“不等式”中的思想方法

胡松

數(shù)學思想方法是數(shù)學發(fā)展的原動力，它不僅涉及數(shù)學本體的發(fā)展規(guī)律，也涉及思維過程的滲透和聯(lián)系，了解相關(guān)的思想方法有助于我們將數(shù)學知識“學活”、“學懂”、“學深”. 本章中就蘊藏著一些數(shù)學思想方法，理解它們，你會透過一個全新的視角來看待你所學習的內(nèi)容. 現(xiàn)通過以下幾個例子來說明.

一、 類比思想

類比是學習數(shù)學常用的數(shù)學思想方法. 類比相關(guān)的舊知識學習新知識，會讓新知識學得更易、更深、更透. 在本章的學習中多次運用類比的思想方法，如不等式的基本性質(zhì)的學習類比了等式的基本性質(zhì)；一元一次不等式的定義及解法類比了一元一次方程的定義及解法；列一元一次不等式解實際應用問題類比了列一元一次方程解實際應用問題等. 通過類比找出新、舊知識的共同點和不同點，在類比的過程中加以區(qū)別，這樣學起來既簡單又迅速，還能達到準確掌握新知識的目的.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

求不等式的解集的過程是解數(shù)量不等關(guān)系的過程，用數(shù)軸表示不等式（組）的解集的過程是將數(shù)量不等關(guān)系圖形化的過程，在此“數(shù)”與“形”要巧妙結(jié)合. 能理解“形”對于“數(shù)”的方便，你可以達到事半功倍的效果.

【點評】本題中不等式組的解集借助數(shù)軸這一“形”的工具來表示，非常方便和直觀，數(shù)形結(jié)合能幫助我們準確和快速地寫出不等式組的解集.

例3 解不等式：x+1≤2.

【分析】若能理解絕對值的幾何意義：數(shù)軸上表示該數(shù)的點到原點的距離，那么便可將此不等式轉(zhuǎn)化為-2≤x+1≤2，進而解決問題.

【點評】看似一個沒有解決過的絕對值不等式，能利用數(shù)軸輕易地解決，可以看出數(shù)形結(jié)合的好處. 當然，本題也可以利用分類討論解決.

三、 分類討論的思想

某些特殊的不等式，看似超出了我們所學的范圍，但稍加思考，就能發(fā)現(xiàn)可以采用分類討論的方法解決.

【點評】本題并沒有求x和y的值，而是用k表示了x+y的值，將x+y看做是一個整體解決了問題.

五、 模型思想

所有的實際問題離不開模型，不等式也是刻畫現(xiàn)實世界的模型之一，遇到含有不等關(guān)系的實際問題時，建立不等式（組）模型，可以順利地解決此類問題.

例7 畢業(yè)了，孔明同學準備利用暑假賣報紙賺取140～200元錢，買一份禮物送給父母. 已知：在暑假期間，如果賣出的報紙不超過1 000份，則每賣出一份報紙可得0.1元；如果賣出的報紙超過1 000份，則超過部分每份可得0.2元.

（1） 請說明：孔明同學要達到目的，賣出報紙的份數(shù)必須超過1 000份.

（2） 孔明同學要通過賣報紙賺取140～200元，請計算他賣出報紙的份數(shù)在哪個范圍內(nèi).

【點評】本題在解決實際問題時，把問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決. 當實際問題中存在不等關(guān)系時，可根據(jù)不等關(guān)系建立不等式（組）模型，通過解不等式（組）來解決實際問題.

（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團初級中學）

數(shù)學思想方法是數(shù)學發(fā)展的原動力，它不僅涉及數(shù)學本體的發(fā)展規(guī)律，也涉及思維過程的滲透和聯(lián)系，了解相關(guān)的思想方法有助于我們將數(shù)學知識“學活”、“學懂”、“學深”. 本章中就蘊藏著一些數(shù)學思想方法，理解它們，你會透過一個全新的視角來看待你所學習的內(nèi)容. 現(xiàn)通過以下幾個例子來說明.

一、 類比思想

類比是學習數(shù)學常用的數(shù)學思想方法. 類比相關(guān)的舊知識學習新知識，會讓新知識學得更易、更深、更透. 在本章的學習中多次運用類比的思想方法，如不等式的基本性質(zhì)的學習類比了等式的基本性質(zhì)；一元一次不等式的定義及解法類比了一元一次方程的定義及解法；列一元一次不等式解實際應用問題類比了列一元一次方程解實際應用問題等. 通過類比找出新、舊知識的共同點和不同點，在類比的過程中加以區(qū)別，這樣學起來既簡單又迅速，還能達到準確掌握新知識的目的.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

求不等式的解集的過程是解數(shù)量不等關(guān)系的過程，用數(shù)軸表示不等式（組）的解集的過程是將數(shù)量不等關(guān)系圖形化的過程，在此“數(shù)”與“形”要巧妙結(jié)合. 能理解“形”對于“數(shù)”的方便，你可以達到事半功倍的效果.

【點評】本題中不等式組的解集借助數(shù)軸這一“形”的工具來表示，非常方便和直觀，數(shù)形結(jié)合能幫助我們準確和快速地寫出不等式組的解集.

