怎樣正確理解和運用不等式的性質

蔣敏

在學習不等式的性質時，同學們應注意以下兩點：

1. 對比分析不等式與等式的性質

相同點：

（1） 等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式. 同樣地，不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變.

（2） 等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，所得結果仍是等式.同樣地，不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

不同點：

等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，所得結果仍是等式. 然而，不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

【解析】A選項是在原不等式的兩邊同時減去3，不等號的方向應不變. B和C選項是在原不等式的兩邊同乘（或除以）一個負數，不等號的方向應改變. D選項是在不等式兩邊分別加上1和2，但1<2，所以用不等式的性質無法判斷. 故本題答案選C.

【說明】同學們要特別注意在不等式兩邊同乘（或除以）同一個負數時， 要改變不等號的方向.

2. 正確運用不等式的性質

（1） 不等式兩邊都乘同一個代數式時，要關注這個代數式的正負性. 數的正負性是顯性的，很直觀；而式的正負性是隱性的，容易被忽視.

例2 若a>b，則-ac2_____-bc2.

【解析】我們都知道-c2≤0. 當-c2<0時，根據不等式的性質，在原不等式的兩邊同時乘-c2，“>”號變成“<”號；當-c2=0時，在原不等式的兩邊同時乘-c2，左邊=右邊=0. 所以-ac2≤-bc2.

【說明】同學們在用等式的性質進行變形時，習慣了“照抄”等號，而在利用不等式的性質解決問題時，要避免思維定勢，尤其重視不等號方向的變化.

例3 如果a>b， 請比較與的大小.

【解析】在原不等式兩邊同時乘，即可轉化成與比大小的問題. 是一個代數式，正負性不確定，所以需要分類討論：當a、b同號時，>0，則>；當a、b異號時，<0，則<.

【說明】不等式的兩邊同時乘同一個代數式時，若這個代數式的正負性不確定，則需要分類討論.

（2） 在求解未知數的系數中含字母的不等式時，要重視系數的正負性.

【解析】未知數的系數中含字母a，因為a-1的正負性不確定，所以需要對a-1的正負性進行討論：因為a≠1，所以可以在不等式兩邊都除以a-1，當a-1>0時，不等式的解集為x>；當a-1<0時，不等式的解集為x<.

【說明】若未知數系數的正負性不確定，可先分類討論，再利用不等式的性質求解.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學分校）

在學習不等式的性質時，同學們應注意以下兩點：

1. 對比分析不等式與等式的性質

相同點：

（1） 等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式. 同樣地，不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變.

（2） 等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，所得結果仍是等式.同樣地，不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

不同點：

等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，所得結果仍是等式. 然而，不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

【解析】A選項是在原不等式的兩邊同時減去3，不等號的方向應不變. B和C選項是在原不等式的兩邊同乘（或除以）一個負數，不等號的方向應改變. D選項是在不等式兩邊分別加上1和2，但1<2，所以用不等式的性質無法判斷. 故本題答案選C.

【說明】同學們要特別注意在不等式兩邊同乘（或除以）同一個負數時， 要改變不等號的方向.

2. 正確運用不等式的性質

（1） 不等式兩邊都乘同一個代數式時，要關注這個代數式的正負性. 數的正負性是顯性的，很直觀；而式的正負性是隱性的，容易被忽視.

例2 若a>b，則-ac2_____-bc2.

【解析】我們都知道-c2≤0. 當-c2<0時，根據不等式的性質，在原不等式的兩邊同時乘-c2，“>”號變成“<”號；當-c2=0時，在原不等式的兩邊同時乘-c2，左邊=右邊=0. 所以-ac2≤-bc2.

【說明】同學們在用等式的性質進行變形時，習慣了“照抄”等號，而在利用不等式的性質解決問題時，要避免思維定勢，尤其重視不等號方向的變化.

例3 如果a>b， 請比較與的大小.

【解析】在原不等式兩邊同時乘，即可轉化成與比大小的問題. 是一個代數式，正負性不確定，所以需要分類討論：當a、b同號時，>0，則>；當a、b異號時，<0，則<.

【說明】不等式的兩邊同時乘同一個代數式時，若這個代數式的正負性不確定，則需要分類討論.

（2） 在求解未知數的系數中含字母的不等式時，要重視系數的正負性.

【解析】未知數的系數中含字母a，因為a-1的正負性不確定，所以需要對a-1的正負性進行討論：因為a≠1，所以可以在不等式兩邊都除以a-1，當a-1>0時，不等式的解集為x>；當a-1<0時，不等式的解集為x<.

【說明】若未知數系數的正負性不確定，可先分類討論，再利用不等式的性質求解.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學分校）

在學習不等式的性質時，同學們應注意以下兩點：

1. 對比分析不等式與等式的性質

相同點：

（1） 等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式. 同樣地，不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變.

（2） 等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，所得結果仍是等式.同樣地，不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

不同點：

等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，所得結果仍是等式. 然而，不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

【解析】A選項是在原不等式的兩邊同時減去3，不等號的方向應不變. B和C選項是在原不等式的兩邊同乘（或除以）一個負數，不等號的方向應改變. D選項是在不等式兩邊分別加上1和2，但1<2，所以用不等式的性質無法判斷. 故本題答案選C.

【說明】同學們要特別注意在不等式兩邊同乘（或除以）同一個負數時， 要改變不等號的方向.

2. 正確運用不等式的性質

（1） 不等式兩邊都乘同一個代數式時，要關注這個代數式的正負性. 數的正負性是顯性的，很直觀；而式的正負性是隱性的，容易被忽視.

例2 若a>b，則-ac2_____-bc2.

【解析】我們都知道-c2≤0. 當-c2<0時，根據不等式的性質，在原不等式的兩邊同時乘-c2，“>”號變成“<”號；當-c2=0時，在原不等式的兩邊同時乘-c2，左邊=右邊=0. 所以-ac2≤-bc2.

【說明】同學們在用等式的性質進行變形時，習慣了“照抄”等號，而在利用不等式的性質解決問題時，要避免思維定勢，尤其重視不等號方向的變化.

例3 如果a>b， 請比較與的大小.

【解析】在原不等式兩邊同時乘，即可轉化成與比大小的問題. 是一個代數式，正負性不確定，所以需要分類討論：當a、b同號時，>0，則>；當a、b異號時，<0，則<.

【說明】不等式的兩邊同時乘同一個代數式時，若這個代數式的正負性不確定，則需要分類討論.

（2） 在求解未知數的系數中含字母的不等式時，要重視系數的正負性.

【解析】未知數的系數中含字母a，因為a-1的正負性不確定，所以需要對a-1的正負性進行討論：因為a≠1，所以可以在不等式兩邊都除以a-1，當a-1>0時，不等式的解集為x>；當a-1<0時，不等式的解集為x<.

【說明】若未知數系數的正負性不確定，可先分類討論，再利用不等式的性質求解.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學分校）