求和∑與積分∫的若干性質比較研究

摘要：積分是連續的數學工具，求和是離散的數學工具。積分與求和本質上沒有區別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續的數學對象——函數，一個用于離散的數學對象——數列。本文總結了求和與積分的若干性質，發現求和與積分的性質是基本平行的，求和的性質一般都可以平行地推廣到積分上。

關鍵詞：求和；積分；性質；比較；研究

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0118-02

眾所周知，積分是經過分割、近似求和、取極限三個步驟得到的。有人說積分就是一種特殊的求和。積分的英文單詞是“integration”，就是結合、一體化、累積的意思。積分是用于函數的數學工具，而求和是用于數列的數學工具。積分是連續的數學工具，求和是離散的數學工具。積分與求和本質上沒有區別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續的數學對象——函數，一個用于離散的數學對象——數列。

與積分和求和的區別和聯系相仿的兩外兩個數學工具是導數（微分）和差分。導數（微分）是用于函數的，而差分是用于數列的。函數可以存在高階導數，數列可以存在高階差分。

定義 數列{ai}的一階差分為Δai=ai+1-ai，k階差分為Δkai=Δ（Δk-1ai）

我們把求和與積分的性質對比如下。

性質1 求和的值與下標無關ai=aj=ak

性質1' 定積分的值與積分變量無關f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性質1和性質1'，我們知道求和下標i與積分變量x都是啞變量。

性質2 數乘性kai=kai

性質2' 數乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性質3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性質3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性質4 區間可加性ai+ai=ai

性質4' 區間可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性質5

ai≤ai

性質5'

f（x）dx≤f（x）dx

性質6 設M和m分別是數列{a}的最大值和最小值，則nm≤ai≤nM

性質6' 設M和m分別是函數f（x）在區間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性質7 設f'（x）在區間[a，b]上連續，則f'（x）dx=f（b）-f（a）

性質7' Δai=an+1-a1

從性質7和性質7'，我們可以看到定積分的牛頓——萊布尼茨公式（性質7）平行推廣到數列求和的性質7'，積分變成了求和，導數f'（x）變成了差分Δai，函數增量f（b）-f（a）變成了數列增量an+1-a1。我們可以看出性質7和性質7'，并無本質上的區別，只不過一個是關于函數的性質，一個是關于數列的性質，性質7'的證明非常簡單，小學生就可以完成；而性質7（牛頓——萊布尼茨公式）人類到了17世紀才發現，并且由大科學家牛頓、萊布尼茨創立。我們現在能夠發現簡單的性質7'和相對復雜的性質7并無本質上的區別。我們要從身邊簡單的對象入手，探索發現科學上復雜的結果。

性質8 分部積分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性質8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

從性質8和性質8'，我們可以看出二者之間也無本質上的區別。積分變成了求和，導數v'（x）變成了差分Δbi，函數增量[u（x）v（x）]變成了數列增量anbn+1-a1b1。

通過上述性質我們發現，積分及求和是普遍聯系的。求和具有的性質，積分也有；反過來，積分具有的性質，求和也基本具有。但是，需要我們注意的是，定積分中值性質就不能平行推廣到求和。

我們在高等數學教學過程中，就是要經常給同學總結和比較不同數學對象的類似性質，用同學熟悉的求和的性質來對比不熟悉的積分的性質，以便于學生對積分的性質理解和掌握更加到位。

參考文獻：

[1]李心燦，季文鐸，余任勝，等.大學生數學競賽試題解析選編[M].北京：機械工業出版社，2011.

[2]謝惠民，惲自求，易法愧，等.數學分析習題課講義（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者簡介：吳楠（1983-），男，河北三河人，博士，講師，研究方向：主要從事復分析研究。

摘要：積分是連續的數學工具，求和是離散的數學工具。積分與求和本質上沒有區別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續的數學對象——函數，一個用于離散的數學對象——數列。本文總結了求和與積分的若干性質，發現求和與積分的性質是基本平行的，求和的性質一般都可以平行地推廣到積分上。

關鍵詞：求和；積分；性質；比較；研究

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0118-02

眾所周知，積分是經過分割、近似求和、取極限三個步驟得到的。有人說積分就是一種特殊的求和。積分的英文單詞是“integration”，就是結合、一體化、累積的意思。積分是用于函數的數學工具，而求和是用于數列的數學工具。積分是連續的數學工具，求和是離散的數學工具。積分與求和本質上沒有區別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續的數學對象——函數，一個用于離散的數學對象——數列。

與積分和求和的區別和聯系相仿的兩外兩個數學工具是導數（微分）和差分。導數（微分）是用于函數的，而差分是用于數列的。函數可以存在高階導數，數列可以存在高階差分。

定義 數列{ai}的一階差分為Δai=ai+1-ai，k階差分為Δkai=Δ（Δk-1ai）

我們把求和與積分的性質對比如下。

性質1 求和的值與下標無關ai=aj=ak

性質1' 定積分的值與積分變量無關f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性質1和性質1'，我們知道求和下標i與積分變量x都是啞變量。

性質2 數乘性kai=kai

性質2' 數乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性質3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性質3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性質4 區間可加性ai+ai=ai

性質4' 區間可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性質5

ai≤ai

性質5'

f（x）dx≤f（x）dx

性質6 設M和m分別是數列{a}的最大值和最小值，則nm≤ai≤nM

性質6' 設M和m分別是函數f（x）在區間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性質7 設f'（x）在區間[a，b]上連續，則f'（x）dx=f（b）-f（a）

