì)數(shù)兩類來思考. 若P為奇質(zhì)數(shù)，則P 3為奇數(shù)，可得P 3≥27，∴P 3+5≥32，即P 3+5為大于或等于32的偶質(zhì)數(shù)，這是不存在的，則P為偶質(zhì)數(shù)，則P=2，∴P 5+7=39為一個合數(shù)，問題變得很簡單了.

三、 轉化思想

1. 將非常規(guī)圖形問題轉化為三角形問題來解決.

（2） 連接AD，構造出兩個第（1）小題的基本圖形，將陌生未知的第（2）小題轉化為已知的第（1）小題的結論來解決，由第（1）小題的結論可知∠F+∠2+∠3=∠DEF，∠1+∠4+∠C=∠ABC，兩式相加即可得出結論.

【規(guī)律總結】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出三角形是解答第（1）小題的關鍵. 而第（2）小題構造出第（1）小題中的基本圖形，可直接運用第（1）小題中的結論解決問題.另外，在有關計算角度的問題中，要靈活運用外角知識，構建圖中各角之間的聯(lián)系，使角度計算問題得以順利解決.

四、 數(shù)學建模思想

例5 地面上有10條公路（假設公路是筆直的，并且可以無限延伸），無任何三條公路交于同一個岔口，現(xiàn)有31位交警剛好滿足每個岔口有且只有一位交警執(zhí)勤，請你畫出公路的示意圖.

【思路分析】把公路抽象成10條直線，岔口抽象成點，由交警的人數(shù)及題意可知這10條直線剛好有31個交點，而平面上的10條直線，若兩兩相交，最多可出現(xiàn)45個交點（=45），按題目要求只出現(xiàn)了31個交點，即要減少14個交點，通常有如下兩種方法：①多條直線共點；②出現(xiàn)平行線.

其中①不符合題意，故考慮方法②. 若在同一方向上有5條直線互相平行，則可減少10個交點，若有6條直線平行，則可減少15個交點，故在這個方向上最多可取5條平行線，這時還需要減去4個點，轉一個方向取3條平行線，即可減少3個交點，這時還剩下2條直線和1個需要減去的點，只需讓其在第三個方向上互相平行. 如圖7所示的三組平行線即為所求公路的示意圖.

【規(guī)律總結】

1. 平面上n條直線，最多有n（n-1）個交點；

2. 平面內(nèi)兩直線不相交則平行，是兩直線平行的又一判定方法.

3. 很多實際問題可以通過構建數(shù)學模型來解決.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）