例3 解不等式：x+1≤2.

【分析】若能理解絕對值的幾何意義：數(shù)軸上表示該數(shù)的點到原點的距離，那么便可將此不等式轉(zhuǎn)化為-2≤x+1≤2，進而解決問題.

【點評】看似一個沒有解決過的絕對值不等式，能利用數(shù)軸輕易地解決，可以看出數(shù)形結(jié)合的好處. 當然，本題也可以利用分類討論解決.

三、 分類討論的思想

某些特殊的不等式，看似超出了我們所學的范圍，但稍加思考，就能發(fā)現(xiàn)可以采用分類討論的方法解決.

【點評】本題并沒有求x和y的值，而是用k表示了x+y的值，將x+y看做是一個整體解決了問題.

五、 模型思想

所有的實際問題離不開模型，不等式也是刻畫現(xiàn)實世界的模型之一，遇到含有不等關(guān)系的實際問題時，建立不等式（組）模型，可以順利地解決此類問題.

例7 畢業(yè)了，孔明同學準備利用暑假賣報紙賺取140～200元錢，買一份禮物送給父母. 已知：在暑假期間，如果賣出的報紙不超過1 000份，則每賣出一份報紙可得0.1元；如果賣出的報紙超過1 000份，則超過部分每份可得0.2元.

（1） 請說明：孔明同學要達到目的，賣出報紙的份數(shù)必須超過1 000份.

（2） 孔明同學要通過賣報紙賺取140～200元，請計算他賣出報紙的份數(shù)在哪個范圍內(nèi).

【點評】本題在解決實際問題時，把問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決. 當實際問題中存在不等關(guān)系時，可根據(jù)不等關(guān)系建立不等式（組）模型，通過解不等式（組）來解決實際問題.

（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團初級中學）

數(shù)學思想方法是數(shù)學發(fā)展的原動力，它不僅涉及數(shù)學本體的發(fā)展規(guī)律，也涉及思維過程的滲透和聯(lián)系，了解相關(guān)的思想方法有助于我們將數(shù)學知識“學活”、“學懂”、“學深”. 本章中就蘊藏著一些數(shù)學思想方法，理解它們，你會透過一個全新的視角來看待你所學習的內(nèi)容. 現(xiàn)通過以下幾個例子來說明.

一、 類比思想

類比是學習數(shù)學常用的數(shù)學思想方法. 類比相關(guān)的舊知識學習新知識，會讓新知識學得更易、更深、更透. 在本章的學習中多次運用類比的思想方法，如不等式的基本性質(zhì)的學習類比了等式的基本性質(zhì)；一元一次不等式的定義及解法類比了一元一次方程的定義及解法；列一元一次不等式解實際應用問題類比了列一元一次方程解實際應用問題等. 通過類比找出新、舊知識的共同點和不同點，在類比的過程中加以區(qū)別，這樣學起來既簡單又迅速，還能達到準確掌握新知識的目的.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

求不等式的解集的過程是解數(shù)量不等關(guān)系的過程，用數(shù)軸表示不等式（組）的解集的過程是將數(shù)量不等關(guān)系圖形化的過程，在此“數(shù)”與“形”要巧妙結(jié)合. 能理解“形”對于“數(shù)”的方便，你可以達到事半功倍的效果.

【點評】本題中不等式組的解集借助數(shù)軸這一“形”的工具來表示，非常方便和直觀，數(shù)形結(jié)合能幫助我們準確和快速地寫出不等式組的解集.

例3 解不等式：x+1≤2.

【分析】若能理解絕對值的幾何意義：數(shù)軸上表示該數(shù)的點到原點的距離，那么便可將此不等式轉(zhuǎn)化為-2≤x+1≤2，進而解決問題.

【點評】看似一個沒有解決過的絕對值不等式，能利用數(shù)軸輕易地解決，可以看出數(shù)形結(jié)合的好處. 當然，本題也可以利用分類討論解決.

三、 分類討論的思想

某些特殊的不等式，看似超出了我們所學的范圍，但稍加思考，就能發(fā)現(xiàn)可以采用分類討論的方法解決.

【點評】本題并沒有求x和y的值，而是用k表示了x+y的值，將x+y看做是一個整體解決了問題.

五、 模型思想

所有的實際問題離不開模型，不等式也是刻畫現(xiàn)實世界的模型之一，遇到含有不等關(guān)系的實際問題時，建立不等式（組）模型，可以順利地解決此類問題.

例7 畢業(yè)了，孔明同學準備利用暑假賣報紙賺取140～200元錢，買一份禮物送給父母. 已知：在暑假期間，如果賣出的報紙不超過1 000份，則每賣出一份報紙可得0.1元；如果賣出的報紙超過1 000份，則超過部分每份可得0.2元.

（1） 請說明：孔明同學要達到目的，賣出報紙的份數(shù)必須超過1 000份.

（2） 孔明同學要通過賣報紙賺取140～200元，請計算他賣出報紙的份數(shù)在哪個范圍內(nèi).

【點評】本題在解決實際問題時，把問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決. 當實際問題中存在不等關(guān)系時，可根據(jù)不等關(guān)系建立不等式（組）模型，通過解不等式（組）來解決實際問題.

（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團初級中學）