性質7' Δai=an+1-a1

從性質7和性質7'，我們可以看到定積分的牛頓——萊布尼茨公式（性質7）平行推廣到數列求和的性質7'，積分變成了求和，導數f'（x）變成了差分Δai，函數增量f（b）-f（a）變成了數列增量an+1-a1。我們可以看出性質7和性質7'，并無本質上的區別，只不過一個是關于函數的性質，一個是關于數列的性質，性質7'的證明非常簡單，小學生就可以完成；而性質7（牛頓——萊布尼茨公式）人類到了17世紀才發現，并且由大科學家牛頓、萊布尼茨創立。我們現在能夠發現簡單的性質7'和相對復雜的性質7并無本質上的區別。我們要從身邊簡單的對象入手，探索發現科學上復雜的結果。

性質8 分部積分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性質8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

從性質8和性質8'，我們可以看出二者之間也無本質上的區別。積分變成了求和，導數v'（x）變成了差分Δbi，函數增量[u（x）v（x）]變成了數列增量anbn+1-a1b1。

通過上述性質我們發現，積分及求和是普遍聯系的。求和具有的性質，積分也有；反過來，積分具有的性質，求和也基本具有。但是，需要我們注意的是，定積分中值性質就不能平行推廣到求和。

我們在高等數學教學過程中，就是要經常給同學總結和比較不同數學對象的類似性質，用同學熟悉的求和的性質來對比不熟悉的積分的性質，以便于學生對積分的性質理解和掌握更加到位。

參考文獻：

[1]李心燦，季文鐸，余任勝，等.大學生數學競賽試題解析選編[M].北京：機械工業出版社，2011.

[2]謝惠民，惲自求，易法愧，等.數學分析習題課講義（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者簡介：吳楠（1983-），男，河北三河人，博士，講師，研究方向：主要從事復分析研究。

摘要：積分是連續的數學工具，求和是離散的數學工具。積分與求和本質上沒有區別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續的數學對象——函數，一個用于離散的數學對象——數列。本文總結了求和與積分的若干性質，發現求和與積分的性質是基本平行的，求和的性質一般都可以平行地推廣到積分上。

關鍵詞：求和；積分；性質；比較；研究

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0118-02

眾所周知，積分是經過分割、近似求和、取極限三個步驟得到的。有人說積分就是一種特殊的求和。積分的英文單詞是“integration”，就是結合、一體化、累積的意思。積分是用于函數的數學工具，而求和是用于數列的數學工具。積分是連續的數學工具，求和是離散的數學工具。積分與求和本質上沒有區別，就像一對孿生兄弟，只是適用對象不同，一個用于連續的數學對象——函數，一個用于離散的數學對象——數列。

與積分和求和的區別和聯系相仿的兩外兩個數學工具是導數（微分）和差分。導數（微分）是用于函數的，而差分是用于數列的。函數可以存在高階導數，數列可以存在高階差分。

定義 數列{ai}的一階差分為Δai=ai+1-ai，k階差分為Δkai=Δ（Δk-1ai）

我們把求和與積分的性質對比如下。

性質1 求和的值與下標無關ai=aj=ak

性質1' 定積分的值與積分變量無關f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性質1和性質1'，我們知道求和下標i與積分變量x都是啞變量。

性質2 數乘性kai=kai

性質2' 數乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性質3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性質3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性質4 區間可加性ai+ai=ai

性質4' 區間可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性質5

ai≤ai

性質5'

f（x）dx≤f（x）dx

性質6 設M和m分別是數列{a}的最大值和最小值，則nm≤ai≤nM

性質6' 設M和m分別是函數f（x）在區間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性質7 設f'（x）在區間[a，b]上連續，則f'（x）dx=f（b）-f（a）

性質7' Δai=an+1-a1

從性質7和性質7'，我們可以看到定積分的牛頓——萊布尼茨公式（性質7）平行推廣到數列求和的性質7'，積分變成了求和，導數f'（x）變成了差分Δai，函數增量f（b）-f（a）變成了數列增量an+1-a1。我們可以看出性質7和性質7'，并無本質上的區別，只不過一個是關于函數的性質，一個是關于數列的性質，性質7'的證明非常簡單，小學生就可以完成；而性質7（牛頓——萊布尼茨公式）人類到了17世紀才發現，并且由大科學家牛頓、萊布尼茨創立。我們現在能夠發現簡單的性質7'和相對復雜的性質7并無本質上的區別。我們要從身邊簡單的對象入手，探索發現科學上復雜的結果。

性質8 分部積分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性質8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

從性質8和性質8'，我們可以看出二者之間也無本質上的區別。積分變成了求和，導數v'（x）變成了差分Δbi，函數增量[u（x）v（x）]變成了數列增量anbn+1-a1b1。

通過上述性質我們發現，積分及求和是普遍聯系的。求和具有的性質，積分也有；反過來，積分具有的性質，求和也基本具有。但是，需要我們注意的是，定積分中值性質就不能平行推廣到求和。

我們在高等數學教學過程中，就是要經常給同學總結和比較不同數學對象的類似性質，用同學熟悉的求和的性質來對比不熟悉的積分的性質，以便于學生對積分的性質理解和掌握更加到位。

參考文獻：

[1]李心燦，季文鐸，余任勝，等.大學生數學競賽試題解析選編[M].北京：機械工業出版社，2011.

[2]謝惠民，惲自求，易法愧，等.數學分析習題課講義（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者簡介：吳楠（1983-），男，河北三河人，博士，講師，研究方向：主要從事復分析研究。